Zeruko gorputzen dinamika

Datuak: Jupiter, Lurra eta Eguzkia

Planeten eragin-esfera

Lurra eta Jupiter nola mugitzen diren Eguzkiaren inguruan

Zunda espazialaren ibilbidea

Zunda espaziala nola mugitzen den Lurretik Jupiterreraino

Zunda espaziala Jupiterrera iritsi

Zunda nola mugitzen den Jupiterren eragin-esferaren barruan

Zundaren ibilbide finala

Energiaren analisia

Saiakuntza

Erreferentzia

Orain arte aztertu da zeruko gorputzak nola mugitzen diren zentro finko baten inguruan: Eguzkiaren inguruan planetak aztertu ditugunean edo Lurraren inguruan satelite artifizialak aztertu ditugunean.

Orri honetan konbinatuko dira lau kontzeptu osagarri:

• Grabitazio Unibertsalaren legea, erakarpen-indarra.
• Higidura zirkular eta uniformearen dinamika.
• Indar zentral eta kontserbakorra, Zeruko gorputzen ibilbideak.
• Higidura erlatiboa. Abiadura erlatiboa.

eta ikertuko dira:

• Pioneer X zunda nola jaurti zen Jupiterrerantz.

• Zunda Jupiterrera nola iritsi zen,

• Jupiterren inguruan nolako ibilbidea egin zuen

Datuak: Jupiter, Lurra eta Eguzkia

Bidaia osoa ikertzeko honako datu-multzoa behar da:

• Grabitazio unibertsalaren konstantea: G=6.67310^-11 N²m²/kg²

• Eguzkiaren masa: M_S=1.98·10³⁰ kg,
• Lurraren masa: M_T=5.98·10²⁴ kg
• Lurretik Eguzkiraino dagoen distantzia: R_T=1.496·10¹¹ m
• Lurraren erradioa: r_T=6.37·10⁶ m
• Jupiterren masa: M_J=1.90·10²⁷ kg
• Jupiterretik Eguzkiraino dagoen distantzia: R_J=7.78·10¹¹ m
• Jupiterren erradioa: r_J=6.98·10⁷ m
• Unitate Astronomiko bat: 1 UA=1.496·10¹¹ m

Azpindizeetan, gaztelerazko izenak erabili dira: Tierra, Sol eta Jupiter.

Planeten eragin-esfera

Zunda espazial batek, Lurretik Jupiterrera bidaiatzen duenean, gainontzeko planeten eragina baztertzen badugu, hiru urrats burutuko ditu:

• Irteera, Lurraren erakarpenaren eraginpean.
• Bidaia heliozentrikoa, Eguzkiaren eragin soila, ia bidaia osoan.
• Iristea, Jupiterren erakarpenaren menpe.

Jupiter eta Eguzkiaren arteko distantzia d=7.78·10¹¹ m da.

Planeta baten eragin-esfera da, planeta horrek egiten duen erakarpen-indarra, Eguzkiaren aldean, arbuiagarria ez den eskualdea. Laplace-k asmatu zuen esfera horren erradiorako definizio bat:

hemen, d planetaren eta Eguzkiaren arteko distantzia da, M planetaren masa, eta M_s Eguzkiaren masa.

Lurraren eragin-esfera

Ezagutzen dira, Lurraren masa, M=5.98·10²⁴ kg, Lurraren erradioa R_T=6.37·10⁶ m, Lurretik Eguzkirainoko distantzia, d=1.496·10¹¹ m eta Eguzkiaren masa M_S=1.98·10³⁰ kg. Datuok eragin-esferaren adierazpenean ordezkatuz, honako emaitza lortzen da: R_e=926.7·10⁶ m edo bestela esanda: 145.5 bider Lurraren erradioa. Izan ere, Lurraren eragin-esfera hori oso txikia da Eguzkirainoko distantziaren aldean d=1.49·10¹¹ m=23485 bider Lurraren erradioa. Horrek esan nahi du, zundak ia ibilbide eliptiko osoan zehar Eguzkiaren erakarpena nagusi izango duela, eta planeta bien eragina bidaiaren muturretan baino ez dela nabariko.

