En la página titulada Propagación de ondas electromagnéticas. Ecuaciones de Fresnel. en el apartado 'Ecuaciones de Maxwell' llegamos a las siguientes expresiones para el campo eléctrico y para el campo magnético

${\displaystyle \begin{array}{l}{\nabla }^2\overrightarrow{E}-\epsilon \mu \frac{{\partial }^2\overrightarrow{E}}{\partial t^2}=\frac{1}{\epsilon }\overrightarrow{\nabla }{\rho }_f+\mu \frac{\partial \overrightarrow{J_f}}{\partial t}\\ {\nabla }^2\overrightarrow{B}-\epsilon \mu \frac{{\partial }^2\overrightarrow{B}}{\partial t^2}=-\mu \overrightarrow{\nabla }\times \overrightarrow{J_f}\end{array}}$

En un medio conductor aplicamos la ley de Ohm $\overrightarrow{J_f}=\sigma \overrightarrow{E}$. Si además, no hay cargas libres ρ_f=0. La ecuación del campo eléctrico se convierte en

${\displaystyle \begin{array}{l}{\nabla }^2\overrightarrow{E}-\epsilon \mu \frac{{\partial }^2\overrightarrow{E}}{\partial t^2}=\sigma \mu \frac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t}\\ {\nabla }^2\overrightarrow{E}-\sigma \mu \frac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t}-\epsilon \mu \frac{{\partial }^2\overrightarrow{E}}{\partial t^2}=0\end{array}}$

Aplicando la ley de Ohm y la ley de Faraday $\overrightarrow{\nabla }\times \overrightarrow{E}+\frac{\partial \overrightarrow{B}}{\partial t}=0$, la ecuación del campo magnético se convierte en

${\displaystyle \begin{array}{l}{\nabla }^2\overrightarrow{B}-\epsilon \mu \frac{{\partial }^2\overrightarrow{B}}{\partial t^2}=-\sigma \mu \overrightarrow{\nabla }\times \overrightarrow{E}\\ {\nabla }^2\overrightarrow{B}-\sigma \mu \frac{\partial B}{\partial t}-\epsilon \mu \frac{{\partial }^2\overrightarrow{B}}{\partial t^2}=0\end{array}}$

Consideremos una onda electromagnética plana, polarizada, que se propaga a lo largo del eje Z, el campo eléctrico

${\displaystyle \overrightarrow{E}=E_0\exp \left(i\left(kz-\omega t\right)\right)\widehat{i}}$

Nota: no confundir la unidad imaginaria $i=\sqrt{-1}$, con el vector unitario en la dirección X, $\widehat{i}$

Se introduce en la ecuación diferencial del campo eléctrico

${\displaystyle \begin{array}{l}(ik)(ik)E_0\exp \left(i\left(kz-\omega t\right)\right)-\sigma \mu (-i\omega )E_0\exp \left(i\left(kz-\omega t\right)\right)-\epsilon \mu (-i\omega )(-i\omega )E_0\exp \left(i\left(kz-\omega t\right)\right)=0\\ -k^2+i\sigma \mu \omega +\epsilon \mu {\omega }^2=0\end{array}}$

k² es un número complejo tal que k=a+ib. Calculamos la parte imaginaria b

${\displaystyle \begin{array}{l}{\left(a+ib\right)}^2=\epsilon \mu {\omega }^2+i\sigma \mu \omega \\ a^2-b^2+2iab=\epsilon \mu {\omega }^2-i\sigma \mu \omega ,\{\begin{array}{l}{a}^2-b^2=\epsilon \mu {\omega }^2\\ 2ab=\sigma \mu \omega \end{array}\\ a=\frac{\sigma \mu \omega }{2b}\\ \frac{{\left(\sigma \mu \omega \right)}^2}{4b^2}-b^2=\epsilon \mu {\omega }^2\\ b^4+\epsilon \mu {\omega }^2{b}^2-{\left(\frac{\sigma \mu \omega }{2}\right)}^2=0\\ b^2=\frac{-\epsilon \mu {\omega }^2\pm \sqrt{{\left(\epsilon \mu {\omega }^2\right)}^2+{\left(\sigma \mu \omega \right)}^2}}{2}\\ b^2=\mu \omega \frac{\sqrt{{\epsilon }^2{\omega }^2+{\sigma }^2}-\epsilon \omega }{2}=\mu \omega \frac{\epsilon \omega }{2}\left(\sqrt{1+{\left(\frac{\sigma }{\epsilon \omega }\right)}^2}-1\right)\\ b=\omega \sqrt{\frac{\epsilon \mu }{2}\left(\sqrt{1+{\left(\frac{\sigma }{\epsilon \omega }\right)}^2}-1\right)}\end{array}}$

