Zeruko gorputzen dinamika

Lurrerantz nola erortzen den

Hurbilketak

Saiakuntza

Erreferentziak

Orri honetan satelite artifizialen erorketa ikertzen da. Hasieran satelitea Lurraren inguruan orbita zirkularrean ari da gainazaletik h altueran, baina atmosfera, hori baino altuagoa da. Eman dezagun, kalkuluak sinplifikatzeko, atmosferaren gasek dentsitate uniformea dutela, eta horrela marruskadura-indarra konstantetzat hartuko dugu.

Errealitatean, atmosferak geruza anitzak ditu eta tenperaturaren arabera jokabide ezberdinak:

• troposfera, tenperatura gutxitzen da altuera handitu ahala, batez beste 0.6ºC 100 m-ko.
• estratosfera, tenperatura gutxi gora behera konstantea da.
• mesosfera, tenperatura handitzen da eta gero gutxitu.
• termosfera, tenperatura hazi egiten da altueraren menpe.

Atmosferaren geruzak bestela ere sailka daitezke, gasen konposizio kimikoaren arabera:

• homosfera (100 km arte), osagai nagusiek (oxigenoak eta nitrogenoak) proportzio konstantea dute.
• heterosfera (100 km-tik 1000 km arte), gas arinak ugariagoak dira: hidrogenoa, nitrogenoa, helioa.
• exosfera, (1000 km-tik gora) molekularik arinenek ihes egiten dute espaziora, Lurraren erakarpena gaindituta.

Badago kapitulu bat Fisika Estatistikoa eta Termodinamika atalean, planeta baten atmosferaren eredu sinple bat aztertzen duena: tenperatura konstantetzat hartzen bada, presioa eta dentsitatea gutxituz doaz esponentzialki altuerarekin.

Sateliteak jasaten duen marruskadura-indarra, orokorrean aldatu egiten da satelitearen formarekin, airearen dentsitatearekin eta satelitearen abiadurarekin. Faktore guzti horiek kontutan hartzen badira higiduraren ekuazioa konplexua ateratzen da, horregatik orri honetan zenbait hurbilketa egingo ditugu satelitearen mugimendua modu sinplean deskribatu ahal izateko.

Orbita zirkularra

Demagun hasieran sateliteak orbita zirkularra deskribatzen duela Lurraren inguruan, R erradioduna. Higidura zirkular eta uniformearen dinamika aplikatuz abiadura lor daiteke:

hemen G=6.67·10^-11 Nm²/kg², eta M=5.98·10²⁴ kg Lurraren masa da eta bere erradioa 6370 km.

Irudiak erakusten duenez, sateliteak orbita zirkularra deskribatzen badu bere abiadura norabide erradialarekiko perpendikularra da, alegia, erakarpen grabitatorioarekiko perpendikularra.

Indar grabitatorioa kontserbakorra denez, satelite artifizialaren energia konstantea da bere ibilbideko edozein puntutan eta guztietan.

E energia totala negatiboa da eta, izan ere, energia potentzialaren erdia.

Lurrerantz nola erortzen den

Satelitea lurrerantz erortzen ari den bitartean, ibilbide espirala deskribatzen du. Abiadurak norabide erradialarekiko osatzen duen angelua jadanik ez da 90º, pixka bat txikiagoa baizik: 90º-φ. Bestela esanda, abiaduraren norabidea horizontal lokalaren azpitik dago, pixka bat, Abiadura-bektorea beti da ibilbidearekiko tangentea, beraz, norabide normala (abiadurarekiko perpendikularra) ez da jadanik norabide erradiala eta bien artean φ angelu txiki bat osatuko dute.

Irudiak erakusten ditu sateliteak jasaten dituen bi indarrak, Lurretik r distantziara dagoenean.

• Erakarpen grabitatorioa: F
• Marruskadura-indarra: F_r , konstantetzat hartuko duguna eta etengabe abiaduraren aurkakoa.

Deskonposa dezagun F indarra bi osagaietan: abiaduraren norabidea (tangentea), eta abiadurarekiko perpendikularra (normala).

Idatz ditzagun higiduraren ekuazioak norabide tangentean eta norabide normalean:

ma_t=F·sinφ-F_r
ma_n=F·cosφ

• Lehen ekuazioak esaten du nola aldatzen den satelitearen abiaduraren v modulua denboraren arabera.
• Bigarrenak esaten du nola aldatzen den abiaduraren norabidea.

r_c ibilbide espiralaren kurbadura-erradioa da, eta ohar bedi ez dela ibilbide zirkularraren r erradioaren berdina.

