Zeruko gorputzen dinamika

Lurra-Ilargia sistema nola mugitzen den

Nola mugitzen den partikula bat Lurraren eta Ilargiaren eraginpean

Higiduraren konstantea

Higiduraren ekuazioen soluzio numerikoa

Hasierako baldintzak

Saiakuntza

Erreferentzia

Aurreko orrian aztertu da Euler-en hiru gorputzen problema alegia, bi gorputz finko eta hirugarrena inguruan mugitzen. Partikula higikorra plano batean mugitzen da, izan ere gorputz finko biak dauden plano berean.

Honako orri honetan ikertzen den arazoa konplikatuagoa da. Har ditzagun Lurra eta Ilargia, biek orbita zirkularrak osatzen dituztela bien arteko masa-zentroaren inguruan. Ez dugu kontutan hartuko Eguzkiaren efektua ezta gainontzeko planetena.

Ontzi espazial bat Lurraren inguruan dago, h altueradun orbita zirkular batean "aparkatuta". Halako batean bere motoreak pizten ditu eta abiadura-gehigarri ematen diote, Δv, ibilbide zirkularrarekiko norabide tangentean. Demagun motoreek ontziari eragiten dioten denbora-tartea laburra dela, orbita zirkularraren iraupenaren aldean.

Lurra-Ilargia sistema finkoa espazioan

Ontzi espazialaren higiduraren ekuazioak planteatu aurretik, Lurrak eta Ilargiak osatzen duten bikotea aztertuko dugu zenbait ariketa sinple proposatuz:

Lurra- Ilargia sistemaren datuak (Lurraren datuek T azpindizea dute eta Ilargiarenek L, gaztelerazko Tierra eta Luna hitzen ondorio):

• Lurraren masa, M_T=5.98·10²⁴ kg

• Lurraren erradioa, R_T=6370 km= 6.37·10⁶ m

• Ilargiaren masa, M_L=7.34·10²² kg

• Ilargiaren erradioa, R_L=1740 km= 1.74·10⁶ m

• Lurra eta Ilargiaren arteko distantzia, d=384000 km=384.0·10⁶ m

Demagun Lurra eta Ilargia finkoak direla espazioan. Kalkula dezagun zein abiadura minimoaz jaurti behar den bala bat Lurraren gainazaletik, eta bi gorputzen zentroak lotzen dituen zuzenaren norabidean, Ilargiraino irits dadin.

Lurraren eta Ilargiaren zentroak lotzen dituen zuzenean badago oreka-puntu bat, Lurraren zentrotik x distantziara. Gorputz bat oreka-puntu horretan kokatzen bada, erakarpen-indar bi jasaten ditu, bata Lurrarena eta bestea Ilargiarena, biak justu berdinak baina aurkakoak. Lurraren masa handiagoa denez Ilargiarena baino, oreka-posizio hori (x_e) Ilargitik hurbilago egongo da.

Oreka posizio hori dago, Lurraren zentrotik distantzia honetara: x_e=345.7 ·10⁶ m.

Orokorrean, Lurraren eta Ilargiaren zentroak lotzen dituen zuzenaren norabidean, partikula batek duen energia potentziala honela adieraz daiteke:

Ondorengo irudiak energia potentzial horren adierazpen grafikoa erakusten du, eta oreka-posizioa da, E_p(x) funtzioaren maximoa, hau da, oreka ezegonkorreko posizioa.

Grafiko horren ardatz horizontalean x distantzia adierazteko unitate gisa Lurraren erradioa hartu da, eta bereziki oreka-posizioan: x_e=54.27·R_T

Bala bat Lurraren gainazaletik jaurtitzen bada, abiadura minimo bat gainditu beharko da oreka-posizio horretaraino iristeko.