Calculamos la parte real a

${\displaystyle \begin{array}{l}b=\frac{\sigma \mu \omega }{2a}\\ a^2-\frac{{\left(\sigma \mu \omega \right)}^2}{4a^2}=\epsilon \mu {\omega }^2\\ a^4-\epsilon \mu {\omega }^2{a}^2-{\left(\frac{\sigma \mu \omega }{2}\right)}^2=0\\ a^2=\frac{\epsilon \mu {\omega }^2\pm \sqrt{{\left(\epsilon \mu {\omega }^2\right)}^2+{\left(\sigma \mu \omega \right)}^2}}{2}\\ a^2=\mu \omega \frac{\sqrt{{\epsilon }^2{\omega }^2+{\sigma }^2}-\epsilon \omega }{2}=\mu \omega \frac{\epsilon \omega }{2}\left(\sqrt{1+{\left(\frac{\sigma }{\epsilon \omega }\right)}^2}+1\right)\\ a=\omega \sqrt{\frac{\epsilon \mu }{2}\left(\sqrt{1+{\left(\frac{\sigma }{\epsilon \omega }\right)}^2}+1\right)}\end{array}}$

Comprobamos que $2ab=\sigma \mu \omega$

Podemos expresar k de dos formas distintas

${\displaystyle \begin{array}{l}k=a+ib\\ k=\sqrt{a^2+b^2}\exp \left(i\Omega \right),\tan \Omega =\frac{b}{a}\end{array}}$

La expresión del vector campo eléctrico es

${\displaystyle \overrightarrow{E}=E_0\exp \left(i\left(kz-\omega t\right)\right)\widehat{i}=E_0\exp \left(i\left(\left(a+bi\right)z-\omega t\right)\right)\widehat{i}=E_0\exp \left(-bz\right)\left(i\left(az-\omega t\right)\right)\widehat{i}}$

Las ondas electromagnéticas constan de una campo eléctrico y un campo magnético perpendiculares entre sí y a la dirección de propagación $\overrightarrow{E}\times \overrightarrow{H}$, si el campo eléctrico tiene la dirección del eje X, el campo magnético tiene la dirección del eje Y

${\displaystyle \overrightarrow{H}=H_0\exp \left(i\left(\omega t-kz\right)\right)\widehat{j}}$

Como vamos a comprobar utilizando la ley de Faraday

${\displaystyle \begin{array}{l}\overrightarrow{\nabla }\times \overrightarrow{E}+\mu \frac{\partial \overrightarrow{H}}{\partial t}=0\\ \left|\begin{array}{ccc}\widehat{i}& \widehat{j}& \widehat{k}\\ \frac{\partial }{\partial x}& \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ E_0\exp \left(i\left(kz-\omega t\right)\right)& 0& 0\end{array}\right|+\mu \frac{\partial \overrightarrow{H}}{\partial t}=0\\ -ki{E}_0\widehat{j}+\mu i\omega H_0\widehat{j}=0\\ H_0=E_0\frac{k}{\omega \mu }\end{array}}$

La expresión del vector campo magnético es

${\displaystyle \[ \overrightarrow{H}=E_0\frac{\sqrt{a^2+b^2}\exp \left(i\Omega \right)}{\omega \mu }\exp \left(i\left(\left(a+ib\right)z-\omega t\right)\right)\widehat{j}=\frac{E_0\sqrt{a^2+b^2}}{\omega \mu }\exp \left(-bz\right)\exp \left(i\left(az-\omega t+\Omega \right)\right)\widehat{j} \]}$

La amplitud del campo eléctrico y del campo magnético decrece exponencialmente con z, exp(-bz). Por otra parte, hay una diferencia de fase Ω entre el campo eléctrico y el campo magnético.

