Zeruko gorputzen dinamika

Espiral logaritmikoa

Higiduraren ekuazioak

Bidaiaren iraupena

Saiakuntza

Erreferentzia

Aurreko orrietan ikusi da, nola eraman daitekeen ontzi espazial bat altuera gutxiko orbita zirkular batetik altuera handiagoko batera, alegia, transferentziazko orbita eliptikoa jarraituz. Horretarako ontziari bultzada laburrak eman behar zaizkio bi tokitan: lehen bultzada, barruko orbita zirkularretik transferentziazko orbitara pasatzeko eta bigarrena kanpoko orbita zirkularrera pasatzeko.

Honako orri honetan aldiz, beste orbita-mota bat ikusiko da orbita zirkular batetik beste orbita zirkular batera pasatzeko. Oraingoan espiral logaritmikoa erabiliko da. Orbita-mota hori lortzeko motoreak ontziari azelerazioa etengabe eman behar dio, baina azelerazio txikia izan daiteke

Adibide gisa, ontzi bat bidaliko dugu Lurretik Martitzera (baina euren eragin-esferatik kanpo, eguzkiaren eraginpean soilik). Ondoko irudiak erakusten ditu, Lurraren orbita zirkularra marra urdinez, Martitzena marra gorriz, eta espiral logaritmikoa marra beltzez, denak Eguzkiaren inguruan.

Posizioa, abiadura eta azelerazioa koordenatu polarretan

P puntu baten posizioa honela adierazten da: x=r·cosq y=r·sinq

Koordenatu polarretako bi ardatzak erradiala eta ortorradiala dira: lehenak norabide erradiala du, eta besteak erradialarekiko perpendikularra, ondorengo irudiak erakusten duen bezala:

Ardatz polarren bektore unitarioak, r eta θ dira:

Bektore unitarioak denborarekiko deribatuz:

Orduan, partikula baten abiadura koordenatu polarretan honela adieraz daiteke:

Azelerazioa ere koordenatu polarretan honela adieraz daiteke:

Espiral logaritmikoa

Koordenatu polarrak aztertzen direnean zenbait kurba ezagun aurkezten dira, hala nola katenaria, zikloidea edota espiral logaritmikoa.

Espiral logaritmikoaren ekuazioa koordenatu polarretan hau da:

r=r₀·exp(b·θ)

θ angelua da, radianetan, r₀ espiralaren hasierako erradioa eta b parametro bat.

Espiral logaritmikoaren ezaugarri nagusia da, r posizio-bektoreak eta espiralarekiko norabide tangenteak (v) osatzen duten Ψ angelua konstantea dela.

Espiralaren gainetik doan partikula baten v abiadura honela adieraz daiteke:

v eta r bektoreen artean osatzen duten Ψ angelua kalkula daiteke, bi bektoreen biderketa eskalarraren bidez:

Baldin b→0, Ψ→π/2 eta r→r₀, limite horretan espiral logaritmikoa zirkunferentzia bat bilakatzen da, r₀ erradioduna.

Espiral logaritmikoaren arkuaren luzera

Arku infinitesimal batek duen luzera, ds, izan ere, desplazamendu bektorearen modulua da, dr.

Eta espiral logaritmikoaren arkuaren luzera θ=0-tik θ angeluraino:

Higiduraren ekuazioak

Demagun motoreak ontziari F indarra eragiten diola abiaduraren norabide berean, alegia ibilbidearekiko tangentea:

Beraz, ontziak jasaten dituen indarrak bi dira:

• Motoreak ematen dion F bultzada

• Eguzkiaren erakarpen-indarra, GMm/r². Demagun ontzia Lurraren eta Martitzen eragin-esferetatik kanpo dagoela (irteeran eta iristean izan ezik).

Orduan higiduraren ekuazioak koordenatu polarretan honela adierazten dira:

Eta ibilbidearen ekuazioa honakoa denez: r=r₀·exp(θ·cotΨ), deribatuak kalkula daitezke t denborarekiko, lehena eta bigarrena:

Adierazpen horiek higiduraren ekuazioetan ordezka daitezke:

Bigarren ekuazioan bakan daiteke: rd²θ/dt²  eta lehenengo ekuazioan ordezkatu, eta honako ekuazio diferentziala lortzen da:

Ibilbidearen ekuazioa ezagututa, r=r₀·exp(θ·cotΨ), ekuazio diferentziala integra daiteke, eta emaitza da θ angeluaren adierazpena t denboraren menpe.

Eta kontuan hartzen bada, r-ren lehen deribatua denborarekiko hau dela:

θ-ren menpeko ekuazio diferentziala berridatz daiteke r-ren menpe:

Eta ekuazio diferentzial hori integratuz, r erradioaren adierazpena lortzen da t denboraren menpe:

Hona hemen ibilbidearen ekuazio parametrikoak (t denboraren menpe):

Ontzi espazialaren abiadura

Ontziaren abiaduraren modulua koordenatu polarretan honela adierazten da:

emaitza hori, izan ere, r erradiodun orbita zirkularrean ari den ontzi baten abiaduraren berdina da.

