Zeruko gorputzen dinamika

Ontzi espazialetik h distantziara dagoen gorputz bat nola mugitzen den

Gorputzaren posizio erlatiboa ontzi espazialarekiko

Ontzitik jaurtitako gorputz bat nola mugitzen den

Gorputzaren higidura erlatiboa deskribatzea. Soluzio numerikoa.

Soluzio analitiko sinple bat

Soluzio analitiko orokorragoa

Erreferentziak

Ikusi dugu jadanik, ontzi espazialek orbita eliptikoak jarraitzen dituztela, eta elipsearen foku bat Lurraren zentroan dagoela. Demagun ontziak orbita zirkularra duela, r₀ erradioarekin. Bat batean, ontzitik gorputz bat jaurtitzen da, edozein norabidetan u abiadura erlatiboaz ontziarekiko, baina orbitaren plano berean. Demagun gorputz hori txikia dela eta beraz, jaurtitzeak ez duela ia ontziaren ibilbidea aldatzen.

Ontzian dagoen astronauta batek gorputza begiratzen badu, ibilbide konplikatuak behatuko ditu, ikasgai honetan ikertuko dugun arabera. Azken aldera, zenbait hurbilketa egingo ditugu ibilbideak analitikoki deskribatu ahal izateko.

Ontzi espaziala orbita zirkularrean Lurraren inguruan

Ontzi espazialak m masa du, eta r0 erradiodun orbita zirkularra deskribatzen ari da. Aplika dezagun  higidura zirkularraren dinamika bere abiadura kalkulatzeko:

hemen, G=6.67·10^-11 Nm²/kg², eta M=5.98·10²⁴ kg Lurraren masa da. R=6.37·10⁶ m bere erradioa.

Adibidea:

Demagun ontzi espazialak orbita zirkularra deskribatzen duela Lurraren gainazaletik 4000 km-tara. Orduan orbitaren erradioa:  r₀=6.37·10⁶ + 4.0·10⁶ =10.37·10⁶ m

Bira oso bat emateko tardatzen duen denbora:

P₀=2πr₀/v₀=10506 s

Ontzitik h distantziara dagoen gorputz bat nola mugitzen den

Demagun lehenik kasurik sinpleena: gorputz bat ontzia baino gorago (edo beherago), h altuera, norabide erradialean. Hasierako aldiunean abiadura bera dute biek (v₀) eta gorputza askatu egiten da. Aurrerantzean ontziak orbita zirkularrean jarraituko du, baina gorputzak, ordea, orbita eliptikoa deskribatuko du. Iker dezagun nola:

Irudiak erakusten du ontzia gorriz eta gorputz txikia urdinez. Kasu biak aztertuko ditugu: h positiboa denean, gorputza ontzia baino urrutiago dago Lurretik, eta h negatiboa denean, gorputza ontzia baino hurbilago dago Lurretik.

Ezagutzen dira gorputzaren orbitaren distantzia minimoa (edo maximoa), r₁=r₀+h, eta bere abiadura toki horretan, v₁=v₀, eta aplikatzen bada momentu angeluarraren eta energiaren kontserbazioa orduan kalkula daitezke orbitaren distantzia maximoa (edo minimoa), r₂, eta bere abiadura toki horretan, v₂.

Ekuazio-bikote horretan ezezagunak bi dira, v2 eta r2:

Elipsearen ardatzerdi nagusia hau da: a=(r₁+r₂)/2  eta periodoa P, alegia, gorputzak zenbat denbora tardatzen duen bira osoa ematen Lurraren inguruan:

Irudiak erakusten du ontziak eta gorputzak jarraitzen dituzten orbitak: gorriz, ontzi espazialaren orbita zirkularra, eta urdinez: ezkerraldean, gorputza altuera txikiagoaz askatzen den kasuan (h<0) gorputzak ontzia aurreratzen du, eta eskuinaldean, gorputza altuera handiagoz askatzen den kasuan (h>0) gorputza atzeratu egiten da ontziarekiko.

