Zeruko gorputzen dinamika

Adibidea

Saiakuntza

Demagun ontzi espazial bat bidali nahi dugula planeta batetik bestera, alegia, orbita batetik bestera, edota komunikazio-satelite bat dagoen orbitatik beste orbita ezberdin batera aldatu nahi dela.

Badago orbita erdieliptiko bat, Hohmann-en orbita deritzona, erregai minimoarekin orbita aldatzea lortzen duena. Horretarako, sateliteari inpultso bi eman behar zaizkio:

• A puntuan, azelerazio-inpultso batek, satelitea barruko orbita zirkularretik (urdinetik) transferentzia-orbitara pasarazten du.
• B puntuan, beste azelerazio-inpultso batek, satelitea transferentzia-orbitatik kanpoko orbita zirkularrera (gorrira) pasarazten du.

Deskribapena

Orbita-aldaketa bi horiek ikertzeko erabiliko dugu, indar grabitatorioa zentrala eta kontserbakorra dela, aurreko orrietan erabili den bezalaxe, eta bestalde erabiliko dugu higidura zirkular uniformearen dinamika.

Onar dezagun barruko orbitan, satelitea higidura zirkular eta uniformeaz mugitzen ari dela, rA erradioaz eta vA abiaduraz. Orduan: (1) Ekuazio horietan M  Lurraren masa da, G grabitazio unibertsalaren konstantea eta m satelitearen masa baina, bi aldeetan agertzen denez, sinplifikatu egiten da.

Sateliteak barruko orbita zirkular horretan duen energiari dei diezaiogun E₁:

izan ere, energia potentzialaren erdia.

Kalkula dezagun sateliteak A puntuan zein abiadura izan behar duen, B punturaino iristeko, alegia kanpoko orbitaraino iristeko. Horretarako, aplika dezagun indar grabitatorioa zentrala eta kontserbakorra dela.

Grabitatea indar zentrala denez, satelitearen momentu angeluarra fokuarekiko (L) berdina da A eta B puntuetan:

Eta kontserbakorra denez, satelitearen energia berdina da bere ibilbideko puntu guztietan, eta bereziki A eta B puntuetan ere:

Ekuazio bi horietan ezagunak badira r_A eta r_B , kalkula daitezke A eta B puntuetako abiadurak:

                     (2)

Satelitearen energia totala konstantea da ibilbidearen puntu guztietan baina honako hau balio du:

Beraz, sateliteari eman behar diogun energia A posizioan, barruko orbita zirkularretik transferentziazko orbita eliptikora pasatzeko, E₂-E₁ da, alegia:

Kanpoko orbita zirkularra

Satelitea B punturaino iritsi denean, transferentziazko orbita eliptikotik kanpoko orbita zirkularrera pasatu behar da. Berriro aplika dezagun higidura zirkular uniformearen dinamika:

  (3)

Kanpoko orbita zirkularrean satelitearen energiari dei diezaiogun E₃.

Beraz, sateliteari eman behar diogun energia B posizioan, transferentziazko orbita eliptikotik kanpoko orbita zirkularrera pasatzeko, E₃-E₂ da, alegia:

Satelitea transferentziazko orbitan zenbat denbora egon den ere kalkula daiteke, A-tik B-raino orbita osoaren P periodoaren erdia delako:

eta a da, elipsearen ardatzerdi nagusia.

Onar dezagun sateliteak A eta B puntuetan abiadura aldatzen duela iraupen laburreko inpultsoen bitartez, horrela ez dugu kontutan izango pisuaren eragina denbora-tarte horretan.

Koheteen dinamika ikertu genuenean, kalkulatu genuen zenbat erregai xahutu behar duen satelite batek (m₀-m) bere abiadura handitzeko: v-v₀ . Hona hemen hango emaitza:

 (4)

Ekuazio horretan, u gasen abiadura erlatiboa da kohetearekiko, m₀ kohetearen hasierako masa, m amaierako masa, eta Δv=v-v₀ abiadura-aldaketa.

Sateliteak duen abiadura-aldaketa totala, A eta B puntuetan, bien batura da:

Eta (4) adierazpenean, ezagutzen badira satelitearen hasierako m₀ masa, eta Δv abiadura-aldaketa, kalkula daiteke satelitearen amaierako m masa, eta hortik zenbat erregai xahutu duen sateliteak barruko orbitatik kanpoko orbitaraino pasatzeko.

Adibidea

Lurrak biratu egiten duenez, posiblea da satelite bat orbitan kokatzea Lurraren abiadura angeluar berarekin, horrela satelitea geldi dagoela dirudi Lurraren gainazalarekiko. Orbita horri geosinkrono edo geogeldikor deritzo eta oso erabilia da komunikazioetan.

Demagun komunikazio-satelite bat orbita zirkular geosinkronora eraman nahi dela, hau da, 35770 km-ko altueraraino lurraren gainazaletik, baina hasieran 350 km-ko orbita zirkularretik abiatzen dela. Kalkula bitez:

• Sateliteari eman behar zaion abiadura A puntuan trantsiziozko orbita eliptikora pasa dadin.
• Eman behar zaion abiadura B puntuan orbita geogeldikorrera pasa dadin.
• Kalkula bedi zenbat energia xahutu behar den guztira, m masadun satelitea barruko orbita zirkularretik kanpoko orbita zirkular eta geogeldikorrera pasatzeko.