Soluzio numerikoa

Plantea ditzagun higiduraren ekuazioak koordenatu cartesiarretan:

max= -F·cosθ+Fr·sin(θ+φ) may= -F·sinθ -Fr·cos(θ+φ) eta x=r·cosθ    y=r·sinθ vx= -v·sin(θ+φ)  vy=v·cos(θ+φ)

Higiduraren bi ekuazioek bi ekuazio diferentzialeko sistema bat osatzen dute, bigarren ordenakoak, eta prozedura numerikoez ebatz daitezke, baina hasierako baldintzak finkatu behar dira: t=0, x=R, y=0, v_x=0, v_y=v₀. Hemen v₀  satelite artifizialaren hasierako abiadura da, izan ere, R erradiodun orbita zirkularra deskribatzen ari zenekoa.

Hurbilketak

Satelite artifizialaren higidura modu sinpleagoan deskribatzeko asmoz, zenbait hurbilketa egin daitezke.

φ angelua txikia bada, horizontal lokalaren norabidean v abiaduraren osagaia hau da: vH= v·cosφ ≈v, eta osagai erradiala (vR) oso txikia izango da, beraz,  sinφ≈tanφ= -vR/vH

higidura zirkularraren ekuazioa

izango litzateke orbita zirkular baten ekuazioa baina r erradioaz eta honako abiaduraz: v_H=v·cosφ

Ekuazio horretan sinplifikatzen badira m eta r, eta ondoren r-rekiko deribatzen bada:

Katearen erregelaz azelerazio tangentziala kalkula daiteke:

Azken ekuazio bietatik hau lortzen da:

Eta bestalde, hurbilketa honekin, higiduraren ekuazioa norabide tangentzialean:

ma_t=F·sinφ-F_r

eta berridatziz

Abiadura-bektoreak osatzen duen φ angelua horizontal lokalarekiko hau da:

Eta honako emaitza paradoxiko hau lortzen da:

Paradoxikoa zeinu positiboa da: marruskadura indarrak satelitearen v abiadura handitzen du. Errealitatean, indar bi daude, erakarpen grabitatorioa eta marruskadura-indarra, eta erresultanteak osagai bat dauka abiaduraren norabide berean, aurreko irudian ikus daitekeen bezala.

Satelitearen posizioa kalkula daiteke t denboraren menpe eta koordenatu polarretan (r, θ):

Hemen v₀ satelitearen abiadura da hasierako aldiunean, t=0, R erradiodun orbita zirkularretik abiatzen denean.

Satelite artifizialaren hasierako energia totala, aurreko atalean kalkulatu dugu. Aldiz, amaierako energia totala kalkulatzeko demagun bere orbita ia zirkularra dela, r erradioduna eta v abiadura duela:

Marruskaduraren eraginez galdutako energia, bien arteko kendura da, hasierakoa ken amaierakoa:

Saiakuntza

Ondoko programa interaktiboak erakusten du, satelite artifizialak espiral formako ibilbidea jarraitzen duela eta bere abiadura handitzen doala altuera galtzen doan heinean. Ez ditugu zehazki kalkulatuko satelitearen posizioa eta abiadura.

Aukeran idatz daitezke:

• Satelitearen hasierako Altuera, kilometrotan, Lurraren gainazalarekiko neurtuta, desplazamendu-barrari saguaz eragiten.

• Marruskadura indarraren eragina, F_r/m koefizientea aukeratuz, desplazamendu-barrari saguaz eragiten.

Hasi botoia sakatu.

Satelitea mugitzen hasten da Lurraren inguruan, kolore urdineko orbita zirkularretik abiatuta, eta marra gorri batez adierazten da erortzen ari den bitartean jarraitzen duen espiral formako orbita. Mugimendua amaitzen da satelite artifizialak Lurraren gainazala jotzen duenean.

Programak idatziz ematen ditu honako datuak: denbora (ordutan), satelite artifizialaren abiadura (m/s-tan) eta Lurraren gainazalarekiko duen altuera (kilometrotan).

Ezkerraldean, eta kolorezko barrekin adierazita, energiaren informazioa ematen da uneoro (satelitearen m masa unitateko, eta zenbakizko balioa adierazten da 10⁶ J/kg-ko eskalan):

• Urdinez, energia zinetikoa, izan ere, beti positiboa da.
• Gorriz, energia potentziala, beti negatiboa da.
• Marra argi batek (energia potentzialaren gainean) energia totala adierazten du, E.
• Beltzez, marruskadurak eragindako energia-galera, alegia, hasierako eta amaierako energien arteko kenketa.

Adibidea:

Aukera ditzagun, esaterako, honako datuak:

• Altuera, h=5000 km

• Marruskadura, F_r/m=0.025

Kalkula dezagun abiadurak osatzen duen angelua horizontal lokalarekiko:

Angelu hori oso txikia da, eta gainera gutxitzen doa Lurrera hurbiltzean.