Zeruko gorputzen dinamika

Hohmann-en transferentziazko orbita

Planeta baten eragin-esfera

Bidaia osorako behar den energia

Saiakuntza

Erreferentzia

  Orri honetan erakusten den programa interaktiboan, bidaia bat egiten da espazioan zehar Lurretik Martitzera eta itzuli. Lurraren eta Martitzen orbitak zirkulartzat hartuko ditugu eta joan-etorriko bidaia Hohmann-en transferentziazko orbita eliptiko bat izango da. Kontuan hartuko dugu espazio-ontziak jasaten duen indar bakarra Eguzkiaren erakarpena dela, eta beraz ez ditugu kontuan hartuko planetek eragiten diotena, ezta planetek elkarri eragiten diotena.

 Planetak nola mugitzen diren

Lurrak eta Martitzek Eguzkiaren inguruan burutzen dituzten orbitak, biak zirkulartzat hartuko ditugu, eta Higidura zirkular eta uniformearen dinamika aplikatuz:

Hemen, M=1.98·10³⁰ kg Eguzkiaren masa da, G=6.67·10^-11 Nm²/kg², eta r ibilbide zirkularraren erradioa.

• Lurraren orbitaren erradioa: r_t=1.49·10¹¹ m, eta beraz, v_t=29772.6 m/s

• Martitzen orbitaren erradioa: r_m=2.28·10¹¹ m, eta beraz, v_m=24067.3 m/s

Azpindizeak, gaztelerazko izenenak erabili dira: tierra, marte eta sol.

Hohmann-en transferentziazko orbita

Demagun ontziak, Lurretik Martitzera bidaiatzen ari den bitartean, Eguzkiaren indarra jasaten duela soilik, hau da, planeten eragina arbuia dezagun. Ontziaren orbita elipse bat izango da: elipse horren foku bat eguzkia da, perihelioa Lurraren orbitaren erradioa da (r1=1.49·1011 m), eta afelioa Martitzen orbitaren erradioa (r2=2.28·1011 m), irudiak erakusten duen bezala. Ezagunak badira r1 =rt eta r2 =rm , orduan ontziaren abiadurak kalkula daitezke perihelioan (v1) eta afelioan (v2) indar grabitatorioaren ezaugarriak aplikatuz:

• Eguzkiak ontziari egiten dion erakarpen-indarra zentrala da, hortaz ontziaren momentu angeluarra konstantea da:

mr₁·v₁·sin90º = m·r₂·v₂·sin90º

• Erakarpen-indar grabitatorioa kontserbakorra da, beraz, ontziaren energia totala konstantea da:

Ekuazio bi horietan bi ezezagun daude: v₁ eta v₂. Kalkuluak burutuz:

• Datuak: r₁=1.49·10¹¹ m, eta r₂=2.28·10¹¹ m,

• Ezezagunak: v₁=32742.7 m/s eta v₂=21397.6 m/s

Espazio-ontziak deskribatzen duen orbita eliptikoak honako ardatzerdi nagusia du: a=(r₁+r₂)=1.885·10¹¹ m eta eszentrikotasuna ε=(r₂-r₁)/(r₂+r₁)=0.21

	Ontzia Lurretik jaurti aurretik, Lurraren beraren abiadura darama, baina orbita eliptikora pasatzeko bere abiadura handitu beharra dago: v1-vt= 32742.7-29772.6= 2971.1 m/s Martitz-en orbitaraino iristeko.
	Itzuliko bidaiarako, Martitzetik jaurtitzen da ontzia, alegia pasatu egin behar da Martitzen orbita zirkularretik orbita eliptikora, eta horretarako bere abiadura moteldu beharra dago: v2-vm= 21397.6-24067.3= -2669.7 m/s Lurraren orbitaraino iristeko.