Adibidea:

• Gorputza ontzia baino altuago dago (h>0).

Ontzi espazialaren orbita zirkularraren altuera: r₀=6.37·10⁶+4.0·10⁶=10.37·10⁶ m, Lurraren zentrotik neurtuta (edota, 4000 km Lurraren gainazaletik neurtuta) eta demagun esaterako, h=80·10³ (gorputza ontzi espaziala baino 80 km altuago).

Aurreko atalean kalkulatu dugu ontzi espazialaren abiadura: v₀=6202 m/s, eta bira osoa burutzeko tardatzen duen denbora: P₀=2πr₀/v₀=10506 s

Gorputzaren posizioa ordea: r₁=r₀+h=10.37·10⁶+80·10³=10.45·10⁶ m,

eta abiadura, ontziaren berdina: v₁=6202 m/s

Kalkula ditzagun v₂ eta r₂:

Kasu horretan ateratzen da, r₁<r₂, alegia, gorputzaren hasierako posizioa elipsearen perigeoa dela (distantzia minimoa) eta r₂ apogeoa (distantzia maximoa). Elipsearen ardatzerdi nagusia a=(10.45·10⁶ +10.61·10⁶)/2=10.53·10⁶ m, eta beraz periodoa:

Periodo hori ontziarena baino luzeagoa da (P>P₀), elipsearen ardatzerdi nagusia orbita zirkularraren erradioa baino handiagoa delako: a>r₀. Beraz gorputza atzeratu egiten da ontzi espazialarekiko, eskumako irudiak erakusten duen bezala.

• Gorputza ontzia baino baxuago dago (h<0) .

Gorputzaren posizioa: r₁=r₀-h=r₁=r₀+h=10.37·10⁶-80·10³=10.29·10⁶ m,

eta abiadura, ontziaren berdina: v₁=6202 m/s.

Kalkula ditzagun v₂ eta r₂:

Kasu horretan ateratzen da, r₂<r₁, alegia, gorputzaren hasierako posizioa elipsearen apogeoa dela (distantzia maximoa) eta r₂ perigeoa (distantzia minimoa). Elipsearen ardatzerdi nagusia  a=(10.29·10⁶ +10.13·10⁶)/2=10.21·10⁶ m, eta periodoa: P=10266 s. Periodo hori ontziarena baino txikiagoa da (P<P₀), beraz gorputza aurreratu egiten da ontzi espazialarekiko, ezkerreko irudiak erakusten duen bezala.

Gorputzaren posizio erlatiboa ontzi espazialarekiko

Idatz dezagun gorputzaren posizioa Lurraren zentroarekiko:

x=r·cos(θ)
y=r·sin(θ)

hemen r eta θ denboraren menpe aldatzen dira ibilbidearen ekuazioak adierazten duen arabera.

Idatz dezagun gorputzaren posizioa baina ontzi espazialean dagoen astronauta batekiko, alegia, OX'Y' erreferentzia-sistema ez inertzialarekiko: x’=r·cos(θ-ωt)-r0 y’=r·sin(θ-ωt) hemen ω=v0/r0 , ontzi espazialaren abiadura angeluar konstantea da eta r0 orbita zirkularraren erradioa.

Erreferentzia-sistema ez inertzialean X' ardatzak norabide erradiala du eta Y' ardatza orbita zirkularrarekiko tangentea da. Baldin x'>0, orduan gorputza ontzia baino altuago dago, eta aldiz x'<0 bada, orduan gorputza ontzia baino baxuago. Baldin y'>0, orduan gorputza ontziaren aurretik doa, eta aldiz y'<0 bada, orduan gorputza atzeratuta dago ontziarekiko.

