Propagación de las ondas en un medio dispersivo
En primer lugar, vamos a obtener el resultado de la integral
Haciendo el cambio de variable
Obtenemos
Sabiendo el resultado de la integral (véase la página anterior)
Obtenemos el resultado
que utlizaremos más adelante.
Transformada de Fourier
Ya hemos estudiado la transformada de Fourier de la función coseno.
Dos funciones delta de Dirac situadas en +k0 y en -k0.
>> syms k0 x; >> fx=cos(k0*x); >> Fk=fourier(fx) Fk =pi*(dirac(k0 - w) + dirac(k0 + w))
Vamos a obtener la transformada de Fourier de la función
En primer lugar, obtenemos la transformada de Fourier F1(k) de la función f1(x)
Tenemos una integral del tipo descrito al principio de esta página con
De modo análogo, obtenemos la transformada de Fourier de la función f2(x)
La transformada de Fourier de la función f(x)= f1(x)+ f2(x) es F(k)=(F1(k)+F2(k))/2
x0=0; k0=2; s2=5; x=-10:0.05:10; fx=exp(-(x-x0).^2/(2*s2)).*cos(k0*x); subplot(2,1,1) plot(x,fx,'b') grid on xlabel('x') ylabel('f(x)') title('Función') k=-5:0.05:5; Fk=sqrt(2*pi*s2)*exp(-1i*k*x0).*(exp(1i*k0*x0)*exp(-(k-k0).^2*s2/2)... +exp(-1i*k0*x0)*exp(-(k+k0).^2*s2/2))/2; subplot(2,1,2) plot(k,abs(Fk),'r') grid on xlabel('k') ylabel('F(k)') title('Transformada')
En la parte superior de la figura vemos la función coseno, cuya envolvente (amplitud) es la función de Gauss.
No hay cambio apreciable en el valor absoluto de F(k) cuando se modifica la posición del centro de la función de Gauss, x0 a un valor distinto de cero. La transformada de Fourier de esta función consiste en dos picos centrados en ±k0.
Si incrementamos el parámetro σ2 a una valor grande por ejemplo, 100, vemos que la amplitud de la función f(x) es casi constante, y su transformada de Fourier son dos picos puntiagudos centrados en ±k0 que se van aproximando a una función delta de Dirac a medida que se incrementa σ2
Movimiento ondulatorio armónico
En la página web titulada "Descripción de la propagación" vemos en una animación la propagación de un pulso, cuya forma inicial viene descrito por la función f(x), a lo largo del eje X hacia la derecha con velocidad v y sin distorsionarse (sin cambiar de forma).
Ψ =f(x-vt) describe la propagación de una perturbación representada por la función f(x), sin distorsión, a la largo del eje X, hacia la derecha, con velocidad v.
Estudiamos un caso particular importante, aquél en el que la función f(x) es una función armónica (seno o coseno).
Ψ(x,t)=Ψ0·sin k(x-vt)
Las características de esta función de dos variables, son las siguientes:
La función seno es periódica y se repite cuando el argumento se incrementa en 2π . La función Ψ(x, t) se repite cuando x se incrementa en 2π/k.
Cuando se propaga un movimiento ondulatorio armónico, un punto x del medio describe un Movimiento Armónico Simple de amplitud Ψ0 y frecuencia angular ω =kv.
La igualdad ω =kv, nos permite relacionar el periodo espacial o longitud de onda λ y el periodo de la oscilación P de un punto del medio.
Se trata de una función periódica, de periodo espacial o longitud de onda λ =2π/k. La magnitud k se denomina número de onda.
Ψ(x,t)=Ψ0·sin (kx-ω t)
El periodo de la oscilación es P=2π/ω y la frecuencia f =1/P.
La longitud de onda λ está relacionada con la frecuencia f de la forma λ=v/f. Para una velocidad de propagación v, cuanto mayor es la longitud de onda menor es la frecuencia y viceversa.
x=-6:0.05:6; k=2*pi/2; w=2*pi/1; for i=1:5 subplot(5,1,i) t=(i-1)/4; y=sin(k*x-w*t); plot(x,y,'r'); grid on ylim([-1.1,1.1]) str=sprintf('t=%1.2f',t); title(str) end
En la figura vemos que la longitud de onda es λ=2. Un punto del medio, por ejemplo x=0, describe un MAS cuyo periodo es P=1. Un pico (señalado con una flecha) se desplaza una longitud de onda durante un periodo de oscilación.
Superposición de ondas armónicas
Superponemos dos ondas armónicas de la misma amplitud A, la primera onda se propaga con velocidad v1=ω1/k1 y la segunda con velocidad v2=ω2/k2
Supongamos que k1 y k2 son números de onda cercanos, por ejemplo k1=12 y k2=10. Una fotografía de la onda resultante en el instante t=0, sería la siguiente
k1=12; k2=10; x=0:0.01:6; y=2*cos((k1-k2)*x/2).*sin((k1+k2)*x/2); %superposición de dos ondas armónicas y1=2*cos((k1-k2)*x/2); %envolvente plot(x,y,'b',x,y1,'r',x,-y1,'r'); ylim([-2.1,2.1]) xlabel('x'); ylabel('y') title('Superposición de ondas') grid on
La curva en color rojo es la envolvente que varía como 2·cos(x) y la curva en color azul la superposición de las dos ondas en el instante t=0, que varía como 2·cos(x)·sin(11x). Dado que k1≈ k2 y ω1≈ ω2 la velocidad de la superposición (en color azul) de las dos ondas es v=ω1/k1≈ ω2/k2 y se denomina velocidad de fase. Sin embargo, la velocidad de la envolvente es Δω/Δk=(ω1- ω2)/(k1-k2 ), se denomina velocidad de grupo.