Ondoko irudiak erakusten du Eguzkiak egiten duen indarra (F_S) eta Lurrak egiten duen indarra (F_T) posizioaren arabera, Lurraren eragin-esferaren barruan, alegia Lurretik -150·R_T eta 150·R_T distantzien artean. Ikus daiteke, Eguzkiak egiten duen indarra (marra gorria) ia konstantea dela eta, gutxi gora behera, Lurraren zentroan egiten duena. Bestalde ikusten da, Lurrak egiten duen indarra (marra urdina) oso txikia dela eragin-esferaren mugan, eta horixe kalkulatuko dugu ondoren:

Eragin-esferaren mugan, esaterako, R_e=145.5·R_T =926.7·10⁶ m, Lurraren zentrotik ezkerrera edo eskumara, Lurrak egiten duen indarra eta Eguzkiak egiten duena honela kalkulatzen dira:

Jupiterren eragin-esfera

Ezagutzen dira, Jupiterren masa M_J=1.90·10²⁷ kg, bere erradioa R_J=6.98·10⁷ m, Jupiterretik Eguzkira dagoen distantzia d=7.78·10¹¹ m eta Eguzkiaren masa M_S=1.98·10³⁰ kg. Eragin-esferaren adierazpenean ordezkatu eta emaitza hau lortzen da: R_e=4.83·10¹⁰ m edota 691.8 bider Jupiterren erradioa. Jupiterren eragin-esfera ere oso txikia da Eguzkirainoko distantziarekin konparatuta, d=7.78·10¹¹ m edota 11146 bider Jupiterren erradioa. Horrek esan nahi du, zundak ia ibilbide eliptiko osoan zehar Eguzkiaren erakarpena nagusi izango duela, eta planeta bien eragina bidaiaren muturretan baino ez dela nabariko.

Ondoko irudiak erakusten du Eguzkiak egiten duen indarra (F_S) eta Jupiterrek egiten duen indarra (F_J) posizioaren arabera, Jupiterren eragin-esferaren barruan, alegia Jupiterretik -700·R_J eta 700·R_J distantzien artean. Ikus daiteke, Jupiterren eragin-esfera oso handia dela, Jupiterrek oso masa handia duelako, eta Eguzkiak egiten duen indarra (marra gorria) ez da konstantea, Lurraren kasuan gertatzen zen ez-bezala. Bestalde ikusten da, Jupiterrek egiten duen indarra (marra urdina) ez dela hain txikia eragin-esferaren mugan, eta horixe kalkulatuko dugu ondoren:

Eragin-esferaren mugan, esaterako,  R_e= 4.83·10¹⁰ m=691.8·R_J , Jupiterren zentrotik ezkerrera edo eskumara, Jupiterrek egiten duen indarra eta Eguzkiak egiten duena honela kalkulatzen dira:

Hala ere, eragin-esferaren tamaina oso txikia da Jupiter eta Eguzkiaren arteko distantziarekin konparatuta. Horrek esan nahi du, zundak ia ibilbide eliptiko osoan zehar Eguzkiaren erakarpena nagusi izango duela, eta planeta bien eragina bidaiaren muturretan baino ez dela nabariko.

Lurra eta Jupiter nola mugitzen diren Eguzkiaren inguruan

Has gaitezen Jupiterren orbita eliptikoa deskribatzen: ardatzerdi nagusia, a=5.203 UA eta eszentrikotasuna, ε=0.048.

Orduan, b ardatzerdi laburra honela kalkulatzen da:

Orbita eliptiko hori zirkuluaren oso antzekoa da. Har dezagun Jupiterren orbita zirkulartzat eta kalkula dezagun batezbesteko erradioa: R=(a+b)/2=5.20 UA=5.20·1.496·10¹¹ m=7.78·10¹¹ m

Aurrerantzean Jupiterren orbita zirkulartzat hartuko dugu eta horixe bere erradioa R_J = R.

Jupiterrek eguzkiaren inguruan orbitatzen du, eta bere abiadura kalkulatzeko (VJ) aplika dezagun higidura zirkularraren dinamika:

Ekuazio horretatik planetaren abiadura bakan daiteke:

Lurraren kasuan ere, orbita zirkulartzat hartuko dugu, bere batezbesteko erradioa R_T=1UA=1.496·10¹¹ m. Eta, lehen bezala,  higidura zirkularraren dinamika aplikatuz, bere abiadura kalkulatzen da:

Zunda espazialaren ibilbidea

Edozein gorputz, erakarpen-zentro baten inguruan mugitzen denean, esaterako Eguzkiaren edo planeta baten inguruan, jarraitzen duen ibilbidea konika bat da:

E, gorputzaren energia da eta L, bere momentu angeluarra erakarpen-zentroarekiko. Biak konstanteak dira indar erakarlea zentrala eta kontserbakorra delako.

