Zeruko gorputzen dinamika

Indarra, distantziaren karratuarekiko alderantziz proportzionala

Gainera, perturbazio baten eragina

Periodoak

Saiakuntza

Erreferentzia

Orri honetan ikertuko da, nola mugitzen den gorputz bat, jasaten badu aldi berean, indar zentral eta kontserbakor bat, indarra distantziaren karratuarekiko alderantziz proportzionala, eta gainera perturbazio bat, baina distantziaren kuboarekiko alderantziz proportzionala. Ibilbidearen ekuazioa esplizituki lortzen da koordenatu polarretan, eta kasu posible guztietarako kalkulatuko dugu: indar zentrala erakarlea zein aldaratzailea izan daiteke, eta perturbazioa ere, erakarlea edo aldaratzailea. Perturbazio nuluaren kasua ere ikusiko da.

Indar zentrala eta kontserbakorra

Gorputz batek jasaten badu indar zentral eta kontserbakor bat, bere momentu angeluarra eta energia totala konstanteak dira.

Ibilbidearen ekuazio esplizitua lortzeko, adieraz ditzagun magnitude bi horiek koordenatu polarretan. Lehenik, demagun partikulak jasaten duen energia potentziala (indar kontserbakorra) erakarpen-zentrorainoko r distantziaren menpekoa dela soilik, alegia, V(r).

Koordenatu polarretan energia totala honela adierazten da:

Eta momentu angeluarra honela idazten da:

Bigarren ekuazioko deribatua lehenengo ekuazioan ordezka daiteke, eta hona emaitza:

Esan daiteke, partikula mugitzen ari dela dimentsio bakarreko espazioan r>0 eta potentzial "baliokide" edo efektibo hau jasaten ari dela:

Lehen terminoa beti da positiboa, eta bigarrena aldiz, V(r), positiboa da indarra aldaratzailea denean eta negatiboa erakarlea denean.

Indarra aldaratzailea bada, energia totala beti izango da positiboa. Demagun partikularen energia ezaguna dela: E>0.

Energia potentzial efektiboa, Ueff , honela adierazten da grafikoki r distantziaren menpe (marra urdina), eta zuzen horizontal batek adierazten du E konstantea (gorria). Biak mozten diren puntuaren abszisari, dei diezaiogun r0 . Partikula horren energia zinetikoa beti izan behar denez positiboa edo nulua, derrigor egon behar da kokatuta r0 puntuaren eta infinituaren artean (0 eta r0 puntuen artean, energia potentziala energia totala baino handiagoa da, energia zinetiko negatiboa beharko luke).

Infinitutik hurbiltzen datorren partikula bat, puntu horretaraino hurbilduko da gehienez, r₀, eta berriro urruntzen joango da infinituraino.

Aldiz indarra erakarlea bada, partikularen energia totala positiboa edo negatiboa izan daiteke. Energia totalaren balioa ezin da izan energia potentzialaren minimoa baino txikiagoa.

Partikularen energia positiboa bada, indar aldaratzailean bezala, infinitutik hurbiltzen datorren partikula bat, puntu horretaraino hurbilduko da gehienez, r₀, eta berriro urruntzen joango da infinituraino.

Eta kasurik interesgarriena da, indar erakarlea eta partikulak energia negatiboa duenean, alboko irudiak erakusten duena. Dimentsio bakarreko espazio erradialean, partikularen higidura mugatua da, izan ere, r1 eta r2 dira energia potentzialaren (urdinaren) eta zuzen horizontalaren (gorriaren) arteko mozketen abszisak. Txikiena hurbiltze maximoa da (perihelio edo perigeoa) eta handiena urruntze maximoa (afelio edo apogeoa). Partikulak uneoro egon behar du tarte horren barruan kokatuta.

(1) eta (2) ekuazioek adierazten dute, momentu angeluarra eta energia konstanteak direla, eta gainera, ekuazio diferentzial bikote bat osatzen dute. Ekuazio-bikote horretan t denbora eliminatzen bada, orduan ibilbidearen ekuazioa kalkula daiteke r=r(q) , ondoko ekuazio diferentziala integratuz.

Indarra, distantziaren karratuaren alderantziz proportzionala

Partikulak jasaten duen indarra zentrala eta kontserbakorra izateaz gain, distantziaren karratuaren alderantziz proportzionala ere bada:

Orduan (3) ekuazioa integratzeak konika baten ekuazioa ematen du (hiperbola, parabola edo elipsea):

     Indar aldaratzailea

     Indar erakarlea

Konika horien d eta e  parametroak erlazionatuta daude energia eta momentu angeluarrarekin, honela:

Indar erakarle baten kasuan (a<0) energiaren zeinuak aukeratzen du konika-mota:

Eszentrikotasuna	Energia	Ibilbide-mota
e>0	E>0	hiperbola
e=0	E=0	parabola
e<0	E<0	elipsea

Indar aldaratzailearen kasuan (a>0) energia totala, E , beti da positiboa eta beraz, bakarrik lortzen dira ibilbide hiperbolikoak, baina hiperbolak dituen bi adarretatik, fokutik urruti dagoena.

Gainera, perturbazio baten eragina

Demagun orain, partikulak jasaten duela indar zentral nagusi bat (distantziaren karratuaren alderantziz proportzionala) eta gainera perturbazio txikiago bat, distantziaren kuboaren alderantziz proportzionala:

Perturbazioaren b koefizientea baldin bada b>0 orduan perturbazioa aldaratzailea da eta b<0 perturbazioa erakarlea da. Potentzial efektiboa honela adieraz daiteke:

Baldin L²+2mb>0 orduan potentzial efektiboaren adierazpen grafikoa aurreko atalean ikusi ditugun grafikoen antzekoa da.

