Zeruko gorputzen dinamika

Energiaren kontserbazio-printzipioa

Saiakuntza

Erreferentzia

Gorputz bi nola mugitzen diren elkarren erakarpenaren eraginez ez da oso konplexua: biak mugitzen dira orbita eliptikoetan bikote horren masa zentroaren inguruan. Hiru gorputzen problema orokorra ordea, askoz ere konplexuagoa da.

Euler-ek hiru gorputzen problemaren bertsio sinple bat planteatu zuen: demagun gorputz handi bi finko daudela espazioan elkarrengandik d distantziara, eta hirugarren bat, m masaduna, aurreko bien inguruan mugitzen ari dela. Problema hau ez da hain konplexua, izan ere analitikoki ebatz daiteke, baina nahiko konplikatua da.

Orri honetan higiduraren ekuazioak planteatzen dira eta ez dira analitikoki ebazten, prozedura numerikoez baizik.

Higiduraren ekuazioak

Finko dauden gorputzek honako masak dituzte: M₁ eta M₂, eta elkarrengandik d distantziara daude.

Har dezagun erreferentzia sistema: jatorria lehen gorputzean kokatuko dugu eta X ardatza gorputz biak lotzen dituen zuzenaren norabidean, irudiak erakusten duen bezala.

Partikula higikorrak (m masadunak) bi indar jasaten ditu, irudiak erakusten dituenak, eta bere posizioa (x, y) denean indarrok honela adieraz daitezke:

Indar horiek deskonposatuz partikularen higidura-ekuazioak idatz daitezke:

Bi ekuazio diferentzialeko sistema dugu, biak bigarren ordenakoak:

Ekuaziook prozedura numerikoez ebatz daitezke, hasieran dagozkion baldintzak finkatuz. Hasierako aldiunean, t=0, partikularen posizioa (x₀, y₀) da eta bere abiadura (v_0x, v_0y).

Eskalak

Ekuazio diferentzialen bikote hori numerikoki ebatzi aurretik komenigarria da prestatzea, ordenagailuan ez daitezen irten zenbaki handiegiak edota txikiegiak.

Finka dezagun unitate-sistema bat: lehenik, luzera neurtzeko, unitate astronomikoa erabiliko dugu (U.A.), alegia Lurretik Eguzkiraino dagoen distantzia: L=1 UA=1.496·10¹¹ m. Eta bigarrenik, denbora neurtzeko, urtea erabiliko dugu: P=1 urte= 365.26 egun=3.156·10⁷ s.

Bestalde, demagun hiru gorputzetatik lehena Eguzkia dela: M₁= 1.98·10³⁰ kg eta bigarren gorputzaren masa bere multiplo bat dela: M₂=αM₁

Unitate-sistema berri honetan distantziak eta denborak honela adierazten dira: x=Lx', t=P·t',

Lehen ekuazio diferentziala honela idazten da:

eta modu berean bigarrena.

Izan ere, L da, Lurraren orbitaren ardatzerdi nagusia Eguzkiaren inguruan, P da, orbita bat osorik burutzeko tardatzen duen denbora, eta M₁ Eguzkiaren masa. Beraz, parentesiaren aurreko koefiziente konstantea sinplifikatzen da Kepler-en hirugarren legearen arabera:

Aurreko unitateetara bueltatuta, x eta y posiziorako eta t denborarako, ekuazio diferentzialen sistema ere honela berridatz daiteke:

Ekuazio diferentzialen sistema hori, esaterako, Runge-Kutta prozeduraz ebatz daiteke, eta kalkulu-urrats aldakorra erabil daiteke. Programa honetako kalkuluak urrats luzea erabiltzen du partikula urruti dabilenean gorputz finkoetatik, eta urrats laburragoa erabiltzen du partikula gorputz finkoetatik hurbil dagoenean.

Energiaren kontserbazio-printzipioa

Partikula askearen energia totala konstantea da bere higidura osoan zehar:

Hasierako aldiunean, t=0, eta partikulak m masa badu:

Partikularen energia negatiboa bada, E₀<0, lotuta geratzen da partikula finko bien inguruan mugitzen , aldiz, bere energia totala positiboa bada, E₀≥0 partikulak espaziora ihes egiten du.

Ondorengo aldiune batean partikula askearen energia hau da:

Unitate-sistema berrian honela adierazten dira abiadura eta posizioak: v=v’·L/P, x=x’·L, y=y’·L, d=d’·L

Aurreko unitateetara bueltatuz, defini dezagun partikularen e energia masa unitateko.

Programa interaktiboak uneoro ebaluatzen du honako erlazioa:

Erlazio horri errorearen portzentajea deituko diogu. Partikularen e energia aldiune batean, eta hasierako energia, e₀, ezberdinak izatera iristen badira eta errorearen portzentajea unitatea baino handiagoa suertatzen bada, programak kalkulua eten egingo du, ibilbidea errore handia pilatzen joan delako, eta jadanik ez delako fidagarria.

Saiakuntza

Aukeran idatz daitezke:

• Bi gorputz finkoen Masen erlazioa, α=M₂/M₁, gogoan izan M₁ Eguzkiaren masa dela eta ezkerrean kokatuta dagoela.

• Bi gorputz finkoen arteko d distantzia, unitate astronomikotan.

• Partikula askearen hasierako posizioa (x₀, y₀), X eta Y laukietan idatziz.

• Partikula askearen hasierako abiadura (v_0x, v_0y), Vx eta Vy laukietan idatziz.

Aukera guztiak finkatu ondoren, Hasi botoia sakatu.

Partikula askea mugitzen hasten da eta bere ibilbidea irudikatuta geratzen da. Leihatilaren eskumako aldean idatziz erakusten dira uneoro, t denbora, posizioa (x, y) eta abiaduraren modulua.

Leihatilaren eskumako eta beheko erpinean, gorriz idatzita erakusten da errorearen portzentaia. Errore hori unitatea baino handiagoa denean programak kalkulua eteten du. Errore handienak lortzen dira partikula askea gorputz finkoren batetik oso hurbil pasatzen denean.

Oharra: kalkuluetan erabiltzen den urratsa aldakorra denez, applet-ak ematen duen partikularen abiadura ez da zehazki partikula errealaren abiadura.

Esaterako, froga bitez honako adibideak:

1 adibidea:

• Bi gorputz finkoek masa bera dute: α=1.0

• Gorputz finkoen arteko distantzia: d=2.1,

• Partikula askearen hasierako posizioa: x₀=1, y₀=0

• Hasierako abiadura: v_0x=0, v_0y=6.28

2 adibidea:

• Bi gorputz finkoek masa bera dute: α=1.0

• Gorputz finkoen arteko distantzia: d=0.2,

• Partikula askearen hasierako posizioa: x₀=1, y₀=0

• Hasierako abiadura: v_0x=0, v_0y=6.28

3 adibidea:

• Bi gorputz finkoek masa bera dute: α=1.0

• Gorputz finkoen arteko distantzia: d=3.0,

• Partikula askearen hasierako posizioa: x₀=1.5, y₀=0

• Hasierako abiadura: v_0x=3, v_0y=3