Balaren energia Lurraren gainazalean (x=R_T):

Eta balaren energia oreka-posizioan:

Gutxieneko abiadura oreka-posizioan v_e=0 da, eta orduan, energiaren kontserbazioa aplikatuz, honako abiadura lortzen da jaurtiketarako: v_T=11076.8 m/s

Abiadura hori konpara daiteke Lurraren ihes-abiadurarekin, (Ilargia kontuan hartu gabe):

v=11190.7 m/s

Lurra-Ilargia sistema nola mugitzen den

Lurrak eta Ilargiak osatzen duten bikotearen masa-zentroa, bi zentroak lotzen dituen zuzenean dago, Lurretik r_T distantziara eta Ilargitik r_L distantziara, gaineko irudiak erakusten duen bezala, baina Lurraren masa Ilargiarena baino handiagoa denez, M_T>M_L , beraz r_T<r_L . Koka dezagun jatorria masa-zentroan:

Eta hortik kalkula daitezke r_T eta r_L:

Distantzia hori konparatzen badugu Lurraren erradioarekin (R_T=6370 km= 6.37·10⁶ m) ikusten da bikotearen masa-zentroa Lurraren barruan dagoela, baina gainazaletik hurbilago zentrotik baino.

Lurraren zentroak eta Ilargiarenak, biek, orbitak osatzen dituzte masa-zentroaren inguruan. Demagun orbita horiek zirkularrak direla. Orduan orbiton erradioak rT eta rL dira. Lurrak Ilargia erakartzen du d distantziatik eta, horren eraginez, Ilargiaren zentroak orbita zirkularra osatzen du rL erradioarekin. Ilargiaren mugimenduaren abiadura angeluarra Ω bada eta higidura zirkular uniformearen dinamika aplikatuz Ilargiari:

Alderantziz ere, Ilargiak Lurra erakartzen du d distantziatik eta, horren eraginez, Lurraren zentroak orbita zirkularra osatzen du r_T erradioarekin. Lurraren mugimenduaren abiadura angeluarra Ω bada eta higidura zirkular uniformearen dinamika aplikatuz Lurrari:

Ω bakantzen bada, ekuazio batetik zein bestetik:

Eta periodoa P=2π/Ω=27.2 egun.

Nola mugitzen den partikula bat Lurraren eta Ilargiaren eraginpean

Har dezagun Erreferentzia Sistema inertzial bat Lurra-Ilargia bikotearen masa zentroan kokatuta. Lurra eta Ilargia, biak, orbita zirkularrak osatzen ari dira, beraz, aldiune batean, Lurraren eta Ilargiaren zentroak lotzen dituen zuzenak Ωt angelua osatzen du X ardatzarekiko.

Aldiune horretan, partikularen posizioa (x, y) da, Ilargiarena (r_L·cos(Ωt), r_L·sin(Ωt)) eta Lurrarena (-r_T·cos(Ωt), -r_T·sin(Ωt)).

Partikulatik Ilargiraino eta Partikulatik Lurreraino dauden distantziak honela idatz daitezke, hurrenez hurren:

Beraz, Ilargiak eta Lurrak partikulari eragiten dioten erakarpen-indarraren erresultantea honela idatz daiteke:

Indarra ezagututa, Newton-en bigarren legea aplika daiteke: F_x =md²x/dt² eta F_y=md²y/dt².

Biraka ari den Erreferentzia-Sistema

Har dezagun Erreferentzia-Sistema berri bat, ez Inertziala. Jatorria kokatuko dugu Ilargia-Lurra bikotearen masa-zentroan (lehengo sistema inertziala bezala) baina sistema berri hau Ω abiadura angeluarraz biratzen ari da sistema inertzialarekiko. Erreferentzia sistema ez inertzial berri honen X_R ardatza Lurraren eta Ilargiaren bi zentroak lotzen dituen zuzena da.