Alboko irudian gorputza hasieran x'>0 posiziotik abiatzen da, alegia ontzia baino altuago. Astronautaren ikuspegitik gorputza atzeratuz doa (y'<0) eta distantzia handituz doa, denbora iragan ahala, norabide tangentzialean. Gezi gorriak adierazten du ontzia norantz mugitzen den.

Saiakuntza

Aukeran idatz daiteke:

• Ontzi espazialaren Altuera km-tan Lurraren gainazalarekiko.

• Gorputzaren h distantzia km-tan, ontzi espazialetik neurtuta eta norabide erradialean, hasierako aldiunean,  desplazamendu-barrari saguaz eragiten.

Hasi botoia sakatu.

Leihatilaren ezkerreko aldean gorputz biak erakusten dira Lurraren inguruko orbitan.

• Gorriz, ontzi espazialak orbita zirkularra jarraitzen du.

• Urdinez, askatutako gorputzak orbita eliptikoa jarraitzen du.

Leihatilaren eskumako aldean, grafikoki adierazten da gorputzaren posizio erlatiboa ontzi espazialean dagoen astronautarekiko.

• X' ardatz bertikala norabide erradiala da, eta adierazten du gorputza ontziaren azpitik edo gainetik dagoen, norabide tangentea erreferentziatzat hartuta.

• Y' ardatz horizontala norabide tangentziala da, eta adierazten du gorputza aurreratuta ala atzeratuta dagoen ontzi espazialarekiko, norabide erradiala erreferentziatzat hartuta.

Bi ardatzetan, Y' zein X' , distantziak kilometrotan adierazita daude.

Ibilbidea modu egokian ikusi ahal izateko, ardatzen eskala alda daiteke, eta ondoren Hasi botoia berriro sakatu.

Ontzitik jaurtitzen den gorputz bat nola mugitzen den

Demagun ontzi espazialetik gorputz txiki bat jaurtitzen dela, u abiadura erlatiboaz eta α angelua osatuz norabide erradialarekiko, alegia X' ardatzarekiko, baina orbita zirkularraren plano berean.

Gorputz horren v abiadura eta φ norabidea, Lurraren erreferentzia-sistemarekiko, kalkula daitezke irudiko v=u+v₀ batura bektoriala eginez. Honela adieraz daitezke:

v_x=u·cosα
v_y=v₀+u·sinα

Eta hona hemen abiadura erresultantearen v modulua eta φ norabidea:

Jaurtitako gorputz horren ibilbide osoan zehar energia eta momentu angeluarra konstanteak dira:

Ibilbidea ez da gorputzaren m masaren menpekoa. Elipsea izango da energia negatiboa denean (E<0) eta ardatzerdi nagusia biratuta egongo da norabide erradialarekiko. Angelu hori kalkulatzeko ibilbidearen ekuazioan r=r₀ ordezkatu eta θ angelua bakan daiteke. Ikus bitez honako ikasgaiak: "Energia bereko orbitak", "Jaurtigai baten ibilbidea Lurraren gainazala baino goragotik askatuta" eta "Meteorito batek Lurra jotzen du".

Adibidea:

Demagun r₀=6.37·10⁶+4.0·10⁶, (4000 km-ko altuera Lurraren gainazaletik).

• Gorputza jaurtitzen da justu norabide erradialean

Aurreko atalean kalkulatu dugu ontzi espazialaren abiadura: v₀=6202 m/s, eta bira osoa burutzeko tardatzen duen denbora: P₀=2πr₀/v₀=10506 s

Gorputza jaurtitzen da honako abiaduraz: u=100 m/s  eta  α=0º.

Jaurtigaiaren v abiadura Lurrarekiko:

v_x= 100
v_y=6202

Energia:

Elipsea da eta bere ardatzerdi nagusia kalkula daiteke honako erlazioarekin:

Hona hemen P periodoa:

Periodo hori ontzi espazialarena baino pixka bat luzeagoa da.