Datuak

• Lurraren masa, M=5.98·10²⁴ kg.
• Grabitazio unibertsalaren konstantea, G=6.67·10^-11 Nm²/kg²
• Lurraren erradioa, R=6370 km
• Satelitearen masa, m, aske utzi da eta zenbakizko emaitza guztietan indikatuta ageri da (ez nahastu unitateen "mili"-ren aurrizkiarekin)

Lehen-lehenik adieraz ditzagun altuera guztiak Lurraren zentrotik:

r_A=(350+6370)·1000 m. eta  r_B=(35770+6370)·1000 m.

1. Sateliteak barruko orbita zirkularrean daraman abiadura (1) formulaz kalkulatzen da: v_A =7704.22 m/s. Eta orbita horretan sateliteak duen energia: E₁= -29.68·10⁶·m  J (m satelitearen masa da).

2. Orbita horretatik transferentziazko orbita eliptikora pasatzeko, zenbateko inpultsoa eman behar zaion, kalkula daiteke (2) formulekin: A puntuan orbita aldatzeko v’_A =10118.5 m/s, eta horrela, B punturaino iristen denean,  baina oraindik orbita eliptikoan, v_B =1613.6 m/s. Satelitearen energia orbita eliptikoan: E₂= -8.16·10⁶·m J. Eta zenbat denbora ematen duen sateliteak transferentziazko orbitan: 18994.2 s.

3. Kanpoko orbita zirkularrean kokatzeko behar duen abiadura (3) formularekin kalkulatzen da: v’_B =3076.6 m/s. Eta satelitearen energia orbita horretan: E₃= -4.73·10⁶·m  J .

• Barruko orbita zirkularretik transferentziazko orbitara pasatzeko A puntuan energia eman behar zaio sateliteari: DE_A, izan ere, energia zinetikoaren aldaketa: DE_A= 21.5 10⁶ m  J.
• Transferentziazko orbitatik kanpoko orbita zirkularrera pasatzeko B puntuan energia eman behar zaio sateliteari: DE_B, hemen ere energia zinetikoaren aldaketa: DE_B= 3.43 10⁶ m  J.
• Eta energia totala, satelitea barruko orbitatik kanpoko orbitara eramateko, aurreko bi energien batura da: DE=DE_A+DE_B = 24.9 10⁶ m  J.

Saiakuntza

Aukeran idatz daiteke:

• Barruko orbita zirkularraren altuera, kilometrotan, A altuera kontrolean.
• Kanpoko orbita zirkularraren altuera, kilometrotan, B altuera kontrolean (bigarren altuera hau 36000 km baino txikiagoa izan behar da).

Berria botoia sakatu.

Satelitea ikusten da, barruko orbita zirkularrean mugitzen, Lurraren inguruan. Orbita horretan daukan abiadura (v_A) idatziz erakusten da A abiadura kontrolean.

Idatz bedi:

• A abiadura kontrolean, sateliteari eman behar zaion abiadura berria (v’_A), m/s-tan, transferentziazko orbitara pasatzeko.

Jaurti botoia sakatu.

Satelitea barruko orbitatik jaurti egiten da (A puntua) eta orbita berria deskribatzen hasten da (marra beltza). Kanpoko orbitaraino iristen ez bada, edo pasatu egiten bada, programak ohar bat emango du: "Ontzia ez da ondo iritsi bigarren orbitara", eta jaurtiketa berriz errepikatu beharko da.

Satelitea kanpoko orbitara "ondo" iristen bada (B puntura), B abiadura kontrolean idatziz agertuko da satelitearen abiadura une horretan: v_B.

Idatz bedi:

• B abiadura kontrolean, sateliteari eman behar zaion abiadura berria (v’_B), m/s-tan, kanpoko orbitara zirkularrera pasatzeko.

Kokatu botoia sakatu.

Kokatzeko abiadura ez bada egokia, sateliteak bere ibilbidea jarraituko du (marra beltzez), eta gainera programak mezu bat ematen du: "Ontzia ez da ondo kokatu bigarren orbitan". Aldiz, satelitea ondo kokatzen bada, kanpoko orbita zirkularrean geratu eta bertan mugitzen segituko du.

Sateliteak transferentziazko orbita jarraitzen duen bitartean, leihatilaren goiko eta ezkerreko aldean idatziz erakusten dira, denbora, jaurtiketaren unean hasita, eta satelitearen abiadura. Leihatilaren eskumako aldean berriz, barra-diagrama batez, ontziaren energia erakusten da: gorriz energia potentziala, urdinez energia zinetikoa eta idatziz energia totala, 10⁶J-ko unitateetan. Beha daiteke, orbita zirkular batean, satelitearen energia totala justu energia potentzialaren erdia dela.

Oharra: programa honetan, satelitearen orbiten altuera biak, A eta B altuerak, Lurraren gainazalarekiko adierazten dira eta kilometrotan, baina kalkuluak egiterakoan ordea, satelitearen posizioak lurraren zentroarekiko behar dira. Hortaz, altuerei Lurraren erradioa gehitu behar zaie (6370 km) eta emaitza metrotan adierazi.