Ibilbidearen edozein puntutan gorputzaren energia honela adieraz daiteke: Eta momentu angeluarra honela: L=m·v·r·sinφ

Azken adierazpeneko φ angelua da, norabide erradialak eta abiadura-bektoreak (ibilbidearekiko tangentea) osatzen duten angelua, irudiak erakusten duen bezala.

Ibilbide-mota erabakitzen da, energia totalaren zeinuarekin.

• Baldin E<0, ibilbidea eliptikoa da.
• Baldin E=0, ibilbidea parabolikoa da.
• Baldin E>0, ibilbide hiperbolikoa da.

Zunda espaziala nola mugitzen den Lurretik Jupiterreraino

Zunda lurrarekin batera mugitzen ari da eta beraz VT abiadura du Eguzkiarekiko. Lurraren orbitatik kanpora bidaltzeko, bere motoreek abiadura-gehigarri bat eman behar diote norabide eta noranzko berean: dei diezaiogun v0 .  Bultzadaren ondoren, zundaren abiadura totala honakoa da: vT =VT+v0.

Motoreek zundari bultzada hori eman behar diote, oraindik Lurretik hurbil dagoenean, eta eman dezagun Lurraren eragin-esferatik kanpo dagoela.

Zundaren hasierako posizioa eta abiadura ezagututa, kalkula dezagun bere ibilbidea eguzkiaren inguruan. Horretarako Eguzkiaren erakarpen-indarra soilik hartuko dugu kontutan. Idatz ditzagun zundaren Energia eta Momentu angeluarra hasieran:

Baldin E<0 , zunda espazialak ibilbide eliptiko bat jarraituko du, irudiak erakusten duen bezala. Elipse horren perihelioa (Eguzkirainoko distantzia minimoa) R_T  da, Lurraren orbitaren erradioa. Dei diezaiogun elipsearen afelioari (eguzkiraino distantzia maximoari) r_m.

Zundaren energia eta momentu angeluarra konstanteak dira eta, esaterako, hasierako posizioa eta abiadura ezagutuz, kalkula daitezke elipsearen afelioa (r_m) eta zundaren abiadura afelioan (v_m),

Elipsearen afelioa (r_m) Jupiterren orbitaren erradioa baino txikiagoa ateratzen bada, zunda ez da Jupiterreraino iritsiko. Kalkula dezagun bada, zein abiaduraz jaurti behar den zunda Lurretik (v_T) justu Jupiterren orbitaraino iritsi ahal izateko: r_m=R_J. Ekuazio bi horietatik, hona hemen lortzen den emaitza:

Eta datuak ordezkatzen badira:

• Eguzkiaren Masa, M_S=1.98·10³⁰ kg
• Jupiterren orbitaren erradioa, R_J=7.78·10¹¹ m
• Lurraren orbitaren erradioa, R_T=1.496·10¹¹ m

Ateratzen da v_T=38481.7 m/s. Baina lurraren translazio-abiadura Eguzkiaren inguruan V_T=29711.9 m/s da, beraz, motoreek zunda Jupiterreraino jaurtitzeko eman behar dioten abiadura-gehigarria gutxienez: v₀=v_T -V_T=8769.8 m/s. Hori baino abiadura handiagoz soberan iritsiko da.

Zunda espaziala Jupiterrera iritsi

Demagun zunda soberako abiaduraz jaurti dela eta kalkula dezagun non mozten diren zundaren orbita eliptikoa eta Jupiterren orbita zirkularra:

Ibilbidearen ekuazioa koordenatu polarretan adierazten bada, eta ordezkatzen bada r=R_J, orduan θ angelua bakan daiteke:

Eta zundaren E energia konstantea denez ibilbidearen puntu guztietan, bere abiadura kalkula daiteke posizio horretan (v_e):

Bestalde, zundaren momentu angeluarra (L) ere konstantea denez, φ angelua kalkula daiteke, alegia abiadura-bektoreak eta norabide erradialak osatzen dutena.

mR_Tv_T=mv_eR_J·sinφ

Bidaiaren iraupena

Zundak Jupiterrekin topo egin arte zenbat denbora tardatzen duen kalkulatzea pixka bat konplikatuagoa da, baina Kepler-en azaleren legeaz lor daiteke.