Objektuak jarraitzen duen ibilbidea astronautaren ikuspegitik elipsearen antzeko zerbait  da. Ontziarekiko atzeratu egiten da eta igo, urruntzen, gero jaisten da, hurbiltzen, eta ontziak bira bat osatu duenean ia jaurtiketaren punturaino iristen da. Gezi gorriak adierazten du ontzi espaziala norantz mugitzen ari den.

• Gorputza jaurtitzen da norabide tangentzialean, justu ontziaren norabide berean.

Objektua jaurtitzen da u=100 m/s-ko abiaduraz, eta α=90º-angelua osatuz X' ardatzarekiko (norabide erradialarekiko) justu Y' ardatzaren norabidean. Beraz, objektuaren v abiadura Lurrarekiko:

v_x=0
v_y=6302

Energia ateratzen da, E= -18.61·10⁶·m J. Orbita eliptikoa, ardatzerdi nagusia, a=10.72·10⁶ m eta periodoa P=11040 s, ontzi espazialarena baino handiagoa.

Objektua, astronautaren ikuspegitik, ontziaren norabide berean mugitzen hasten da, baina gero gorantz igotzen doa eta urruntzen hasten da ontziaren atzeko aldetik norabide tangentzialean (Y'). Objektuaren ibilbidea konplexua da, ondorengo irudiek erakusten duten bezala. Ezkerreko irudiak hasierako ibilbidea erakusten du, eta eskumakoak, ontziak hiru bira osorik eman arteko ibilbidea.

Saiakuntza

Aukeran idatz daitezke:

• Ontzi espazialaren Altuera km-tan, Lurraren gainazalarekiko.

• Jaurtitako gorputzaren u Abiadura erlatiboa ontzi espazialarekiko.

• Jaurtiketaren α angelua norabide erradialarekiko, desplazamendu-barrari saguaz eragiten.

• Justu norabide erradialean eta gora jaurtitzen bada, α=0.

• Ontzi espazialaren abiaduraren norabide berean (tangentziala) eta aurrerantz, α=90º.

• Norabide erradialean eta beherantz, alegia Lurraren zentrorantz, α=180º.

• Norabide tangentzialean eta atzerantz, ontziaren abiaduraren aurka, α=270º.

Hasi botoia sakatu.

Leihatilaren ezkerreko aldean gorputz biak mugitzen ikusten dira:

• Gorriz, ontzi espazialak orbita zirkularra deskribatzen du.

• Urdinez, jaurtitako gorputzak orbita eliptikoa deskribatzen du.

Leihatilaren eskumako aldean, grafikoki adierazten da gorputzaren posizio erlatiboa ontzi espazialean dagoen astronautarekiko.

• X' ardatz bertikala norabide erradiala da, eta adierazten du gorputza ontziaren azpitik edo gainetik dagoen, norabide tangentea erreferentziatzat hartuta.

• Y' ardatz horizontala norabide tangentziala da, eta adierazten du gorputza aurreratuta ala atzeratuta dagoen ontzi espazialarekiko, norabide erradiala erreferentziatzat hartuta.

Bi ardatzetan, Y' zein X' , distantziak kilometrotan adierazita daude.

Ibilbidea modu egokian ikusi ahal izateko, ardatzen eskala alda daiteke, eta ondoren Hasi botoia berriro sakatu.

Gorputzaren higidura erlatiboa deskribatzea. Soluzio numerikoa

Gorputzak indar bakar bat jasaten du, grabitatea: norabide erradialean eta Lurraren zentrorantz. Indar horren modulua  Grabitazio Unibertsalaren Legeak adierazten du:

r distantzia da, gorputzaren eta Lurraren zentroaren artekoa, eta x eta y osagai cartesiarrak, erreferentzia sistema inertziala Lurraren zentroan kokatuta.