Ontziak jasaten duen bultzada

Higiduraren bigarren ekuazioaz F indarraren modulua kalkula daiteke, alegia motoreak ontziari egiten diona:

Ezagutzen da θ angeluaren lehen deribatua denborarekiko, dθ/dt, eta bigarren deribatua kalkula daiteke, d²θ/dt². Horretarako honako ekuazio biak konbina daitezke:

 r=r₀·exp(θ·cotΨ),

eta honako adierazpena lortzen da:

Ekuazio hori denborarekiko deribatuz, eta berdinketaren eskumako terminoa konstantea dela kontuan hartuta:

Orain, higiduraren bigarren ekuaziotik F indarra bakan daitkeke:

Ikusten denez, ontziari eman behar zaion F bultzada, ontziak espiral logaritmikoa jarrai dezan, r-ren karratuarekiko alderantziz proportzionala da (eguzkirainoko distantzia), eta abiaduraren norabidean aplikatu behar da (ibilbidearekiko tangentea).

Bidaiaren iraupena

Bidaiaren iraupena Eguzkitik r distantziara dagoen planeta bateraino:

Ontziaren θ posizio angeluarra denboraren menpe honela adieraz daiteke:

Eta ekuazio horretan ordezkatzen bada, t=T, iraupenaren balioa, eta sinplifikatu, iristean duen posizio angeluarra ematen du:

Adibidea

• Lurrak Eguzkiaren inguruan ibilbide zirkularra betetzen duela onar dezagun, hona erradioa: r₀=1.0 UA=1.496·10¹¹ m.

• Martitzek ere Eguzkiaren inguruan ibilbide zirkularra betetzen duela onar dezagun, hona erradioa: r=1.524 UA=2.280·10¹¹ m.

• Eguzkiaren masa: M=1.98·10³⁰ kg

• Grabitazioaren konstantea: G=6.67·10^-11 Nm²/kg²

Higidura zirkular eta uniformearen dinamikaren ekuazioa aplikatuz, Martitzen abiadura angeluarra kalkula daiteke bere orbitan dabilenean:

ω_M=1.055·10^-7 rad/s=0.5225º/egun

Lurraren datuak ordezkatuz Lurraren ω_L abiadura angeluarra ere lortzen da.

Hauta dezagun esaterako, bidaiaren iraupena. Demagun nahi dugula Lurretik Martitzeraino ontzia 3 urtetan iristea: T=3 urte=36 hile=1080 egun. Orduan periodoaren formulatik Ψ angelua lortzen da: Ψ=88.2º.

Ontzi espazialak izango duen desplazamendu angeluar totala: θ_f=13.3 rad=761º

Esaterako, Martitzen hasierako posizioa baldin bada φ_0M (t=0 aldiunean) orduan, T periodoaren ondoren Martitzen posizioa hau da:

φ_M=φ_0M+ω_MT

Ontzi espaziala Lurretik abiatzen da t=0 aldiunean eta φ_0L posiziotik.

Eta bidaia espirala egin ondoren bere desplazamendua θ_f da, beraz, bere posizioa: φ_0L+ θ_f

Martitzen posizioa eta ontziarena berdinak izan behar dira bidaiaren amaieran:

φ_0L+ θ_f=φ_0M+ω_MT

Beraz, jaurtiketaren unean (t=0), Lurrak eta Martitzek honako posizio-diferentzia izan behar dute:

φ_0L - φ_0M =ω_MT- θ_f
φ_0L - φ_0M =0.5225·1080-761= -196.6º

Irudiak erakusten du Martitzen eta Lurraren posizio erlatiboa, ontzia Lurretik jaurtitzen den aldiunean eta bidaiaren iraupena 3 urtekoa nahi bada.

Saiakuntza

Aukeran idatz daiteke:

• Bidaiaren iraupena, hilabetetan, Lurretik abiatuta eta Martitzeraino iristeko, desplazamendu-barrari saguaz eragiten.

Berria botoia sakatu.

Lurraren eta Martitzen posizio erlatiboa kalkulatu behar da jaurtiketaren aldiunean (φ_0L - φ_0M), adibidean egin den bezalaxe, alegia periodoaren eta θ_f -ren formulekin.

Jaurti botoia sakatu.

Ontzi espazialak ibilbide espirala osatzen du Martitzen orbitaraino iritsi arte. Bidaiaren amaieran ez badu Martitzekin topo egiten, berriro errepikatu behar da jaurtiketa, Berria botoia sakatuz.

Leihatilaren eskumako aldean idatziz erakusten dira denbora (egunetan) eta hiru gorputzen posizioak eta abiadurak (ontzia, Lurra eta Martitz).

Behatzen da ontzi espazialak, Lurretik abiatzen denean, Lurraren abiadura bera duela eta, Martitzera iristen denean, Martitzen abiadura bera duela.