Zundaren momentu angeluarra koordenatu polarretan honela adierazten da:

Eta denborarekiko integratuz:

Ezkerreko integrala da, zundaren posizio-bektoreak ekortzen (estaltzen) duen azalera, θ=0 posiziotik mugitzen bada θ posizioraino, izan ere, irudian kolore grisez adierazten den azalera. Ekuazio horretan t denbora bakan daiteke:

Grisez irudikatutako azalera kalkulatu behar da: elipse erdiaren eta x eta a bitartean dagoen zatia, ken honako hirukia: oinarria: r·cos(180-θ) eta altuera: r·sin(180-θ).

Elipsearen ekuazioa koordenatu cartesiarretan honela adierazten da:

a elipsearen ardatzerdi nagusia da, b ardatzerdi laburra eta c distantzia fokalaren erdia.

Hortaz, x eta a bitartean dagoen elipse-zatiaren azalera:

Integral hori ebazteko honako aldagai-aldaketa egin da: x=a·sin z. Eta integralaren muturrak honela aldatzen dira:

• x=a denean  z₂=π/2,
• eta r·cosθ +c=a·sinz₁

Azalera totala hau da:

Bidaiaren iraupena (t_e) azalera horren proportzionala da.

Ezagutzen badira r eta θ,  elipsearen a ardatzerdi nagusia kalkula daiteke: izan ere, elipsearen afelioaren eta perihelioaren batezbesteko aritmetikoa baita:

Eta distantzia fokalaren erdia: c=ε·a

Eta elipsearen b ardatzerdi laburra:

Adibidea:

Demagun motoreek, zunda Lurraren orbitatik jaurtitzen dutenean, 9200 m/s-ko abiadura-gehigarria ematen diotela. Orduan zundaren abiadura eguzkiarekiko: v_T=9200+V_T=38911.9 m/s

Kalkula ditzagun zundaren energia eta momentu angeluarra hasieran:

E= -125.73·10⁶·m J, eta  L=5.82·10¹⁵·m kgm²/s

Datu horietatik abiatuta, elipsearen ezaugarriak kalkula daitezke: p parametroa eta ε eszentrikotasuna.

 ε=0.715, eta p=2.57·10¹¹ m

Kalkula dezagun orain non mozten diren zundaren orbita eliptikoa eta Jupiterren orbita zirkularra: θ_e=159.6ş

Zundaren E energia konstantea denez, bere abiadura kalkula daiteke Jupiterreraino iristen denean: v_e=9383.2 m/s

Eta zundaren L momentu angeluarra ere konstantea denez, kalkula daiteke zein angelu osatzen duen bere abiadurak norabide erradialarekiko, alegia Eguzkia-Jupiter norabidearekiko: φ=52.9ş

Beraz, zunda Jupiterreraino iristen denean, r=R_J=7.78·10¹¹ m eta θ=θ_e=159.6ş.

Elipsearen ekuazioa ezagututa koordenatu polarretan, kalkula daitezke a, b, c eta z₁. Azkenik, bidaiaren iraupenaren ekuazioan ordezkatu eta hona emaitza: t_e=682.4 egun.

Zunda espaziala nola mugitzen den Jupiterren eragin-esferaren barruan

Zunda espaziala Jupiterrerantz hurbildu eta bere eragin-esferan sartzen da. Eman dezagun, eragin-esfera osoaren barruan, Eguzkiaren indarraren energia potentziala konstantea dela. Hortaz, zundak Jupiterren erakarpena soilik jasango du, eta berak agindutako ibilbidea jarraituko du. Ibilbide horren ezaugarriak hasierako posizioaren eta abiaduraren araberakoak dira, justu eragin-esferan sartzen den aldiunekoak.