Ezagutzen denez orbita eliptikoaren ardatzerdi nagusia (2a=r₁+r₂) Kepler-en hirugarren legea erabiliz periodoa kalkula daiteke:

Datuak ordezkatuz, P=517.8 egun. Hortaz Lurretik Martitzera bidaiatzeko, edota Martitzetik Lurrera bidaiatzeko justu periodoaren erdia behar da: 258.9 egun.

Zein posiziotan egon behar dira planetak ontzia jaurtitzeko unean

Joaneko bidaia

Demagun Lurra eta Martitz, biak, irudiak erakusten duen bezala kokatuta daudela justu ontzia jaurtitzen den unean: Lurra orbita zirkular urdinean eta Martitz orbita zirkular gorrian. Ontziak 258.9 egun behar ditu bidaia osatzeko orbita eliptikoan zehar (beltza). Izan ere, bidaia eliptiko hori burutuko du, Eguzkitik hurbilen dagoen posiziotik (periheliotik) Eguzkitik urrutien dagoen posiziora arte (afelioa). Denbora horretan, Martitz mugitzen ari da, eta honako desplazamendu angeluarra izango du Martitzek:

ω_m·P/2=2.362 rad=135.3º

Hemen, w_m=v_m/r_m Martitzen abiadura angeluarra da.

Martitzen abiadura angeluarra Lurrarena baino txikiagoa da, eta ontziak bere bidaia amaitzen duenean, 258.9 egunen ondoren, Martitz posizio egokian aurkitu behar du. Horretarako, ontzia jaurtitzen den unean, Martitzek egon behar du honako angelu honetan Lurrarekiko:

θ=π-ω_m·P/2=180º-135.3º= 44.7º

Ontzia Lurretik jaurtitzen den unean, Martitzek Lurra baino aurrerago egon behar du, justu 44.7º, bidaiaren amaieran ontzia eta Martitz posizio berean aurki daitezen.

Itzuliko bidaia

Itzuliko bidaia egiteko ere, ontzia Martitzetik jaurtitzen den unean, Martitz eta Lurra modu egokian egon behar dute kokatuta. Ontziaren bidaiak 258.9 egun irauten du, eta denbora horretan Lurrak honenbeste aurreratzen du:

ω_t·P/2=4.470 rad=256.1º

Hortaz, Lurra Martitz baino atzerago egon behar da kokatuta:

θ=ω_t·P/2-π=256.1º-180= 76.1º

Ontzia Martitzetik jaurtitzen den unean, Lurra 76.1º atzerago egon behar da,  bidaiaren amaieran ontzia eta Lurra posizio berean aurki daitezen.

Bidaia osoaren iraupena

Ontzi espaziala Lurretik jaurtitzen da t=0 aldiunean. Lurraren posizioa θ_t=0, eta Martitzen posizioa une horretan θ_m=0.780 rad=44.7º.

Ontzia Martitzera iristen da t=258.9 egunetan, eta une horretan, Lurraren eta Martitzen posizioak honakoak dira: 

θ_t=ω_t·P/2=4.470 rad=256.1º
θ_m=0.780+ω_m·P/2=3.14 rad=180º

Itzuliko bidaia hasteko, itxoin egin behar da, Δt denbora-tarte bat, harik eta Martitzen posizioa Lurra baino aurreratuago egon arte 76.1º=1.328 rad. Une horretan, P/2+Δt aldiunean, Lurraren eta Martitzen posizioak honakoak dira:

θ_t=ω_t·(P/2+Δt)
θ_m= 0.780+ω_m·(P/2+Δt)

Eta itzuliko bidaia hasten den aldiunean honako baldintza bete behar da:

θ_m -1.328+n(2π)=θ_t

eta n zenbaki oso bat da, bira-kopuru oso bat adierazten du, eta n=1 ordezkatuz, lortzen da bidaiaren iraupen minimoa, Δt

Δt =445.2 egun

Orduan bidaia osoaren iraupena:

• Martitzera joateko bidaia: 258.9 egun
• Martitzen egon behar den denbora minimoa: 445.2 egun.
• Lurrera itzultzeko bidaia 258.9 egun

Totala=963.1 egun.

