Reflexión y transmisión de ondas.

Supongamos que un movimiento ondulatorio se propaga a lo largo de dos cuerdas, la cuerda de la izquierda tiene una densidad lineal m1 y la cuerda de la derecha tiene una densidad lineal m2.

El movimiento ondulatorio transversal se propaga en ellas con velocidades, respectivamente, de

v 1 = T m 1 v 2 = T m 2

Siendo T la tensión de las cuerdas.

Ondas incidente, reflejada y trasmitida

Situamos el origen en el punto de unión de las cuerdas. A la izquierda del origen tenemos una onda armónica incidente cuyo número de onda es k1 tal que k1v1 , que se propaga de izquierda a derecha.

Ψi=Ψ0i·sin(ωt-k1x)

y una onda reflejada que se propaga con la misma velocidad de derecha a izquierda

Ψr=Ψ0r·sin(ωt+k1x)

Ψ=Ψ0·sin(ωt-kx) es una forma alternativa de expresar la ecuación de una onda armónica conveniente para este ejemplo.

En la segunda cuerda, tenemos una onda transmitida que se propaga de izquierda a derecha y cuyo número de onda es k2 tal que k2v2 .

Ψt=Ψ0t·sin(ω t-k2x)

A la izquierda del origen, tenemos la superposición de dos movimientos ondulatorios, el incidente más el reflejado, Ψ1=Ψ i+Ψ r

A la derecha del origen, solamente tenemos movimiento ondulatorio correspondiente a la onda transmitida, Ψ2=Ψ t

Relación entre las amplitudes de la onda incidente, reflejada y trasmitida

En el punto de discontinuidad o de unión de ambas cuerdas, el origen, x=0, el desplazamiento vale Ψ1=Ψ2, es decir

Ψ0i·sin(ωt)+Ψ0r·sin(ωt)=Ψ0t·sin(ωt)

Simplificando

Ψ0i+Ψ0r=Ψ0t

Al estudiar las ondas transversales en una cuerda obtuvimos la expresión de la fuerza vertical Fy en cualquier punto de la cuerda.

F y =T Ψ x

La fuerza Fy en cualquier punto de la cuerda cuando se propaga una onda armónica es

F y =T( Ψ 1 x )=T( Ψ i x + Ψ r x )= T k 1 ( Ψ 0i sin(ωt k 1 x)+ Ψ 0r sin(ωt+ k 1 x) )x<0 F y =T( Ψ 2 x )=T( Ψ t x )=T k 2 Ψ 0t sin(ωt k 1 x)x>0

En el origen x=0 se cumple

k1(-Ψ0i+Ψ0r)=-k2Ψ0t

Desde el punto de vista matemático decimos, que en el punto de discontinuidad situado en el origen, la función que describe el movimiento ondulatorio debe ser continua y también  lo debe ser su derivada primera.

Tenemos dos ecuaciones, que nos permiten relacionar la amplitud de la onda reflejada Ψ0r y transmitida Ψ0t en términos de la amplitud de la onda incidente Ψ0i

Ψ 0t = 2 k 1 k 1 + k 2 Ψ 0i Ψ 0r = k 1 k 2 k 1 + k 2 Ψ 0i

Expresando el número de onda k1 y k2 en términos de las velocidades de propagación respectivas v1 y v2

Ψ 0t = 2 v 2 v 1 + v 2 Ψ 0i Ψ 0r = v 2 v 1 v 1 + v 2 Ψ 0i

Actividades

Se representan dos cuerdas unidas en el origen. En la primera región de color blanco, tenemos la superposición Ψ1 del movimiento ondulatorio incidente y reflejado dibujados en una línea de color azul. En la segunda región de color rosa, tenemos el movimiento ondulatorio transmitido Ψ2 dibujado por una línea de color azul. En el origen, la función que describe el movimiento ondulatorio es continua y también su derivada primera.

Asimismo, se representa en la región de la izquierda, el movimiento ondulatorio incidente y reflejado, en los colores que se indican en la parte inferior.

Observamos que la onda transmitida siempre está en fase con la onda incidente. Sin embargo, la onda reflejada puede estar en fase o en oposición de fase dependiendo de que la velocidad de propagación en el segundo medio v2 sea mayor que en el primero v1 o al contrario.

Se introduce

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Referencias

Alonso M., Finn E. J. Física. Addison-Wesley Iberoamericana (1995), págs. 731-733