Alboko irudiak partikularen posizioa erakusten du erreferentzia-sistema inertzialean (x, y) eta erreferentzia-sistema ez inertzialean (xR, yR). Hona hemen bi posizioen arteko erlazioak: x=xR·cos(Ωt)-yR·sin(Ωt) y=xR·sin(Ωt)+yR·cos(Ωt)

Eta partikulatik Ilargiaren zentroraino eta Lurraren zentroraino dauden distantziak honela idatz daitezke, hurrenez hurren:

Kalkula ditzagun x eta y-ren lehenengo eta bigarren deribatuak:

Adierazpen luze horiek lehen lortutako bigarren ordenako ekuazio diferentzialetan ordezka daitezke, eta berdintzen badira cos(Ωt)-ren koefizienteak eta sin(Ωt)-ren koefizienteak honako ekuazio diferentzial biak lortzen dira:

Ezkerreko atalaren bigarren eta hirugarren terminoak Coriolis-en indarra eta indar zentrifugoa dira, masa unitateko.

Higiduraren konstantea

Ikertu zenean partikula baten higidura M masadun erakarle finko baten eraginpean honelako ekuazioak lortu ziren:

Lehen ekuazioa bidertzen bada bider dx/dt eta bigarrena bider dy/dt eta kontutan hartuz honako erlazioa:

Letraren gaineko puntuak denborarekiko deribatua adierazten du. Azkenean honelako ekuazioa idatz daiteke:

Eta ekuazio horretako atal bakoitza integra daiteke bere aldetik:

C integratzearen konstantea da, baina adierazten du energia masa unitateko, eta beraz, ibilbidearen puntu guztietan berdin balio du.

Buelta gaitezen Erreferentzia-sistema birakorrean lortu diren ekuazio diferentzialetara. Ekuazio bi horietatik lehena bidertzen bada bider dx_R/dt eta bigarrena bider dy_R/dt, eta bi ekuazioak batuz honako hau lortzen da:

Erakarle finkoaren kasuan bezala, integratzen bada atal bakoitza bere aldetik:

J-ri deritzo Jacobi-ren konstantea.

Higiduraren ekuazioen soluzio numerikoa

Ekuazio diferentzialen bikote hori numerikoki ebatzi aurretik komenigarria da prestatzea, ordenagailuan ez daitezen irten zenbaki handiegiak edota txikiegiak.

Finka dezagun unitate-sistema bat: lehenik, luzera neurtzeko, Lurraren erradioa erabiliko dugu, L=6.37·10⁶ m. Eta bigarrenik, denbora neurtzeko, eguna erabiliko dugu: P=1 egun= 24·60·60=86400 s.

Unitate-sistema berri honetan distantziak eta denborak honela adierazten dira: x=Lx', t=P·t',

Lehen ekuazio diferentziala honela idazten da:

Eta honako datuak ordezkatuta:

• Lurraren masa, M_T=5.98·10²⁴ kg

• Ilargiaren masa, M_L=7.34·10²² kg

• Lurrak eta Ilargiak duten errotazioaren abiadura angeluarra euren masa zentroaren inguruan: Ω=2.67·10^-6 rad/s

• Lurraren zentrotik m.z-rainoko distantzia: r_T=4.656·10⁶ m

• Ilargiaren zentrotik m.z-rainoko distantzia: r_L=379.344·10⁶ m

Honela idazten dira partikularen higidura ekuazioak erreferentzia-sistema birakorrean eta unitate absolutuetan:

Ekuazio diferentzialen bikote hori prozedura numerikoez ebatz daiteke, adibidez Runge-Kutta-rena, eta kalkulu-urrats aldakorrarekin. Programa honek aukeratzen du kalkulu-urrats luzea partikula gorputz erakarleetatik (Ilargitik eta Lurretik) urruti dagoenean, eta kalkulu-urrats laburra partikula gorputz erakarleetatik hurbil dagoenean.

