Zeruko gorputzen dinamika

Saiakuntza

Erreferentzia

Fisikaren historiako pasarterik ospetsuenetakoa bilakatu da, Isaac Newton-ek Grabitazio Unibertsalaren Legea aurkitu zuenekoa: unibertsoko gorputz guztiak erakarri egiten dira, eta euren arteko erakarpen-indarra da, masen biderkaduraren proportzionala eta euren arteko distantziaren karratuarekiko alderantziz proportzionala. Lege matematiko bakar batez, Unibertsoan behatzen ziren fenomeno garrantzitsuenei azalpena eman zien, eta gainera Lurreko fisika eta zerukoa bat direla frogatu zuen. Grabitazioaren kontzeptu berriarekin azalpena eman zien hainbat fenomeno eta behaketari:

• Kepler-ek, planeten higidurari buruz ezarritako hiru lege enpirikoei esangura fisikoa aurkitu zien.
• Itsasaldien edo mareen jatorri ezkutua asmatu zuen.
• Galileo Galileik behaketa xelebre eta ulergaitz bat burututa zeukan: gorputzek, aske erortzean daukaten mugimendua, pisuaren independentea dela. Ba grabitazioarekin ulertuta geratzen da.

Indar grabitatorioa distantziaren karratuarekiko alderantziz proportzionala dela, erraz deduzi daiteke, orbita zirkularrak hartzen badira, higidura zirkularraren dinamikarekin eta Planeten higidurari buruzko Kepler-en hirugarren legearekin.

1. Kepler-en hirugarren legearen arabera, periodoaren karratua (P²) eta elipsearen ardatzerdi nagusiaren kuboa (a³) elkarren proportzionalak dira, eta zirkunferentziaren kasuan, a=r, erradioa da: P²=kr³.

2. Higidura zirkular eta uniformearen dinamikaren arabera, ibilbide zirkular batean, gorputza jasaten ari den indarra, masa bider azelerazio normala da: F=mv²/r.

3. Bestalde, planeta batek orbita zirkular osoa burutzeko tardatzen duen denbora, zirkunferentziaren luzera zati abiadura da: P=2p r/v.

Adierazpen guzti horiek konbinatuz: Ondorioz, planetak jasaten duen F indarra, r erradiodun higidura zirkular eta uniformea jarraitzen ari denean, r distantziaren karratuarekiko alderantziz proportzionala da.

Newton-ek Ilargiaren azelerazio zentripetua kalkulatu zuen, a_c=v²/r=4p²r/P², eta datuak ordezkatuz: r=3.84·10⁸ m eta P=28 egun =2.36·10⁶ segundo. Beraz, a_c=2.72·10^-3 m/s².

Ilargiaren azelerazioa konparatzen bada Lurraren gainazaleko azelerazioarekin (g=9.8 m/s²):

Ikusten da, gutxi gora behera, 3600  bider txikiagoa dela Ilargiaren azelerazioa Lurreko gorputzena baino.

Aldiz, Lurraren erradioa 6.37·10⁶ m da (Lurraren zentrotik gainazalera), eta Ilargiaren orbitaren erradioa 3.84·10⁸ m. Orduan distantzia bi horiek konparatuz:

Hau da, Ilargiaren distantzia 60 bider luzeagoa da Lurreko gorputzena baino, beraz:

Azelerazioak distantziaren karratuaren alderantziz proportzionalak dira, distantziok lurraren zentrotik neurtuta.

Deskribapena

Newton baino lehenagoko fisikan, sagar bat Lurraren gainazalean bertikalki erortzen da, Ilargia berriz, orbita ia zirkularraz mugitzen da, alegia ibilbide itxiaz. Nolatan egon daitezke erlazionatuta higidura mota bi horiek?

Sagarra bertikalki erori beharrean, horizontalki jaurtitzen bada albo batera, bere ibilbidea ez da zuzena izango, kurba bat baizik. Esaterako, kanoi batek jaurtitako bala batek ibilbide parabolikoa jarraituko du, eta hori Newton-ek XVII mendean behatuta zeukan. Newton-ek egin zuen salto kontzeptuala honakoa izan zen: imajinatu zuen balak mendi baten tontorretik jaurtitzen zirela eta ibilbide eliptikoak jarraitzen zituztela (izan ere, parabola elipsearen hurbilketa bat izan daiteke).

Beraz, sagarra eta Ilargia, biak erortzen ari dira, baina Ilargia etengabe ari da erortzen, eta sagarra aldiz, gainazala jo arte soilik.