Orain, Jupiterren erreferentzia-sisteman kokatuko gara, eta zundaren abiadura eta norabidea kalkula ditzagun, erreferentzia-sistema horretan:

Zundaren abiadura Eguzkiarekiko, dei dezagun v_e. Jupiterrek eguzkiaren inguruan duen abiadura V_J. Hortaz, zundaren abiadura Jupiterrekiko (w_e bektorea) honela kalkulatzen da:

w_e=v_e-V_J

Deskonposa ditzagun abiadura-bektore horiek bi norabidetan: norabide erradiala (Eguzkia-Jupiter norabidea) eta norabide erradialarekiko perpendikularra (goiko irudiak erakusten duen bezala):

w_e·sinα=v_e·sinφ-V_J
w_e·cosα=v_e·cosφ

Aurreko ataleko datuak ordezkatzen baditugu (v_e ,V_J eta j) ekuazio bi horietan, zundaren abiadura kalkula dezakegu: w_e=7926.2 m/s eta norabidea α= -44.4ş, Eguzkia eta Jupiter lotzen dituen zuzenaren norabidearekiko, eta Jupiterren erreferentzia-sistemarekiko.

Ibilbidearen ekuazioa erabakitzeko, zundaren Energia eta Momentu angeluarra kalkulatu behar dira, Jupiterren erreferentzia-sistemarekiko. Dei diezaiegun hurrenez hurren  Σ eta Γ.

Justu Jupiterren eragin-esferaren mugan, Re=4.83·1010 m , zundaren abiadura we da, beraz bere energia:

Momentu angeluarra kalkulatzeko, posizioa eta abiadura ezagutzeaz gain, beste datu bat ere behar dugu: talka-parametroa, edo bestela, zundaren norabidetik Jupiterren zentroraino dagoen distantzia minimoa (r_m). Orduan zundaren momentu angeluarra Jupiterrekiko honela adieraz daiteke:

Γ=mr_m·w_m·sin90ş= mw_m·r_m

Zundaren energia totala (Σ) konstantea da bere ibilbideko puntu guztietan, eta hurbiltze maximoko posizioan honela idatz daiteke:

Zundaren energiak eta momentu angeluarrak ibilbidearen ekuazioa erabakitzen dute: Σ energia positiboa da, beraz, zundak ibilbide hiperbolikoa jarraitzen du, Jupiterrera hurbiltzen da r_m distantziaraino, bertan du abiadura maximoa eta ondoren urrundu egiten da. Eragin-esferaren mugara berriro iristen denean, hasierako abiadura bera dauka, w_e, baina norabidea aldatuta dago θ_L angelu batez, ondoren aztertuko duguna.

Jupiterren datuekin: eragin-esferaren erradioa R_e=4.83·10¹⁰ m eta masa M_J=1.90·10²⁷ kg, energia totala kalkula daiteke eragin-esferaren mugan: Σ =28.79·10⁶·m J.

Ondoren erabaki behar da zenbateraino nahi dugun hurbiltzea zunda Jupiterrera. Datu gisa aukeratuko dugu hurbiltze maximoko r_m  posizioa. Demagun, esaterako, r_m=198.2·10⁶ m edota  r_m=2.84·r_J .  Energiaren kontserbazioaz, zundak hurbiltze maximoko posizio horretan daukan abiadura ere kalkula daiteke: w_m=36553.8 m/s, eta momentu angeluarra Γ= 7.25·10¹²·m kg·m²/s.

Energia eta momentu angeluarra ezagututa (Σ eta Γ), ibilbidearen ekuazioa honakoa da, r(q) koordenatu polarretan:

Eta eragin-esferaren mugara berriro iristen denean, hasierako abiadura bera dauka, w_e, baina norabidea aldatuta dago θ_L angelu batez. Angelu hori kalkula daiteke orbitaren ekuazioan r→∞ ordezkatuz:

Zundaren abiadurak hasieran duen norabideak eta amaieran duenak 2θ_L-180 angelua osatzen dute, irudiak erakusten duen bezala.

Lehen lortutako datuak, Σ energia eta Γ momentu angeluarra ordezkatzen badira honako emaitza lortzen da:

ε=1.09,  eta  θ_L=156.5ş.

Zundaren ibilbide finala

Zunda Jupiterren eragin-esferatik irten eta gero nola mugitzen den aztertzeko, berriro kokatuko gara Eguzkiaren erreferentzia-sisteman.

