Propagación de ondas electromagnéticas. Ecuaciones de Fresnel.

Campo eléctrico

Cuando un dieléctrico no polar se coloca en un campo eléctrico las cargas positivas y negativas de las moléculas se desplazan unas respecto de las otras, las moléculas se polarizan. El momento dipolar inducido por unidad de volumen P , se llama polarización eléctrica

σ b = P · n ^ ρ b = · P

donde σb, C/m2, es la densidad superficial y ρb, C/m3, la densidad (en volumen) de carga ligada

La ley de Gauss se puede expresar

· E = ρ t ε 0

donde la densidad de carga total ρt es la suma de la densidad de carga libre ρf y la densidad de carga ligada ρb

Se define el vector desplazamiento eléctrico

D = ε 0 E + P = ε 0 ε r E =ε E

donde εr es la permitividad relativa o constante diléctrica y ε es la permitividad del medio. El vector D está relacionado con la densidad de carga libre

· D = ρ f S D · dS = V ρ f ·dV

Superficie de separación entre dos medios

En la separación de dos medios diferentes, el potencial V debe ser continuo, ya que una discontinuidad implicaría un campo eléctrico infinito. El potencial debe anularse en el infinito si las distribuciones de carga tiene extensión finita y debe ser constante en un conductor si las cargas eléctricas están en reposo.

De las dos relaciones se deduce que

D 1 cos θ 1 = D 2 cos θ 2 { ε r1 ε 0 E 1 cos θ 1 = ε r2 ε 0 E 2 cos θ 2 E 1 sin θ 1 = E 2 sin θ 2

Dividiendo la segunda entre la primera

1 ε r1 tan θ 1 = 1 ε r2 tan θ 2 tan θ 1 tan θ 2 = ε r1 ε r2

El ángulo mayor con la normal ocurre en el medio de permitividad relativa mayor

Campo magnético

La imanación M de los materiales magnéticos se corresponde con la polarización P de los materiales dieléctricos.

Según el modelo de Ampère, la imanación produce una densidad de corriente equivalente en la superficie λ e y una densidad de corriente equivalente en el volumen J e donde

λ e = M × n ^ J e = × M

La inducción magnética B se puede calcular tanto dentro como fuera del material magnético tratando las corrientes equivalentes como si fueran corrientes reales de conducción circulando en el vacío.

La intensidad del campo magnético H está relacionado con B y M del siguiente modo

B = μ 0 ( H + M ) B = μ 0 μ r H =μ H

donde μr es la permeabilidad relativa y μ la permeabilidad

La ley de Ampére se escribe

× H = J f H · dl = i f

donde if es la intensidad de la corriente de cargas libres que atraviesa el camino cerrado

La ley de Gauss para el campo magnético es

S B · dS =0

Superficie de separación entre dos medios

De las dos relaciones se deduce

B 1 cos θ 1 = B 2 cos θ 2 { μ r1 μ 0 H 1 cos θ 1 = μ r2 μ 0 H 2 cos θ 2 H 1 sin θ 1 = H 2 sin θ 2

Dividiendo la segunda entre la primera

1 μ r1 tan θ 1 = 1 μ r2 tan θ 2 tan θ 1 tan θ 2 = μ r1 μ r2

El ángulo mayor con la normal ocurre en el medio de permeabilidad relativa mayor

Ecuaciones de Maxwell. Ondas electromagnéticas

Las ecuaciones de Maxwell en forma diferencial e integral son

DiferencialIntegral
· E = ρ t ε S E · dS = 1 ε 0 V ρ t dV
· B =0 S B · dS =0
× E + B t =0 E · dl = t S B · dS
× B = μ 0 J m + ε 0 μ 0 E t B · dl = μ 0 S ( J m + ε 0 E t )· dS

Otra forma alternativa a la cuarta ecuación de Maxwell que se utilizará en la dedución de la ecuación de las ondas electromagnéticas es