Buenos conductores

Para un buen conductor la conductividad σ/(ωε)>>1

${\displaystyle \begin{array}{l}a=b=\sqrt{\frac{\sigma \mu \omega }{2}},\Omega =\frac{\pi }{4}\\ k=\sqrt{\frac{\sigma \mu \omega }{2}}\left(1+i\right)\end{array}}$

Como la amplitud del campo eléctrico y del campo magnético decrece exponencialmente con z. Se denomina longitud de atenuación δ

${\displaystyle \begin{array}{l}\delta =\frac{1}{b}=\sqrt{\frac{2}{\sigma \mu \omega }}\\ k=\frac{1}{\delta }\left(1+i\right)\end{array}}$

La conductividad del cobre es σ=5.80·10⁷ S/m, a la frecuencia de f=10⁶ Hz. Sabiendo que ω=2πf

${\displaystyle \delta =\sqrt{\frac{2}{2\pi ·{10}^6·4\pi ·{10}^{-7}·5.8·{10}^7}}=0.661·{10}^{-6}\text{m}}$

La inversa 1/δ es un número muy grande, por lo que las ondas de alta frecuencia se atenuan rápidamente. Para un buen conductor k es un número complejo muy grande. La diferencia de fase entre el campo eléctrico y el campo magnético es Ω=π/4

Las partes real del vector campo eléctrico y del vector campo magnético son

${\displaystyle \begin{array}{l}\overrightarrow{E}=E_0\exp \left(-\frac{z}{\delta }\right)\exp \left(i\left(\frac{z}{\delta }-\omega t\right)\right)\widehat{i},\overrightarrow{E}=E_0\exp \left(-\frac{z}{\delta }\right)\cos \left(\frac{z}{\delta }-\omega t\right)\widehat{i}\\ \overrightarrow{H}=\frac{E_0\sqrt{2}}{\delta \omega \mu }\exp \left(-\frac{z}{\delta }\right)\exp \left(i\left(\frac{z}{\delta }-\omega t+\frac{\pi }{4}\right)\right)\widehat{j},\overrightarrow{H}=E_0\sqrt{\frac{\sigma }{\omega \mu }}\exp \left(-\frac{z}{\delta }\right)\cos \left(\frac{z}{\delta }-\omega t+\frac{\pi }{4}\right)\widehat{j}\end{array}}$

z=linspace(0,5,200);
xx=zeros(1,length(z));
hold on
plot3(exp(-z).*cos(z), xx,z,'r')
plot3(xx, exp(-z).*cos(z+pi/4),z,'b')
line([0,0],[0,0],[0,5],'color','k','lineStyle','--')
hold off
grid on
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
legend('Electrico','Magnético','Location', 'best')
title('Ondas electromagnéticas')
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Reflexión y refracción

Supongamos dos medios no magnéticos, semiinfinitos, lineales, homogéneos e isótropos. Una onda electromagnética que se propaga en el medio 1 (dieléctrico) incide sobre la superficie de separación de los medios 1 y 2 (buen conductor) produciendo una onda reflejada y otra transmitida. Los vectores unitarios ${\widehat{n}}_i$ , ${\widehat{n}}_r$ y ${\widehat{n}}_t$ son normales a los frentes de onda planos (formados por los vectores $\overrightarrow{E}$ y $\overrightarrow{H}$) y tienen el sentido de la propagación $\overrightarrow{E}\times \overrightarrow{H}$

Los ángulos θ_i, θ_r, y θ_t son los ángulos de incidencia, de reflexión y refracción, respectivamente.