Izan ere, indar bakarra da Lurreko eta zeruko gorputzen mugimenduen sortzaile. Newton-ek bateratze hori erakusteko "Munduaren sistema" liburuan honako irudia erakusten du, gerora bestelako liburu askotan ere agertu izan dena:

"Jaurtigaien mugimenduak aztertzen baditugu, erraz uler dezakegu planetak ere orbitan lotuta gera daitezkeela indar zentripetuen eraginpean. Harri bat horizontalki jaurtitzen bada, eta pisurik ez baleuka, ibilbide zuzena jarraitu beharko luke, baina bere pisuaren eraginez, ibilbide zuzenetik urruntzen joango da eta airean kurba bat jarraituko du lurrerantz erakarrita. Zenbat eta abiadura handiagoz jaurti, urrunago iristen da lurrera erori aurretik. Horrela, abiadura handitzen jarraitzen badugu, pentsa dezakegu erori aurretik jarraituko duen arkua 1, 2, 5, 10, 100, 1000 miliatakoa izango dela, eta azkenean, Lurraren tamaina bera ere gaindituko duela, eta harriaren ibilbideak ez luke Lurra bera ukituko..."

"Irudian, gorputz batek jarraituko lituzkeen ibilbideak erakusten dira, mendi baten tontorretik norabide horizontalean jaurtiko balitz, gero eta abiadura handiagoz. Planeten higiduretan ez dagoenez airearen erresistentziarik, demagun, antzeko higidurak lortzeko, Lurrean ere ez dagoela airerik edota airearen erresistentzia oso txikia edo nulua dela."

"Orduan, gorputz bat abiadura motelaz jaurtitzen bada arku txikia jarraituko duenez eta abiadura bizkorraz jaurtitzen bada arku handia jarraituko duenez, gorputzaren abiadura are gehiago handitzen bada, Lurraren zirkunferentzia bera baino areago iritsiko da, eta posiblea da, orbita osoa burutu ondoren, jaurtiketaren mendi tontorrera bertara iristea, baina atzetik."

"Eta Lurraren zentrotik gorputzeraino doan posizio-bektoreak denbora-tarte berdinetan azalera berdinak ekortzen (edo estaltzen) dituenez, gorputza mendi tontorrera itzulitakoan daraman abiadura ez da hasierakoa baino motelagoa izango, hortaz abiadura berdinaz abiatuko da berriz ere, orbita berdina behin eta berriz osatuz."

Egin dezagun jolas programa interaktibo batekin, Lurrean gertatzen diren mugimenduak eta zeruan gertatzen direnak indar berberak sortzen dituela egiaztatzeko.

Saiakuntza

Aukeran idatz daitezke:

• Gorputza jaurtitzen den altuera kilometrotan. Norabide erradialarekiko perpendikularki jaurtitzen da, hots horizontalki.
• Gorputza jaurtitzen den abiadura (m/s).

Jaurti botoia sakatu.

Gorputzak jarraitzen duen ibilbidea irudikatzen da. Ibilbide horrek Lurraren gainazala ukitzen badu, orduan jaurtiketaren luzera ematen da. Luzera hori kalkulatzen da, jaurtiketaren posizioaren eta inpaktu-puntuaren norabide erradialen arteko distantzia, lurraren gainazalean neurtuta.

Jaurtiketaren abiadura alda daiteke altuera aldatu gabe, eta ibilbide guztiak irudikatuta geratzen dira, konparatu ahal izateko. Ibilbide horiek ezabatzeko ezabatu botoia sakatzea besterik ez da behar.

Adibideak:

Demagun partikula bat horizontalki jaurtitzen dela ipar polotik, mendi baten tontorretik. Newton-en irudian adierazten den G puntua baino harantzago ezin da erori (alegia hego-poloan). Hori baino abiadura handiagoa ematen badiogu jaurtitzean, orduan partikulak Lurra osorik inguratuko du.

Hori egiaztatzeko, idatz bitez applet-aren kontroletan honako datuak.

• Altuera: 30000 km
• Jaurtiketaren abiadura: 1808 edo 1809 m/s

Altuera handia aukeratzen bada (20.000 km baino gehiago), irudiak lurra osorik erakusten du, eta orduan Newton-en irudiaren  ibilbideak errepika ditzakegu.

Kalkula dezagun zein abiaduraz jaurti beharko den partikula ibilbide zirkularra jarrai dezan:

Datuak:

• Lurraren masa: M=5.98·10²⁴ kg
• Lurraren erradioa: R=6.37·10⁶ m
• Grabitazioaren konstantea: G=6.67·10^-11 Nm²/kg²

Jaurtiketaren altuera txikia hartzen bada, esaterako 20 km edo gutxiago, Lurraren gainazala irudian laua agertzen da, eta orduan partikularen ibilbide eliptikoak parabola baterantz jotzen du, izan ere, grabitatearen azelerazio konstanteaz deskribatzen direnak. Irismena kalkula daiteke tiro parabolikoaren ekuazioak erabiliz:

Partikula bat jaurtitzen da h=20 km-ko altueratik eta v=30 m/s-ko abiaduraz. Kalkula bedi noraino iritsiko den (har bedi g=9.8 m/s²)