Indarraren bi osagaiak honela adieraz daitezke:

Newton-en bigarren legea aplikatuz eta, azelerazioa adierazten bada posizioaren bigarren deribatu gisa, bigarren ordenako ekuazio diferentzial biko sistema geratzen da:

Har dezagun beste erreferentzia-sistema bat, ez inertziala: biratzen ari dena ω=v0/r0 abiadura angeluar konstanteaz (izan ere, ontziaren abiadura angeluarra). Adieraz dezagun gorputzaren posizioa erreferentzia-sistema horretan:

Gorputzaren posizioaren koordenatuak erreferentzia-sistema inertzialean (x, y) dira eta erreferentzia-sistema ez inertzialean (x’, y’). Hona hemen euren arteko erlazioa:

x=x’cos(ωt)-y’sin(ωt)
y=x’sin(ωt)+y’cos(ωt)

Ekuazio bi horiek denborarekiko deribatzen badira bi aldiz, ezkerreko terminoak dira: d²x/dt² eta d²y/dt², eta eskumako aldean geratzen dira funtzio batzuk x’, y’ eta euren deribatuen menpe. Lehena bidertzen bada bider cos(ωt) eta bigarrena bider sin(ωt) eta biak batuz, honako ekuazio diferentziala lortzen da:

Aldiz, lehen ekuazioa, bidertzen bada bider  -sin(ωt) eta bigarrena bider cos(ωt) eta biak batuz, beste honako ekuazio diferentzial hau lortzen da:

Ekuazio diferentzial bietan ezkerreko atalean agertu den bigarren terminoa Coriolis-en inertzia-indarra da eta  hirugarrena indar zentrifugoa (masa unitateko).

Ekuazio bi horiek integra daitezke prozedura numerikoez, baina hasierako balioak finkatu behar dira: hasierako posizioa eta hasierako abiadura.

• Ontzi espazialetik h distantziara dagoen gorputza nola mugitzen den.

Hona hemen hasierako baldintzak: x’=r₀+h, y’=0, dx’/dt=0, dy’/dt=v₀.

Ontzi espazialak orbita zirkularra jarraitzen du r₀ erradioaz eta v₀  abiadura konstanteaz. Hasieran gorputza h distantziara dago ontzitik, gorago edo beherago, eta askatu egiten da, ontziaren abiadura berdinaz.

• Ontzi espazialetik gorputz bat jaurti egiten da u abiadura erlatiboaz eta α angelua osatuz norabide erradialarekiko.

Hona hemen hasierako baldintzak: x’=r₀, y’=0, dx’/dt=u·cosα, dy’/dt= u·sinα

Azkenik, ontzi espaziala ez dago erreferentzia-sistemaren jatorrian (Lurraren zentroan) r₀ distantziara baizik. Hortaz, astronautaren ikuspegitik gorputzaren posizioa kalkulatzen da x’-r₀ kenketa eginez, eta y’ berdina. Ikus bedi aurreko atala: "Gorputzaren posizio erlatiboa ontzi espazialarekiko".

Soluzio analitiko sinple bat

Esaterako, astronauta bat ontzi espazialetik irteten bada, mugitu ahal izateko, kohete txiki batzuk erabiltzen ditu, motxila antzeko batean kokatuta, edo bestela ontzia bera ukitu behar du, eta zango eta besoekin mugitu. Kasu bietan astronautaren abiadura erlatiboa ontziarekiko (u) oso txikia izaten da ontziaren v₀ abiaduraren aldean, eta bere mugimenduen iraupena ere oso txikia izaten da P₀ periodoaren aldean, alegia orbita osoa burutzeko behar den denboraren aldean.

Ondoko taulan Lurraren inguruko zenbait orbiten datuak aipatzen dira:

Hala ere, nahiz eta desplazamendu txikiak izan, astronautak edo beste edozein gorputzek ez dute ibilbide zuzena jarraitzen, eta desbideraketa handiak jasaten dituzte, honako atal honetan ikusiko dugunez.