× H = J f + D t × B =μ J f +με E t

Para obtener la segunda, se multiplica la primera por μ y se utiliza las relaciones entre los vectores, D =ε E , B =μ H

Densidad de carga y corrientes

ρ t = ρ f + ρ b J m = J f + P t + × M

Nomenclatura

Ondas electromagnéticas

En este apartado utilizamos la propiedad

× × A = 2 A + ( · A )

Estudiaremos la propagación de ondas electromagnéticas en medios homogéneos, isótropos, lineales y estacionarios. No conductores y no magnéticos

El caso más sencillo es el de una onda plana que se propaga a lo largo del eje Z. El campo eléctrico E es independiente de x e y

E = E 0 exp( i( ωtkz ) ) i ^

Se dice que es una onda electromagnética linealmente polarizada por que el campo eléctrico oscila en el eje X y el campo magnético oscila en el eje Y

Introduciendo en la ecuacuión de onda para el campo eléctrico

(ik)(ik) E 0 exp( i( ωtkz ) ) i ^ εμ(iω)(iω) E 0 exp( i( ωtkz ) ) i ^ =0 k 2 +εμ ω 2 =0 v= ω k = 1 εμ = c ε r μ r

v=ω/k se denomina velocidad de fase

Se define índice de refracción n=c/v el cociente entre la velocidad de la luz en el vacío y la velocidad de la luz en un medio

n= c v = ε r μ r ε r

Las ondas electromagnéticas constan de una campo eléctrico y un campo magnético perpendiculares entre sí y a la dirección de propagación E × H , si el campo eléctrico tiene la dirección del eje X, el campo magnético tiene la dirección del eje Y,

H = H 0 exp( i( ωtkz ) ) j ^ = H 0 exp( iω( t z v ) ) j ^

como vamos a comprobar utilizando la ley de Faraday

× E +μ H t =0 | i ^ j ^ k ^ x y z E 0 exp( i( ωtkz ) ) 0 0 |+μ H t =0 ki E 0 j ^ +μiω H 0 j ^ =0 H 0 = E 0 k ωμ , H 0 = ε μ E 0

Esta es la relación entre las amplitudes de la onda eléctrica E0 y la onda magnética H0

Representamos la onda eléctrica y la onda magnética con las mismas amplitudes. Las flechas indican el vector campo eléctrico E y el vector campo magnético H

z=linspace(0,3*pi,200);
xx=zeros(1,length(z));
hold on
plot3(cos(z), xx,z,'r')
plot3(xx, cos(z),z,'b')
z=linspace(0,3*pi,20);
xx=zeros(1,length(z));
quiver3(xx,xx,z,xx,cos(z),xx,0, 'color','b');
quiver3(xx,xx,z,cos(z),xx,xx,0, 'color','r');
hold off
grid on
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Ondas electromagnéticas')

Vector de Poynting

Se denomina vector de Poynting al producto vectorial

S = E × H

Cuando se integra sobre una superficie cerrada nos da el flujo total de energía hacia el exterior por unidad de tiempo.

Teniendo en cuenta que el valor medio <cos2(ωt)>=1/2, el valor medio de S ,

S = 1 2 ε μ E 0 2 k ^ =v( 1 2 ε E 0 2 ) k ^

Reflexión y refracción de las ondas electromagnéticas

Supongamos dos medios no magnéticos semiinfinitos, lineales, homogéneos e isótropos. Una onda electromagnética que se propaga en el medio 1 incide sobre la superficie de separación de los medios 1 y 2 produciendo una onda reflejada y otra transmitida. Los vectores unitarios n ^ i , n ^ r y n ^ t son normales a los frentes de onda planos (formados por los vectores E y H ) y tienen el sentido de la propagación E × H

Los ángulos θi, θr, y θt son los ángulos de incidencia, de reflexión y refracción, respectivamente.

Las leyes de la reflexión y la de Snell de la refracción

La onda electromagnética incidente está formada por frentes de onda planos perpendiculares al vector n ^ i , que señala la dirección de propagación.

