Zeruko gorputzen dinamika

Saiakuntza

Erreferentzia

Planetek orbita eliptikoak osatzen dituzte, eta eguzkia elipsearen foku batean dago. Ibilbide eliptiko horiek ugarienak izaten dira, eta horregatik aztertzen dira zehatz-mehatz hainbat kapitulutan. Ibilbide hiperbolikoak aldiz, urriagoak izaten dira eta orri honetan aztertuko dira, baina baita ere beste orri batzuetan, besteak beste, ontzi espazial bat Jupiterrera bidaltzea, eta Mekanika Kuantikoan, nukleo atomikoen dispertsioaren fenomenoa aztertzen denean.

Oinarri fisikoak

Demagun asteroide bat, m masaduna, planeta baterantz hurbiltzen ari dela. Infinituan v₀ abiadura du eta bere ibilbidea zuzena da eta planetaren zentrotik b distantzia jakin batera pasatzen da (irudian gorriz adierazten dena); b distantzia horri talka-parametroa deritzo. Asteroidea planetarantz hurbildu ahala, bere abiadura aldatzen doa, bai norabidez eta baita moduluz ere (urdinez adierazten den ibilbidea), eta azkenean, planeta inguratu ondoren, berriz ere infiniturantz urruntzen da. Urruntze-bidea X ardatzarekiko simetrikoa da, izan ere, hiperbolaren beste adarraren asintota.

Problema hau ikertzeko, planetaren M masa oso handia dela onartuko dugu, asteroidearen masarekin konparatuta, alegia m<<M , eta ez dugu kontutan hartuko Eguzkiaren eragina ezta gainontzeko planetena.

Hona hemen ibilbidearen ekuazioa koordenatu polarretan:

Koordenatu polarretan r distantzia da, planetaren zentrotik asteroideraino, eta θ angelua posizio-bektoreak osatzen duena X ardatzarekin, irudiak erakusten duen bezala.

ε parametroa, eszentrikotasuna da, eta ibilbide-mota erabakitzen du: izan ere, hiperboletan ε>1. Eszentrikotasunaren definizioan bertan behatuz, hori gertatzen da E>0 denean, gainontzeko konstanteak positiboak direlako denak (L, M, m eta G).

Asteroidearen energia infinituan, soilik da energia zinetikoa:

Eta momentu angeluarra:

L=mv₀b

Orduan, hiperbolaren ε eta d parametroek honako balioak dituzte:

Asteroidea planetatik hurbilen dagoen posizioa gertatzen da θ=0 denean (hurbiltze maximoa):

Distantzia minimo hori (r_p) beste modu batez ere kalkula daiteke, energiaren eta momentu angeluarraren kontserbazioa aplikatuz:

Bi ekuazioko sistema horretan ezezagun bi ditugu: v_p eta r_p

Planetaren R erradioa r_p hurbiltze maximoa baino handiagoa bada (R>r_p) orduan asteroideak planetaren kontra talka egingo du, bestela, txikiagoa bada (R<r_p) asteroideak planeta inguratu eta urrunduko da.  r_p=R denean, asteroideak justu tangentzialki egiten du talka planetaren gainazalarekin, eta talkaren abiadura M, v₀ eta b magnitudeen arabera aldatzen da.

Asintotak

Asintoten angeluak kalkulatzeko, ibilbidearen ekuazioan r→∞ ordezkatu, eta honako angelua ateratzen da:

Asteroidearen abiaduraren norabidea α da infinitutik hurbiltzen ari denean, gero aldatuz doa planeta inguratzen ari den bitartean, eta azkenean, urruntzen ari denean -α da. Angeluaren aldaketa totala, irudiak erakusten duen bezala, hau da: 2α-180.

Hiperbolaren adar baten asintotak α angelua osatzen du X ardatzarekin eta jatorriraino duen distantzia b da, ondorengo irudiak erakusten duen bezala:

Asintota horrek X ardatza mozten du honako posizio honetan:

Saiakuntza

Lehen-lehenik planeta bat aukeratu behar da dagokion kontrolean.

Ondoren aukeran idatz daiteke:

• Asteroidearen Abiadura infinituan, oraindik planetatik urruti dagoenean: v₀ , km/s-tan.

• Desplazamendu barrari eragiten, Talka-parametroa, planetaren erradioa unitatetzat hartuta.

Hasi botoia sakatu.

Eman diren datuekin asteroidearen ibilbidea marrazten hasten da, planetaren erradioa bider hamar (r=10·R) posiziotik abiatuta. Leihatilaren goiko eta eskumako aldean programak idatziz erakusten ditu denbora (ordutan) eta distantzia (planetaren erradioa unitatetzat hartuta).

Oso erakusgarria izaten da:

• Planeta finko bat aukeratu eta v₀ abiadura finko bat. Talka-parametroa aldatzen joan eta ikusi zein orbitak jotzen duen planetaren kontra eta zein orbitak ez duen jotzen.

• Idatziz eta aparte kalkulatzea, orbitaren eszentrikotasuna eta asintotak X ardatza non mozten duen, planetaren erradioa unitatetzat hartuta.

Datuak