Nahi badugu zundaren hasierako w abiadurak α angelu jakin bat osatzea Eguzkia eta Jupiter lotzen dituen norabidearekin, orduan hiperbolaren simetria-ardatza angelu jakin bat biratu beharko da, irudiak erakusten duen bezala. Eta kasu horretan, zundaren amaierako w' abiadurak honako angelua osatuko du norabide berarekiko: β=2θ_L-180+α

Zundaren abiadura finala (v’) Eguzkiarekiko honela kalkulatzen da bektorialki:

v’=w’+V_J

Lehen bezala, deskonposa ditzagun abiadura-bektore horiek bi norabidetan: norabide erradiala (Eguzkia-Jupiter norabidea) eta norabide erradialarekiko perpendikularra:

v’·sin φ’=w·sinβ+V_J
v’·cosφ’=w·cosβ

Lehengo datuak ordezkatuz: β=2·156.5-180-44.4=88.7ş, w=7926.2, eta V_J=13028.8 m/s, hona hemen emaitza:

v’=20953.8 m/s
φ’=89.5ş

Zunda Jupiterren eragin-esferan sartu denean honako abiadura zeraman: v_e=9383.2 m/s, baina eragin-esferatik irteten denean abiadura handiagoa darama: v’ =20953.8 m/s. Eguzkirainoko distantzia, gutxi gora behera, Jupiterrena bezalakoa da: R_J=7.78·10¹¹ m eta aurrerantzean Eguzkiaren erakarpenak soilik eragiten dio. Ondorengo higiduran, zundaren energia eta momentu angeluarra eguzkiarekiko:

L’=mv’R_J·sinφ’

Aurreko datuak ordezkatuz: E’=49.8·10⁶·m J eta L’=1.63·10¹⁶·m kgm²/s

Energia hori positiboa da, beraz zundaren orbita hiperbola bat izango da. Zundak Eguzkitik urruntzen jarraituko du eta ez da inoiz bueltatuko. Zunda planetaren mugimenduaren alde pasatzen bada bizkortu egiten da, baina mugimenduaren kontra pasatzen bada moteldu egiten da.

Energiaren analisia

Ondorengo applet-ean, eskumako aldean, barra batek energia-aldaketak erakusten ditu, alegia zundak jasaten dituenak ibilbide osoan zehar.

Gorputz bat Eguzkitik UA bateko distantziara kokatuta badago energia potentzial negatiboa du:

Gorputz horrek Eguzki-sistematik ihes egin dezan, energia zinetiko nahikoa eman behar diogu, izan ere, bere energia totala nulua edo positiboa izatera iritsi behar da. Ihes-abiadura da, gorputz bati eman behar zaion abiadura, infinituraino irits dadin eta abiadura nuluaz. Lurraren orbitan dagoen gorputz batentzat eta Eguzkiaren erakarpenetik ihes egiteko behar den abiadura:

Baina zunda espazial bat Lurretik abiatu, kanpoko planeta batera bisita egin, eta Eguzki sistematik ihes egiteko, ez da behar horrenbeste energia.

Lehenik, zunda espaziala hasieran Lurrarekin batera mugitzen ari da, eta orbita zirkularrarekiko norabide tangentean jaurtitzen bada eta Lurraren noranzko berean, V_T=29711.9 m/s, ihes-abiadura gutxiagotzen da:

Bigarrenik, xahututako energia are gehiago gutxitu dezakegu, Jupiterren erakarpenaz baliatuz, zundari abiadura handiago ematen badiogu (zundak Jupiterrekiko duen abiadura ez da aldatzen eragin-esferaren mugara berriro iristen denean, baina zundak Eguzkiarekiko duen abiadura handitu egin daiteke, orri honetan ikusi dugun bezala).

Baina, orri honen hasieran frogatu dugunez, zunda espaziala Lurretik Jupiterreraino iristeko gutxienez honako abiadura-gehigarria eman behar diogu: 8769.8 m/s.

Zunda espazialak daukan energia konstantea da Lurretik gertu jaurtitzen den unetik, eta Jupiterrera iritsi arteko ibilbide osoan zehar. Lehen aipatutako datuekin:

E= -125.73·10⁶·m  J

Eta amaieran, Jupiterren eragin-esferatik irtetean, zundaren energia finala hau da:

E’= 49.8·10⁶·m  J ≥0

Energia hori positiboa denez, Eguzki sistematik ihes egingo du.

• Energiaren aldakuntza

Zundak jasaten duen energia-emendioa planetaren ingurutik pasatzean, planetaren mugimenduak eragiten du (planetaren mugimenduaren alde pasatzen bada bizkortu egingo da, eta mugimenduaren kontra pasatzen bada moteldu egingo da). Izan ere, planetaren abiadura gutxitu egingo da, baina gutxitze hori arbuiagarria izango da, oso masa handia duelako.