Véase en el apartado Vector normal a un plano la ecuaciĆ³n de un plano perpendicular al vector unitario n ^

El campo eléctrico es de la forma

E i = E 0i exp( i ω i ( t n ^ i · r v 1 ) )

v1 es la velocidad de fase de la onda electromagnética en el medio 1

Tanto la onda relejada como la refractada por la superficie de separación son también planas y polarizadas

E r = E 0r exp( i ω r ( t n ^ r· r v 1 ) ) E t = E 0t exp( i ω t ( t n ^ t · r v 2 ) )

v2 es la velocidad de fase de la onda electromagnética en el medio 2

Los tres vectores han de ser funciones del tiempo similares, por tanto, las frecuencias han de ser iguales

ωi=ωr=ωt

En cualquier punto de la superficie de separación se deberá cumplir

n ^ i· r v 1 = n ^ r· r v 1 = n ^ t· r v 2

Ecuaciones de Fresnel

Hay dos posibilidades: que el campo eléctrico sea normal al plano de inicidencia y que sea paralelo al mismo

El campo eléctrico es normal al plano de incidencia

En la superficie de separación, las componentes tangenciales de E Y H son continuas

E 0i + E 0r = E 0t H 0i cos θ i H 0r cos θ r = H 0t cos θ t

Teniendo en cuenta la relación entre amplitudes, H 0 = ε μ E 0 y la definición de índice de refracción, n= ε r μ r , la segunda ecuación se transforma en

ε 1 μ 1 E 0i cos θ i ε 1 μ 1 E 0r cos θ r = ε 2 μ 2 E 0t cos θ t n 1 μ r1 ( E 0i E 0r )cos θ i = n 2 μ r2 E 0t cos θ t

Para un medio no magnético, la permeabilidad relativa μr≈1. Resolvemos el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas

{ E 0i + E 0r = E 0t n 1 ( E 0i E 0r )cos θ i = n 2 E 0t cos θ t

Despejamos E0r y E0t. El resultado es

( E 0t E 0i ) = 2 n 1 n 2 cos θ i n 1 n 2 cos θ i +cos θ t , ( E 0r E 0i ) = n 1 n 2 cos θ i cos θ t n 1 n 2 cos θ i +cos θ t

Observamos en las fórmulas que ( E 0t E 0i ) >0 , la onda transmitida y la incidente están en fase. Sin embargo, ( E 0r E 0i ) puede ser positivo o negativo.

Representamos ( E 0t E 0i ) y ( E 0r E 0i ) para n1=1 y n2=1.5

n1=1;
n2=1.5;
hold on
r=@(x) ((n1/n2)*cos(x)-cos(asin(n1*sin(x)/n2)))./((n1/n2)*cos(x)+
cos(asin(n1*sin(x)/n2)));
fplot(r,[0,pi/2])
t=@(x) 2*(n1/n2)*cos(x)./((n1/n2)*cos(x)+cos(asin(n1*sin(x)/n2)));
fplot(t,[0,pi/2])
hold off
grid on
set(gca,'XTick',0:pi/12:pi/2)
set(gca,'XTickLabel',{'0','\pi/12','\pi/6','\pi/4','\pi/3','5\pi/12','\pi/2'})
xlabel('\theta_i')
ylabel('E/E_0')
legend('E_{0r}/E_{0i}', 'E_{0t}/E_{0i}','Location','best')
title('Campo eléctrico, normal')

El campo eléctrico es paralelo al plano de incidencia

En la superficie de separación, las componentes tangenciales de E Y H son continuas

{ H 0i H 0r = H 0t E 0i cos θ i + E 0r cos θ r = E 0t cos θ t

Para un medio no magnético, μr≈1. Resolvemos el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas

{ n 1 ( E 0i E 0r )= n 2 E 0t ( E 0i + E 0r )cos θ i = E 0t cos θ t

Despejamos E0r y E0t. El resultado es

( E 0t E 0i ) = 2 n 1 n 2 cos θ i cos θ i + n 1 n 2 cos θ t , ( E 0r E 0i ) = cos θ i + n 1 n 2 cos θ t cos θ i + n 1 n 2 cos θ t

Observamos en las fórmulas que ( E 0t E 0i ) >0 , la onda transmitida y la incidente están en fase. Sin embargo, ( E 0r E 0i ) puede ser positivo o negativo.