Denbora horri gehitu behar zaizkio, jaurtitze- eta  lurreratze-iraupenak planeta bietan.

Planeta baten eragin-esfera

Ontzi espazial bat jaurtitzen denean esaterako, Lurretik Martitzera, hiru urrats burutu behar dira:

• Irteera: Lurraren erakarpena Eguzkiarena baino handiagoa da.
• Bidaia: bitarteko tartea, Eguzkiaren eragina nagusi da, heliozentrikoa.
• Iristea: Martitzen erakarpen indarra Eguzkiarena baino handiagoa da.

Orain arteko ikerketan, bidaia bera aztertu dugu soilik; elipse erdia joanekoan eta beste erdia itzulikoan. Honako atal honetan, zehazkiago aztertuko ditugu bidaia bien hasierak eta amaierak.

Planeta baten eragin-esfera da, planeta horrek egiten duen erakarpen-indarra, Eguzkiaren aldean, arbuiagarria ez den eskualdea. Laplace-k asmatu zuen esfera horren erradiorako definizio bat:

hemen, d planetaren eta Eguzkiaren arteko distantzia da, M planetaren masa, eta M_s Eguzkiaren masa.

Lurraren eragin-esfera

Ezagutzen dira, Lurraren masa, M_T=5.98·10²⁴ kg, Lurraren erradioa R_T=6.37·10⁶ m, Lurretik Eguzkirainoko distantzia, d=1.496·10¹¹ m eta Eguzkiaren masa M_S=1.98·10³⁰ kg. Datuok eragin-esferaren adierazpenean ordezkatuz, honako emaitza lortzen da: R_e=926.7·10⁶ m edo bestela esanda: 145.5 bider Lurraren erradioa. Izan ere, Lurraren eragin-esfera hori oso txikia da Eguzkirainoko distantziaren aldean d=1.49·10¹¹ m=23485 bider Lurraren erradioa. Horrek esan nahi du, ontziak ia ibilbide eliptiko osoan zehar Eguzkiaren erakarpena nagusi izango duela, eta planeta bien eragina bidaiaren muturretan baino ez dela nabariko.

Ondoko irudiak erakusten du Eguzkiak egiten duen indarra (F_S) eta Lurrak egiten duen indarra (F_T) posizioaren arabera, Lurraren eragin-esferaren barruan, alegia Lurretik -150·R_T eta 150·R_T distantzien artean. Ikus daiteke, Eguzkiak egiten duen indarra (marra gorria) ia konstantea dela eta, gutxi gora behera, Lurraren zentroan egiten duena. Bestalde ikusten da, Lurrak egiten duen indarra (marra urdina) oso txikia dela eragin-esferaren mugan, eta horixe kalkulatuko dugu ondoren:

Eragin-esferaren mugan, esaterako,  R_e=145.5·R_T =926.7·10⁶ m, Lurraren zentrotik ezkerrera edo eskumara, Lurrak egiten duen indarra eta Eguzkiak egiten duena honela kalkulatzen dira:

Ontzi espazial bat Lurraren gainazaletik eragin-esferaren mugaraino eramateko eman behar zaion abiadura, ihes-abiaduraren oso antzekoa da:

Datuak ordezkatzen badira honako abiadura ematen du: v=11152.2 m/s. Eta ihes-abiadura v_e=11190.7 m/s, beraz biak oso antzekoak.

Martitzen eragin-esfera

Ezagutzen dira, Martitzen masa M_M=6.578·10²³ kg, bere erradioa R_M=3.394·10⁶ m, Martitzetik Eguzkira dagoen distantzia d=2.28·10¹¹ m eta Eguzkiaren masa M_S=1.98·10³⁰ kg. Eragin-esferaren adierazpenean ordezkatu eta emaitza hau lortzen da: R_e=584.1·10⁶ m edota 172.1 bider Martitzen erradioa. Martitzen eragin-esfera ere oso txikia da Eguzkirainoko distantziarekin konparatuta, d=2.28·10¹¹ m=67177 bider Martitzen erradioa. Horrek esan nahi du, ontziak ia ibilbide eliptiko osoan zehar Eguzkiaren erakarpena nagusi izango duela, eta planeta bien eragina bidaiaren muturretan baino ez dela nabariko.