Ontzi espazialak orbita zirkularra jarraitzen du, r₀  erradioaz.

Erreferentzia-sistema inertzialean, hau da, Lurraren zentroan kokatuta dagoen sisteman, ontziaren posizio-bektorea r₀ da. Modulua konstantea du (r₀) eta abiadura angeluar konstanteaz biratzen du: ω=v₀/r₀. Gorputzaren posizio-bektorea ordea r da.

Har dezagun orain erreferentzia-sistema ez inertziala: sistemaren jatorria ontzian kokatuta dago eta ardatz biek norabide erradiala eta tangentziala dituzte. Ardatzok X’ eta Y’ izendatuko ditugu eta ω abiadura angeluar konstanteaz biratzen ari dira Lurrean kokatuta dagoen erreferentzia-sistema inertzialarekiko. Ikus  bedi aurreko atala, "Gorputzaren higidura erlatiboa deskribatzea. Soluzio numerikoa".

Gorputzaren abiadura eta azelerazioa E.S. ez inertzialean v’ eta a’ izendatuko ditugu eta abiadura eta azelerazioa E.S. inertzialean ordea, v eta a . Honela erlazionatzen dira:

ω=ωk abiadura angeluar bektorea da (Z ardatzaren norabidea), orbitaren planoarekiko perpendikularra, eta goranzkoa ontzi espazialak erlojuaren orratzen aurka biratzen badu. Astronautaren abiadura v’ da E.S. ez inertzialean. Kalkuluak erraztearren demagun astronauta orbitaren plano berean mugitzen ari dela.

Adierazpen analitiko sinple bat lortu ahal izateko, indar grabitatorioa eta indar zentrifugoa berdintzat hartuko ditugu eta aurkakotzat orbita zirkularretik gertu. Orbita zirkularrean bertan, esandakoa erabat zehatza da. Horregatik astronautak ontzi barruan daudenean pisurik ez dutela dirudi eta flotatu egiten dute.

Beraz, hurbilketa honetan, astronautari eragiten dion indar bakarra Coriolis-ena da, orbita zirkularretik pixka bat aldenduta dagoen  arren.

Astronautaren azelerazioa E.S. ez inertzialean a’ da:

a’≈ -2ωk×(v_x’i+v_y’j)=2ωv_y’i-2ωv_x’j

Ekuazio diferentzial gisa idatzita:

Ekuazioak akoplatuta daude, baina berriz deribatzen badira, denborarekiko, desakoplatzen dira:

Ekuazio diferentzial bi horiek Higidura Harmoniko Sinplearen (HHS) antzekoak dira, baina abiaduraren menpe (ez posizioaren menpe), eta soluzioa honakoa da:

v_x’ =Asin(2ωt)+Bcos(2ωt)
v_y’ =Csin(2ωt)+Dcos(2ωt)

A, B, C, D koefizienteak kalkulatzen dira hasierako baldintzen arabera: t=0 aldiunean, honako abiadura du: v_0x’ =u·cosα, v_0y’ =u·sinα,  eta azelerazioaren osagaiak honakoak dira (abiaduraren deribatuak) a_0x’ =2ωv_0y’ eta a_0y’ = -2ωv_0x’ . Beraz:

Berriro integra daiteke, posizioa kalkulatzeko, hasierako posizioa kontutan izanda: t=0 aldiunean, gorputza jatorrian dago x’=0, y’=0.

Kasu bereziak

1. Gorputza jaurtitzen da norabide erradialean, α=0 (X' ardatza) v_0y’ =0.

Hona hemen gorputzaren ibilbidea ontzi espazialarekiko:

Ibilbide hori zirkunferentzia da, zentroa kokatuta dago (0, -a) puntuan eta erradioa a da.

2. Gorputza jaurtitzen da norabide tangentzialean (Y' ardatza), v_0x’ =0

Hona hemen gorputzaren ibilbidea ontzi espazialarekiko:

Ibilbide hori zirkunferentzia da, zentroa kokatuta dago (a, 0) puntuan eta erradioa a da.