Las definiciones de velocidad de fase vp y de grupo vg son, respectivamente
Ambas velocidades son funciones de k y son distintas, en general.
fichero = 'onda_1.gif'; hg=figure; set(hg,'Position',[0,0,568,180]) %posición y tamaño de la ventana gráfica k1=12; w1=21; k2=10; w2=20; x=0:0.02:20; for t=0:0.05:2*pi %superposición de dos ondas armónicas y=2*cos((k1-k2)*x/2-(w1-w2)*t/2).*sin((k1+k2)*x/2-(w1+w2)*t/2); y1=2*cos((k1-k2)*x/2-(w1-w2)*t/2); %envolvente plot(x,y,'b',x,y1,'r',x,-y1,'r'); ylim([-2.1,2.1]) xlabel('x'); ylabel('y') title('Superposición de dos ondas') %GIF animado frame=getframe; im = frame2im(frame); [imind,cm] = rgb2ind(im,256); if t==0 imwrite(imind,cm,fichero,'gif','DelayTime',0,'loopcount',inf); else imwrite(imind,cm,fichero,'gif','DelayTime',0,'writemode','append'); end end
En esta animación, comparamos la velocidad de la envolvente (ω1- ω2)/(k1-k2 )=1/2 (en color rojo) con la velocidad de fase de las ondas (ω1+ω2)/(k1+k2 )=(21+20)/(12+10)≈2 (en color azul)
Ejemplos de medios dispersivos y no dispersivos
Pequeñas ondas en la superficie del agua
Olas en aguas profundas
Olas de longitud de onda mucho mayor que la profundidad
Propagación de ondas en un plasma
donde σ es la tensión superficial del líquido y ρ su densidad
donde H es la profundidad, se trata de un medio no dispersivo la velocidad de fase y de grupo coinciden
Velocidad de grupo
La ecuación de una onda armónica es
donde k es el número de onda, ω es la frecuencia angular, y v=ω/k es la velocidad de propagación
La ecuación de una onda, es la superposición
En un medio dispersivo la frecuencia angular ω depende del número de onda k, las ondas de diferentes longitudes de onda λ=2π/k se propgan con distinta velocidad.
En la sección anterior, hemos calculado la transformada de Fourier de la función.
Como hemos visto a(k) es una función que tiene un pico agudo centrado en k0, por tanto, a(k) es distinto de cero en las proximidades de k0 y es nula en el resto.
La fase φ(k)=kx-ωt es una función de k. Aproximamos φ(k) alrededor de k0 (donde a(k) es distinto de cero) tomando los primeros términos del desarollo en serie de esta función.
donde
vg de denomina velocidad de grupo de ondas, mientas que el cociente ω/k se denomina velocidad de fase.
Calculamos la ecuación de la onda en cualquier instante t
Hacemos el cambio de variable y tenemos una integral del tipo descrito al principio de esta página
Propagación de un pulso sin distorsión, α=0, velocidad de grupo vg=2. El punto de color azul marca el centro del grupo que se mueve con velocidad constante vg.
x0=0; %posición inicial de la función de Gauss k0=2; %número de onda sx2=5; %extensión de la función de Gauss (cuadrado de sigma) w0=4*k0; %velocidad de fase w0/k0 vg=2; %velocidad de grupo alfa=0; %dispersión sk2=1/sx2; x=-8:0.02:30; for i=1:5 subplot(5,1,i) t=(i-1)*3; y=sqrt(2*pi*sk2/(1i*alfa*t*sk2+1))*exp(1i*(k0*x-w0*t-k0*x0))... .*exp(-(x-x0-vg*t).^2*(1-1i*alfa*sk2*t)/(2*(alfa^2*sk2*t^2+1/sk2))); hold on plot(x,real(y),'r'); %movimiento ondulatorio plot(vg*t,0,'bo','markersize',2,'markerfacecolor','b') %centro del grupo hold off grid on ylim([-1.1,1.1]) str=sprintf('t=%1.2f',t); title(str) end
Propagación del pulso con distorsión α=1, velocidad de grupo vg=2. El punto de color azul marca el centro del grupo.
Animamos la segunda figura
fichero = 'onda_2.gif'; hg=figure; %posición y tamaño de la ventana gráfica set(hg,'Position',[0,200,690,180]) x0=0; %posición inicial de la función de Gauss k0=2; %número de onda sx2=5; %extensión de la función de Gauss (cuadrado de sigma) w0=4*k0; %velocidad de fase w0/k0 vg=2; %velocidad de grupo alfa=1; %dispersión sk2=1/sx2; x=-8:0.02:30; for t=0:0.1:10; y=sqrt(2*pi*sk2/(1i*alfa*t*sk2+1))*exp(1i*(k0*x-w0*t-k0*x0))... .*exp(-(x-x0-vg*t).^2*(1-1i*alfa*sk2*t)/(2*(alfa^2*sk2*t^2+1/sk2))); plot(x,real(y),'r') ylim([-1.1,1.1]) grid on %GIF animado frame=getframe; im = frame2im(frame); [imind,cm] = rgb2ind(im,256); if t==0 imwrite(imind,cm,fichero,'gif','DelayTime',0,'loopcount',inf); else imwrite(imind,cm,fichero,'gif','DelayTime',0,'writemode','append'); end end