Ibilbidearen ekuazioa lortzen da (3) ekuazio diferentziala integratuz, eta hona hemen soluzioa:

  Indar aldaratzailea

  Indar erakarlea

Gainontzeko parametroek (d, e eta k) honako balioak dituzte:

Periodoak

Perturbazioarekin honelako orbitak lortzen dira:

Goiko irudia behatzen bada, ikusten da periodo-mota bi definitu behar direla: dei diezaiogun P_r periodo erradialari, hau da, partikula periheliotik edo afeliotik bi aldiz pasatzeko tardatzen duen denbora, eta P_q  periodo orbitala, partikulak  jatorriaren inguruan bira oso bat (2p radian) emateko tardatzen duen denborari. Periodo bi horien arteko erlazioa hau da:

m P_r=n P_q     (m eta n zenbaki naturalak)

Beste kontzeptu interesgarri bat ere sortzen da: afelioaren (edo perihelioaren) prezesio-abiadura, W . Definitzen da, afelio (edo perihelio) kontsekutibo biren distantzia angeluarra, Dq , zati tardatzen duen denbora, alegia P_r periodo erradiala. Distantzia angeluar hori kalkula daiteke kq  angelua 2p handitzen denean, hau da: Dq=2p/k. Orduan prezesio-abiadura hau ateratzen da:

Kalkula dezagun periodo erradiala, P_r , ibilbidearen parametroen menpe. Momentu angeluarraren kontserbaziotik (1):

Ibilbidearen ekuazioak erlazionatzen ditu r distantzia erradiala eta q  angelua. Bigarren atala integratuz, erlazio bat ematen du, periodo erradialaren, P_r , eta ibilbidearen parametroen artean: d eta e .

Izatez, periodo orbitala eta erradiala berdinak dira perturbaziorik gabeko orbita batean (b=0) eta beraz, k=1. Kasu horretan ateratzen da, periodoaren karratua eta elipsearen ardatzerdi nagusiaren kuboa proportzionalak direla (Kepler-en hirugarren legea).

Saiakuntza

Leihatilaren ezkerreko aldean botoi-multzo bi dago: lehena, Indarra, indar nagusiari dagokio eta azpian Perturbazioa. Botoi horiekin aukera daiteke, indarra eta perturbazioa erakarlea zein aldaratzaileak diren, eta konbinazio guztiak froga daitezke.

Grafikoaren azpian Eszentrikotasuna aukera daiteke:  indarra aldaratzailea denean, unitatea baino handiagoa, eta indarra erakarlea denean, aldiz, zero eta bat bitartekoa.

Perturbazioa kontrola konplexuagoa da: izenburua bera aldatu egiten da indarra eta perturbazioa erakarlea edo aldaratzaileak aukeratzen ditugun arabera. Indarra erakarlea denean, perturbazioak m/n erlazio bat idaztea eskatzen du, eta indarra aldaratzailea denean ordea, perturbazioan zenbaki hamartar bat idatzi behar da: perturbazioa erakarlea denean k<1 eta aldaratzailea denean berriz k>1. Perturbaziorik gabe k=1.

Botoi guztiak aukeratuta ditugunean Grafikoa botoia sakatu eta ibilbidea erakusten da.

Egin ditzagun zenbait adibide, sor daitezkeen konbinazioetatik:

1. Indar aldaratzailea (a>0), E energia nahitaez positiboa da eta eszentrikotasuna e>1. Esaterako: e=2

• Perturbazio aldaratzailea (b>0) hortaz (k>1). Ibilbidea irekia ateratzen da. Esaterako: k=1.1

• Perturbazio erakarlea (b<0), hortaz (0<k<1). Partikula jatorrirantz mugitzen da espiral formako ibilbide batez, eta ondoren berriro urruntzen da eta espazioan galtzen da: Esaterako: k=0.05

2. Indar erakarlea (a<0), E energia izan daiteke, positiboa, negatiboa edo nulua.

• Partikularen energia positiboa (E>0) orduan eszentrikotasuna e>1, ibilbidea irekia da eta orbita-motak indar aldaratzailearen antzekoak dira, baina fokua aldatuta. Esaterako: e=2

Perturbazioa aldaratzailea bada (b<0), ez dago ibilbide bakarra, alegia zenbait ibilbide dira posible. Izan ere, k parametroa zenbaki arrazionala izan behar denez (k=m/n ), justu bere m zenbatzailea da ibilbide posibleen kopurua. Esaterako k=4/1

Perturbazioa erakarlea bada (b<0), indar aldaratzailearen orbiten antzekoak lortzen dira; partikula jatorrirantz hurbiltzen da ibilbide espirala jarraituz eta amaieran berriro urruntzen da. Kasu honetan Perturbazioan idatz daitezke zenbaki hamartarra edo zatidura gisa adierazita. Esaterako: k=0.2, k=1/2.

• Partikularen energia negatiboa (E<0) orduan eszentrikotasuna e<1, ibilbidea itxia eta mugatua da eta orbita-motak interesgarrienak dira. Esaterako: e=0.5

Perturbazioaren k parametroa adierazten bada zenbaki arrazional gisara, k=m/n , zenbatzaileak (m) adierazten du orbitaren simetria eta izendatzaileak (n) posizio-bektoreak ematen dituen bira-kopurua jatorriaren inguruan orbita bat osatzeko. Orbita itxia izango da k zenbakia arrazionala bada, Esaterako: k=6/1, k=7/6, k=1/3. Aldiz, orbita irekia izango da k zenbakia irrazionala bada.