La fase de la onda reflejada depende de n2/n1 y también de θi y θt. La razón ( E 0r E 0i ) , puede ser positiva o negativa tanto para n2>n1 como para n2<n1

El ángulo de Brewster

El numerador de ( E 0r E 0i ) se hace cero cuando θi+θt=π/2.

Cuando el campo eléctrico es paralelo no hay onda reflejada. Para este caso, el ángulo de incidencia θi se denomina ángulo de Brewster, θB o ángulo polarizante, ya que una onda electromagnética no polarizada se refleja con su vector normal al plano de incidencia

De la ley de la refracción

n 1 n 2 = sin θ t sin θ B = sin( π 2 θ B ) sin θ B = 1 tan θ B

Comparamos el ángulo crítico a partir del cual se produce la reflexión total, sinθc=n2/n1, con el ángulo de Brewster, tanθB=n2/n1. Representamos θc y θB en función de la razón n1/n2. La onda electromagnética incide en el medio 1

hold on
fplot(@(x) atan(1./x),[1,10]);
fplot(@(x) asin(1./x),[1,10]);
hold off
grid on
set(gca,'YTick',0:pi/12:pi/2)
set(gca,'YTickLabel',{'0','\pi/12','\pi/6','\pi/4','\pi/3','5\pi/12','\pi/2'})
xlabel('n_1/n_2')
ylabel('\theta_B, \theta_c')
legend('Brewster', 'Reflexión total','Location','best')
title('Angulos crítico y Brewster')

El ángulo crítico θm, es mayor que el ángulo de Brewster, θB

Representamos ( E 0t E 0i ) y ( E 0r E 0i ) para n1=1 y n2=1.5. Se señala mediante una línea vertical a trazos el ángulo de Brewster

n1=1;
n2=1.5;
hold on
r=@(x) ((n1/n2)*cos(asin(n1*sin(x)/n2))-cos(x))./((n1/n2)*cos(asin(n1*sin(x)/n2))
+cos(x));
fplot(r,[0,pi/2])
t=@(x) 2*(n1/n2)*cos(x)./((n1/n2)*cos(asin(n1*sin(x)/n2))+cos(x));
fplot(t,[0,pi/2])
ang_B=atan(n2/n1); %ángulo de Brewster
line([ang_B, ang_B],[0,1],'lineStyle','--')
hold off
grid on
set(gca,'XTick',0:pi/12:pi/2)
set(gca,'XTickLabel',{'0','\pi/12','\pi/6','\pi/4','\pi/3','5\pi/12','\pi/2'})
xlabel('\theta_i')
ylabel('E/E_0')
legend('E_{0r}/E_{0i}', 'E_{0t}/E_{0i}','Location','best')
title('Campo eléctrico, paralelo')

Representamos ( E 0t E 0i ) y ( E 0r E 0i ) para n1=1.5 y n2=1. Se señala mediante una línea vertical a trazos el ángulo de Brewster

n1=1.5;
n2=1;
th_c=asin(n2/n1); %reflexión total
hold on
r=@(x) ((n1/n2)*cos(asin(n1*sin(x)/n2))-cos(x))./((n1/n2)*
cos(asin(n1*sin(x)/n2))+cos(x));
fplot(r,[0,th_c])
t=@(x) 2*(n1/n2)*cos(x)./((n1/n2)*cos(asin(n1*sin(x)/n2))+cos(x));
fplot(t,[0,th_c])
ang_B=atan(n2/n1); %ángulo de Brewster
line([ang_B, ang_B],[0,2.5],'lineStyle','--')
hold off
grid on
set(gca,'XTick',0:pi/12:pi/2)
set(gca,'XTickLabel',{'0','\pi/12','\pi/6','\pi/4','\pi/3','5\pi/12','\pi/2'})
xlabel('\theta_i')
ylabel('E/E_0')
legend('E_{0r}/E_{0i}', 'E_{0t}/E_{0i}','Location','best')
title('Campo eléctrico, paralelo')