Ondoko irudiak erakusten du Eguzkiak egiten duen indarra (F_S) eta Martitzek egiten duen indarra (F_M) posizioaren arabera, Martitzen eragin-esferaren barruan, alegia Martitzetik -175·R_M eta 175·R_M distantzien artean. Ikus daiteke, Eguzkiak egiten duen indarra (marra gorria) ia konstantea dela eta, gutxi gora behera, Martitzen zentroan egiten duena. Bestalde ikusten da, Martitzek egiten duen indarra (marra urdina) oso txikia dela eragin-esferaren mugan, eta horixe kalkulatuko dugu ondoren:

Eragin-esferaren mugan, esaterako,  R_e=172.1·R_M =584.1·10⁶ m, Martitzen zentrotik ezkerrera edo eskumara, Martitzek egiten duen indarra eta Eguzkiak egiten duena honela kalkulatzen dira:

Ontzi espazial bat Martitzen gainazaletik eragin-esferaren mugaraino eramateko eman behar zaion abiadura, ihes-abiaduraren oso antzekoa da:

Datuak ordezkatzen badira honako abiadura ematen du: v=5069.9 m/s

Bidaia osorako behar den energia

Lehenik, ontzi espazial bati eman behar zaion abiadura Lurraren gainazaletik eragin-esferaren mugaraino iristeko hau da: 11152.2 m/s. Puntu horretan ontziak Lurraren abiadura bera darama Eguzkiarekiko.

Bigarrenik, ontzia Lurraren orbitatik trantsiziozko orbita eliptikora pasatzeko abiadura handitu beharra dago, higiduraren norabidean.

v₁-v_T=32742.7-29772.6=2971.1 m/s

Guztira, egin den abiadura aldaketa totala: Δv₁=11152.2+2971.1=14123.3 m/s.

Ontzi espaziala, bere orbita eliptikoan, Martitzera iristen da honako abiaduraz: v₂=21397.6 m/s. Baina Martitzen abiadura hori baino handiagoa da: v_M=24067.3 m/s. Beraz, abiadura-aldaketa hau da: v₂-v_M= -2669.7 m/s. Ontziari energia eman behar zaio Martitzekin mugitzeko.

Martitzen ihes-abiadura hau da: 5069.9 m/s, beraz, ontzia Martitzera erortzen ari den bitartean motoreek lan egin beharko dute bere abiadura gutxitzeko. Hona hemen abiadura aldaketa: Δv₂=5069.9-2669.7=2400.2 m/s , ontzia Martitzen gainazalean leunki geldiarazteko.

Ontzi espazialaren motoreek, energia eman behar dute joaneko bidaian eta itzulikoan ere, eta bidaia osorako abiadura-aldaketa hau da:  Δv=2(Δv₁+Δv₂)=2·16523.5=33047.0 m/s.

Bidaian xahutzen den energia hori gutxitzeko, ontzi espaziala planetan lur hartzen ari den atalean, planetaren atmosfera erabil dezake bere abiadura moteltzeko, atmosferako gasen marruskaduraz baliatuz. Nolanahi ere, irteeran, atmosferako gasen marruskadurak energia gehigarri bat xahutzea eskatzen du.

 Saiakuntza

Leihatilaren eskumako aldean idatziz erakusten dira honako datuak:

• Denbora, egunetan (egiazta daiteke Lurretik Martitzera bidaiatzeak 259 egun behar dituela).
• Planeta bien abiadurak eta ontziarena km/s-tan.
• Lurraren eta Martitzen posizio angeluarrak gradutan.