Teniendo en cuenta la definición de índice de refracción. El índice de refracción del medio 2 (conductor) es un número complejo

${\displaystyle \begin{array}{l}v=\frac{\omega }{k},n=\frac{c}{v}\\ n_2=\frac{c}{v_2}=k_2\frac{c}{\omega }\end{array}}$

v es la velocidad de propagación de las ondas electromagnéticas en un medio, c es la velocidad de propagación en el vacío.

El índice de refracción de una buen conductor es un número complejo muy grande. Aplicando la ley de Snell, n₁sinθ_i=n₂sinθ_t, el ángulo refractado θ_t≈0 cualquiera que sea el ángulo incidente θ_i

Ecuaciones de Fresnel

• El campo eléctrico es normal al plano de incidencia

En la página titulada Propagación de ondas electromagnéticas. Ecuaciones de Fresnel. obtuvimos la siguiente relación

${\displaystyle {\left(\frac{E_{0t}}{E_{0i}}\right)}_{\perp }=\frac{2\frac{n_1}{n_2}\cos {\theta }_i}{\frac{n_1}{n_2}\cos {\theta }_i+\cos {\theta }_t},{\left(\frac{E_{0r}}{E_{0i}}\right)}_{\perp }=\frac{\frac{n_1}{n_2}\cos {\theta }_i-\cos {\theta }_t}{\frac{n_1}{n_2}\cos {\theta }_i+\cos {\theta }_t}}$

Si el segundo medio es un conductor

${\displaystyle {\left(\frac{E_{0t}}{E_{0i}}\right)}_{\perp }\ll \mathrm{1,}{\left(\frac{E_{0r}}{E_{0i}}\right)}_{\perp }\approx -1}$



El campo eléctrico es casi nulo en la superficie de separación

En la figura, se muestra la onda incidente, reflejada y transmitida en la superficie de separación de un dieléctrico y de un buen conductor. La onda incide desde el dieléctrico y está polarizada con el vector $\overrightarrow{E}$ normal al plano de incidencia. El vector $\overrightarrow{H}$ es paralelo a la superficie de separación pero está desfasado respecto del vector $\overrightarrow{E}$ de la onda transmitida en π/4 radianes. El coeficiente de reflexión es prácticamente igual a la unidad. Los campos eléctricos de la onda incidente y reflejada son casi iguales y una débil onda penetra normalmente a la superficie del conductor donde se atenúa

• El campo eléctrico es paralelo al plano de incidencia

En la página titulada Propagación de ondas electromagnéticas. Ecuaciones de Fresnel. obtuvimos la siguiente relación

${\displaystyle {\left(\frac{E_{0t}}{E_{0i}}\right)}_{\parallel }=\frac{2\frac{n_1}{n_2}\cos {\theta }_i}{\cos {\theta }_i+\frac{n_1}{n_2}\cos {\theta }_t},{\left(\frac{E_{0r}}{E_{0i}}\right)}_{\parallel }=\frac{-\cos {\theta }_i+\frac{n_1}{n_2}\cos {\theta }_t}{\cos {\theta }_i+\frac{n_1}{n_2}\cos {\theta }_t}}$

Si el segundo medio es un conductor

${\displaystyle {\left(\frac{E_{0t}}{E_{0i}}\right)}_{\parallel }<<\mathrm{1,}{\left(\frac{E_{0r}}{E_{0i}}\right)}_{\parallel }\approx -1}$



La onda incide desde el dieléctrico y está polarizada con el vector $\overrightarrow{E}$ paralelo al plano de incidencia. El vector $\overrightarrow{H}$ es paralelo a la superficie de separación pero está desfasado respecto del vector $\overrightarrow{E}$ de la onda transmitida en π/4 radianes. El coeficiente de reflexión es prácticamente igual a la unidad. Los campos eléctricos de la onda incidente y reflejada son casi iguales y una débil onda penetra normalmente a la superficie del conductor donde se atenúa.

Referencias

Paul Lorrain, Dale R. Corson. Campos y ondas electromagnéticas. Selecciones Científicas. 1972