Coeficientes de reflexión y transmisión

El flujo medio de energía por unidad de área en la onda incidente está dada por el valor medio del vector de Poynting. Para un medio no conductor y no magnético μr≈1

S i = 1 2 ε 1 μ 0 μ r1 E 0i 2 n ^ i = 1 2 ε 1 μ 0 E 0i 2 n ^ i S r = 1 2 ε 1 μ 0 E 0r 2 n ^ r S t = 1 2 ε 2 μ 0 E 0t 2 n ^ t

Los coeficientes de reflexión R y transmisión T se definen como los flujos por unidad de tiempo y área en la separación, n ^ es el vector unitario normal a la superficie de separación.

R=| S r · n ^ S i · n ^ |=| n ^ · n ^ r n ^ · n ^ i | E 0r 2 E 0i 2 = cos θ i cos θ i E 0r 2 E 0i 2 = E 0r 2 E 0i 2 T=| S t · n ^ S i · n ^ |= ε rt ε ri E 0r 2 E 0i 2 | n ^ · n ^ t n ^ · n ^ i |= n 2 n 1 E 0r 2 cos θ t E 0i 2 cos θ i

Incidencia normal

Para la incidencia normal θi=θt=0, el plano de incidencia está indeterminado y las dos pares de fórmulas (paralelo y perpendicular) coinciden.

Representamos los coeficientes R y T para valores de n1/n2 comprendidos entre 0.1 y 10

x=logspace(-1,1);
R=@(x) ((x-1)./(x+1)).^2;
T=@(x) 4*x./(x+1).^2;
semilogx(x,R(x),x, T(x))
grid on
xlabel('n_1/n_2')
ylabel('R,T')
legend('R', 'T','Location','best')
title('Incidencia normal')

Onda incidente, reflejada y transmitida

Hay muchas maneras de disponer los ejes. El plano de incidencia es el plano XZ y la perpendicular a este plano es el eje Y. Los vectores unitarios, se expresan en este Sistema de Referencia

n ^ i =sin θ i i ^ +cos θ i k ^ n ^ r =sin θ i i ^ cos θ i k ^ n ^ t =sin θ t i ^ +cos θ t k ^

A continuación, damos las expresiones del campo eléctrico incidente, reflejado y transmitido

Las ecuaciones de Fresnel establecen las relaciones entre las amplitudes de la onda reflejada E0r y la incidente, E0i; entre las amplitudes de la onda transmitida E0t y la incidente, cuando

E i =( E 0i cos θ i i ^ E 0i sin θ i k ^ E 0i j ^ )exp( iω( t xsin θ i +zcos θ i v 1 ) ) E r =( E 0r cos θ i i ^ + E 0r sin θ i k ^ E 0r j ^ )exp( iω( t xsin θ i zcos θ i v 1 ) ) E t =( E 0t cos θ t i ^ E 0t sin θ t k ^ E 0t j ^ )exp( iω( t xsin θ t +zcos θ t v 2 ) )

Reflexión total

n1=1.5;
n2=1;
fill([0, 4.5,4.5,0],[0,0,-1,-1],'c')
th_c=asin(n2/n1);
for th=(5:5:35)*pi/180
    line([0,tan(th)],[-1,0])
    th_t=asin(n1*sin(th)/n2);
    line([tan(th),tan(th)+tan(th_t)],[0,1])
end
line([0,tan(th_c)],[-1,0],'color','r')
line([tan(th_c), 4],[0,0],'color','r')
for th=(45:5:60)*pi/180
    line([0,tan(th)],[-1,0])
    line([tan(th),2*tan(th)],[0,-1])
end
axis off