Ondorengo irudiak erakusten du gorputzaren jaurtiketa zenbait norabide ezberdinetan. Jaurtiketaren abiadura erlatiboa 0.3 m/s da eta ontzia orbita zirkularrean dago 400 km-ko altueran. Gezi gorriak erakusten du ontzia norantz mugitzen ari den. Jaurtiketaren abiadura zenbat eta txikiagoa izan, eta ontziaren abiadura angeluarra zenbat eta handiagoa izan gehiago desbideratzen da gorputza norabide zuzenetik, zirkunferentziaren a erradioa txikiagoa ateratzen delako.

Saiakuntza

Aukeran idatz daitezke

• Ontzi espazialaren orbita zirkularraren Altuera km-tan, Lurraren gainazaletik neurtuta.

• Gorputza ontzitik jaurtitzeko ematen zaion u abiadura erlatiboa.

• Jaurtiketaren norabidearen α angelua (norabide erradialarekiko), desplazamendu barrari saguaz eragiten.

• Justu norabide erradialean eta gora jaurtitzen bada, α=0.

• Ontzi espazialaren abiaduraren norabide berean (tangentziala) eta aurrerantz, α=90º.

• Norabide erradialean eta beherantz, alegia Lurraren zentrorantz, α=180º.

• Norabide tangentzialean eta atzerantz, ontziaren abiaduraren aurka, α=270º.

Hasi botoia sakatu.

Leihatilak ontzi espaziala adierazten du; 100 metroko luzera du (-50-etik +50-eraino), eta gorputza jaurtitzen da ontziaren erditik.

Zuzen gorriak adierazten du jaurtiketaren angelua, alegia gorputzak jarraituko lukeen norabidea Coriolis-en inertzia-indarrik gabe. Kurba urdinak adierazten du gorputzak jarraitzen duen ibilbidea (zirkularra) Coriolis-en inertzia-indarraren eraginez.

Jaurtiketaren desbideraketa neur dezakegu baldintzak aldatuz: esaterako, ontzi espazialaren orbita zirkularraren altueraren arabera, jaurtiketaren u abiadura erlatiboaren arabera edota jaurtiketaren α angeluaren arabera.

Soluzio analitiko orokorragoa

Aurreko atalean lortu den soluzioa baldintza murritz batzuetan soilik da baliozkoa:

• Gorputza ontzi espazialetik hurbil mugitzen denean.

• Bidaiaren iraupena laburra denean, orbita osoaren periodoaren aldean.

Honako atal honetan beste soluzio bat proposatzen da, ez hain murriztailea, eta beraz, bere baliotasuna orokorragoa da.

Gorputzaren azelerazioa E.S. ez inertzialean a' da, eta E.S. inertzialean a. Bi azelerazioen arteko erlazioa hau da:

• a azelerazioa erakarpen indarrari dagokio soilik, alegia, grabitateari, beraz norabide erradiala du eta Lurraren zentrorantz doa.

• Bigarren terminoa, -2ω×v’ , Coriolis-en azelerazioa da.

• Hirugarren terminoa, -ω×ω×r, azelerazio zentrifugoa.

• ω=ωk, abiadura angeluar bektorea da. Orbitaren planoaren perpendikularra da (Z ardatza) eta gorantz doa, ontzi espazialak erlojuaren orratzen aurka biratzen badu: ω=v₀/r₀.

• v’ gorputzaren abiadura da E.S. ez inertzialarekiko.

• r₀ ontzi espazialaren posizio-bektorea da E.S. Inertzialean.

• r gorputzaren posizio-bektorea da E.S. Inertzialean.

• r’ gorputzaren posizio-bektorea da E.S. ez inertzialean.