Unitate sistema erlatiboetan J konstantea honela idazten da:

Eta zenbakizko balioak ordezkatuz, eta unitate sistema absolutuetan J konstantea honela idazten da:

Orri honetako programa interaktiboak numerikoki ebazten ditu higiduraren ekuazioak, uneoro kalkulatzen du J konstantea eta honako erlazioa ebaluatzen du:

Erlazio horri errorearen portzentajea deituko diogu. Partikularen J konstantea aldiune batean, eta hasierako balioa, J₀, ezberdinak izatera iristen badira eta errorearen portzentajea unitatea baino handiagoa suertatzen bada, programak kalkulua eten egingo du, ibilbidea errore handia pilatzen joan delako, eta jadanik ez delako fidagarria.

Hasierako baldintzak

Ontzi espazial batek orbita zirkularra osatzen du Lurraren gainazaletik h altuerara edo zentrotik r distantziara. Higidura zirkular eta uniformearen dinamika aplikatuz ontziaren abiadura kalkula daiteke:

Adibidez, satelite artifizial batek Lurraren gainazalarekiko h=1000 km-ko altuera badu edota r=7.37·10⁶ m-ko erradioa, orduan bere abiadura v=7356.6 m/s izango da eta 1.75 ordu tardatuko du bira oso bat ematen. Bestalde, satelite geogeldikor batek justu egun bat tardatzen du bira osoa ematen: bere abiadura v=3072.5 m/s da eta altuera h=42250.5-3670=38580 km.

Ontzi espaziala Lurraren inguruan dago, h altueradun orbita zirkular batean "aparkatuta". Halako batean, bere orbitaren θ posizio angeluarrean dagoenean, bere motorrak une batez pizten ditu eta abiadura-gehigarri ematen diote, Δv, ibilbide zirkularrarekiko norabide tangentean.

Orduan, t=0 aldiunean, ontzi espaziala honako posiziotik abiatzen da:

x₀= -r_T+r·cosθ
y₀= r·sinθ

Eta bere hasierako abiadura:

v_0x= -(v+Δv)·sinθ
v_0y=(v+Δv)·cosθ

Hemen, Δv motoreek ontziari eman dioten abiadura-gehigarria da, instante batean eman diotena.

Saiakuntza

Aukeran idatz daiteke:

• Ontziaren altuera Lurraren gainazalarekiko, kilometrotan, orbita zirkularrean aparkatuta dagoen bitartean, desplazamendu-barrari saguaz eragiten.

Berria botoia sakatu.

Leihatilaren ezkerraldean ikusten dira Lurra (urdinez), Ilargia (gorriz) eta biak lotzen dituen ardatza (beltzez). Multzoa bien arteko masa zentroaren inguruan mugitzen da.

Leihatilaren eskumako aldean, ontzi espaziala ikusten da Lurraren inguruan orbita zirkularrean mugitzen, eta aldi berean Lurra ere mugitzen da multzoaren masa-zentroaren inguruan. Ontzia Ilargira jaurtitzeko baldintzak aukera daitezke:

• Ontziaren posizioak osatzen duen θ Angelua, gradutan, Lurra eta Ilargia lotzen dituen zuzenarekiko, desplazamendu-barrari saguaz eragiten.

• Motoreek ontziari ematen dioten Δv, abiadura-gehikuntza m/s-tan, ibilbide zirkularrarekiko norabide tangentean, laukian idatziz.

Hasi botoia sakatu.

Leihatilaren goiko eta eskumako erpinean programak idatziz erakusten ditu honako datuak: bidaiaren iraupena egunetan, jaurti den aldiunetik hasita, ontzi espazialaren posizioa, x_R eta y_R , Lurraren erradioaren neurria erreferentziatzat hartuta, eta ontziaren abiadura, biratzen ari den erreferentzia-sistema ez inertzialarekiko.

Azpiko eta eskumako erpinean, gorriz idatzita, errorearen portzentaia adierazten da, alegia, ontziak bere bidaian zehar duen Jacobi-ren konstantea. Errore portzentajea unitatea baino handiagoa denean kalkulua eten egiten da eta programa amaitu egiten da.

Oharra: kalkuluetan erabiltzen den urratsa aldakorra denez, programak ematen duen partikularen abiadura ez da zehazki partikula errealaren abiadura.