Cuando el índice de refracción del medio 1 es mayor que el índice de refracción del medio 2, n1>n2, de acuerdo con la ley de la refracción, n1sinθi=n2sinθt, el ángulo θt>θi. Se denomina ángulo crítico θc al ángulo de la ónda incidente que corresponde a θt=π/2. Si el ángulo de la onda incidente es mayor o igual al crítico θiθc, solamente hay onda reflejada, no hay onda transmitida al segundo medio

n 1 sin θ c = n 2 ,sin θ c = n 2 n 1 θ i > θ c , n 1 sin θ i = n 2 sin θ t ,sin θ t >1 cos θ t =± 1 sin 2 θ t =± 1 ( n 1 n 2 ) 2 sin 2 θ i =±i n 1 n 2 sin 2 θ i ( n 2 n 1 ) 2

Para θi>θc, cosθt es un número imaginario y solamente tiene sentido, el signo - delante de la unidad imaginaria

El campo eléctrico es perpendicular al plano de incidencia

Analizamos el caso más simple, el campo eléctrico es perpendicular al plano de incidencia

E t = E 0t j ^ exp( iω( t xsin θ t +zcos θ t v 2 ) ) E t = E 0t j ^ exp( iω( t x n 1 n 2 sin θ i iz n 1 n 2 sin 2 θ i ( n 2 n 1 ) 2 c n 2 ) ) E t = E 0t j ^ exp( z ω v 1 sin 2 θ i ( n 2 n 1 ) 2 )exp( iω( t xsin θ i v 1 ) )

La onda transmitida se propaga a lo largo del eje X en la superficie de separación

2π λ x =ω sin θ i v 1 2π λ x = ω c n 1 sin θ i λ x = λ 0 n 1 sin θ i = λ 1 sin θ i

siendo λ1 la longitud de onda en el medio 1

Se amortigua exponencialmente en el segundo medio, la amplitud se reduce en un factor 1/e a una distancia ze que se denomina profundidad de penetración

z e ω v 1 sin 2 θ i ( n 2 n 1 ) 2 =1 z e ω v 2 ( n 1 n 2 ) 2 sin 2 θ i 1 =1 z e 2π λ 2 ( n 1 n 2 ) 2 sin 2 θ i 1 =1 z e =( λ 2 2π ) 1 ( n 1 n 2 ) 2 sin 2 θ i 1

donde λ2=2π·v2/ω es la longitud de onda en el medio 2

Representamos 2π·ze/λ2 en función del ángulo de incidencia θi para n1=1.5 y n2=1

n1=1.5;
n2=1;
th_c=asin(n2/n1); %ángulo crítico
fplot(@(x) 1./sqrt((n1*sin(x)/n2).^2-1),[th_c,pi/2]);
grid on
set(gca,'XTick',0:pi/12:pi/2)
set(gca,'XTickLabel',{'0','\pi/12','\pi/6','\pi/4','\pi/3','5\pi/12','\pi/2'})
xlabel('\theta_i')
ylim([0,6])
ylabel('z_e/\lambda_2')
title('Profundidad de penetración')

Diferencia de fase entre la onda incidente y reflejada

Las ecuaciones de Fresnel cuando el campo eléctrico es perpendicular al plano de incidencia son ahora cocientes de números complejos

( E 0t E 0i ) = 2 n 1 n 2 cos θ i n 1 n 2 cos θ i i n 1 n 2 sin 2 θ i ( n 2 n 1 ) 2 , ( E 0r E 0i ) = n 1 n 2 cos θ i +i n 1 n 2 sin 2 θ i ( n 2 n 1 ) 2 n 1 n 2 cos θ i i n 1 n 2 sin 2 θ i ( n 2 n 1 ) 2

Recordando la forma polar de un número complejo

a+ib= a 2 + b 2 exp( iarctan b a )

Referencias

Paul Lorrain, Dale R. Corson. Campos y ondas electromagnéticas. Selecciones Científicas. 1972