Hiru bektore horien arteko erlazioa hau da: r=r₀+r’,

Orduan, a’ azelerazioa honela berridatz daiteke:

Gorputza eta ontziaren arteko r' distantzia txikia bada orbitaren r₀ erradioaren aldean, grabitatearen azelerazioa seriezko garapenaz adieraz daiteke eta (r’/r₀)² terminotik gorakoak arbuia daitezke.

Bestalde, r bektorearen modulua hau da (r=r₀+r’):

Eta grabitatearen azelerazioaren modulua honela berridatz daiteke:

Beraz, gorputzaren a' azelerazioa E.S. ez inertzialean:

Orbita zirkularretan indar zentrifugoa eta grabitazio-indarra anulatu egiten dira, beraz, adierazpen luze horretako lehen terminoa eta seigarrena ezeztatzen dira, eta gainera laugarren terminoa arbuiatuko dugu r’²/r₀ faktorea duelako.

Indar zentrifugoa eta grabitazio-indarra zehazki ezeztatzen dira:

Hori da astronautek jasaten duten grabitaterik "ezaren" sentsazioa, edo flotatzea, ontzi espazialaren barruan.

Beraz, gorputzaren a’ azelerazioa E.S. ez inertzialean honela idatz daiteke:

Gorputza mugitzen bada orbitaren plano berean, adierazpen horretan agertzen diren biderketa bektorialak sinpleagoak dira:

r’=x’i+y’j
ω=ωk
v’=v_x’i+v_y’j
r₀=r₀i

Eta honako ekuazio diferentzialen sistema lortzen da:

Ekuazio horiek akoplatuta daude, baina lehen ekuazio diferentziala denborarekiko deribatzen bada eta bigarrena ordezkatzen bada lehenengoan, desakoplatu egiten dira:

Ekuazio diferentzial bakar bat lortzen da, Higidura Harmoniko Sinplearen (HHS) antzekoa baina abiaduraren menpe (ez posizioaren menpe). Hona hemen soluzioa:

v_x’=Asin(ωt)+Bcos(ωt)

A eta B koefizienteak kalkulatzen dira hasierako baldintzetatik: t=0 aldiunean, gorputzaren abiadura hau da v_0x’ =u·cosα, eta  v_0y’ =u·sinα , eta azelerazioaren osagaiak hasieran: a_0x’ =2ωv_0y’ eta a_0y’ =-2ωv_0x’ , beraz:

v_x’ =2v_0y’ sin(ωt)+v_0x’ cos(ωt)

edota,

Berriz integra daiteke denborarekiko, gorputzaren posizioa lortzeko. Hasierako baldintzak: t=0 aldiunean, gorputza jatorrian dago: x’=0.

Bigarren ekuazio diferentziala orain integra daiteke:

Eta hona hemen emaitza:

Berriz integra daiteke denborarekiko, gorputzaren posizioa lortzeko. Hasierako baldintzak: t=0 aldiunean gorputza jatorrian dago: y’=0.

Kasu bereziak

1. Gorputza jaurtitzen da norabide erradialean eta gorantz: α=0 (X’ ardatza) v_0y’ =0.

Gorputzaren ibilbidea ontziarekiko elipsea da:

2. Gorputza jaurtitzen da norabide tangentzialean eta aurrerantz: α=90º (Y’ ardatza), v_0x’ =0

Kasu honetan gorputzaren ibilbidea konplexuagoa da. Ezkerreko irudiak erakusten du ibilbidearen hasiera, eta eskumako irudiak erakusten du gorputzaren ibilbidea, ontzi espazialak orbita bi ia osorik burutzen dituen bitartean.

Erreferentziak

Butikov E. I. Relative motion of orbiting bodies. Am. J. Phys. 69 (1) January 2001, pp. 63-67

Freedman R. A., Helmy I., Zimmerman P. D. Simplified navigation for self-propelled astronauts. Am. J. Phys. 43 (5) May 1975, pp. 438-440