Jupiterren abiadura orbitala hau da: 13028.8 m/s, bere masa M_J=1.9·10²⁷ kg, eta zunda espazial baten masa m=260 kg, inguru. Hortaz, planetak jasaten duen abiadura-aldaketa zundaren eraginez hau da: ΔV_J ≈1.84·10^-21 m/s.

• Momentu linealaren aldakuntza

Momentu linealaren kontserbazio-printzipioaz baliatuz, zundaren abiadura-aldaketa ere kalkula daiteke. Eman dezagun Jupiter eta zunda bikotea multzo isolatua dela elkarren arteko eraginak irauten duen bitartean:

mv’-mv_e=M_JΔv_J

Alboko irudiak erakusten duen bezala, Jupiterren eragin-esferan sartzen denean, zundak ve abiadura du: 9383.2 m/s eta norabide erradialarekin (Eguzkia-Jupiter) osatzen duen angelua honakoa da: φ=52.9ş Jupiterren eragin-esferatik irteten denean, ordea, zundak v' abiadura du: 20953.8 m/s eta norabide erradialarekin osatzen duen angelua honakoa da: φ’=89.5ş

Deskonposa ditzagun bi abiadurok bi norabidetan: erradiala (Eguzkia-Jupiter) eta erradialaren perpendikularra.

m·(v’·cosφ’-v_e·cosφ)=M_J ·Δv_x
m·(v’·sinφ’-v_e·sinφ)=M_J ·Δv_y

Ikusten denez, Jupiterrek jasaten duen abiadura-aldaketa energien bidez lortutakoaren ia berdina da.

Saiakuntza

Aukeran idatz daitezke:

• Abiadura kontrolean, motoreek zundari Lurretik gertu ematen dioten abiadura-gehigarria km/s-tan.
• Jupiterren zenbat hurbildu nahi dugun zunda, baina Jupiterren erradioa erreferentziatzat hartuta (69.8·10⁶ m). Betiere datu hori "bat" baino handiagoa aukeratu behar da, zundak Jupiterrekin talka egitea nahi ez badugu.

Hasi botoia sakatu.

Zundari ematen zaion abiadura 12.0 km/s baino handiagoa bada, eguzkiaren inguruan jarraituko duen ibilbidea ez da eliptikoa izango hiperbolikoa baizik, eta 8.7698 km/s baino txikiagoa bada ez da Jupiterreraino iritsiko.

Lurra eta Jupiter ikusten dira euren orbitetan mugitzen (urdinak) eta zunda era mugitzen ikusten da bere ibilbide eliptikoan (gorria). Jupiterren inguruko zirkulu horiak eragin-esfera erakusten du.

Zunda Jupiterreraino iristen bada, leihatilan erreferentzia-sistema aldatzen da eta Jupiterrena hartzen da. Bertan ikusten da zundak ibilbide hiperbolikoa jarraitzen duela Jupiterren inguruan, hurbiltzen dela hautatu dugun hurbiltze maximoraino, eta berriro urruntzen dela eragin-esferatik irten arte.

Zunda Jupiterren eragin-esferatik irteten denean, leihatilan berriro aldatzen da erreferentzia-sistema eta berriro hartzen da Eguzkiarena. Aurrerantzean zunda Eguzkiaren eraginez mugitzen da soilik, eta leihatilan ikusten dira Lurretik Jupiterreraino jarraitu duen ibilbidea eta Jupiter utzi ondoren jarraitzen duena.

Leihatilaren eskumako aldean idatziz erakusten dira zundaren mugimenduaren datuak. Hala nola, abiadura eta osatzen duen angelua norabide erradialarekiko (Eguzkia-Jupiter norabidearekiko) eta baita ere mugimenduaren atal bakoitzaren denbora-aldiune partziala.

Leihatilaren eskumako koloredun barrak energia-aldaketak erakusten ditu. Energia potentziala negatiboa da eta energia zinetikoa, aldiz, positiboa. Energia totala (bi energien batura) marra batez adierazten da barraren gainean, eta zenbakiz ere adierazten da, ·10⁶·m J unitateetan (m zundaren masa da).

Adibidea: Ibilbidea osorik ikusteko idatz bitez honako datuok:

• Abiadura: 8.8 km/s
• Jupiterren zenbateraino hurbildu: 10 bider planetaren erradioa.