Zeruko gorputzen dinamika

Bidaiaren iraupena

Adibideak

Saiakuntza

Zinematikaren ikasgaian aztertzen dira proiektilen jaurtiketak eta, grabitatearen azelerazioa konstantea hartzen denez, ibilbide parabolikoak ateratzen dira plano bertikalean (ez da kontutan hartzen airearen marruskadura).

Orri honetan ere ez da airearen marruskadurarik kontutan hartuko, baina grabitatearen azelerazioa aldakorra dela kontsideratuko da eta, baldintza horietan, proiektilek jarraitzen dituzten ibilbideak aztertuko dira. Jaurtitzeko unean duten abiadura v₀  da, φ angelua osatzen dute horizontalarekiko.

Ibilbidearen ekuazioa

Proiektilak m masa du, Lurraren zentrotik R distantziara dago, v0 abiaduraz jaurtitzen da eta 90-φ angelua osatzen du norabide erradialarekiko. Idatz ditzagun bere momentu angeluarra eta energia:

Magnitude bi horiek konstanteak dira ibilbide osoan zehar:

Ibilbidearen ekuazioa koordenatu polarretan, r(q):

e eta d parametro bi dira, orbita-mota erabakitzen dutenak. Ibilbidearen ekuazioa proiektilaren m masarekin ez da aldatzen:

Proiektilaren energia negatiboa bada (E<0) orduan ibilbidea elipsea da, baina horretarako jaurtiketaren v₀ abiadura ihes-abiadura (v_e) baino txikiagoa izan behar da:

Ezagutzen badira d eta ε, ibilbidearen ezaugarri guztiak kalkula daitezke: Ardatzerdi nagusia, a, elipsearen distantzia minimoaren (θ=0) eta maximoaren (θ=π) batezbesteko aritmetikoa da:

• Distantzia fokalaren erdia: c=ε·a

• Elipsearen ardatzerdi laburra: 

Proiektilaren jaurtitze-posizioa, koordenatu polarretan, R, θ₀ da eta erortze-posizioa R, -θ₀,:

Jaurtiketaren irismena da, jaurtitze- eta erortze-posizioen arteko distantzia, baina Lurraren gainazalean neurtutako arkuaren luzera:  2·R·(π-θ₀)

Ibilbidearen altuera maximoa kalkulatzen da, elipsearen ekuazioan ordezkatzen bada, θ=π.

Lurraren gainazalarekiko altuera kalkulatu nahi bada, orduan: h_max=r_max-R

Bidaiaren iraupena

Bidaiaren iraupena kalkulatzeko planeta baten periodoa kalkulatzeko prozedura bera erabiliko dugu, alegia, Kepler-en azaleren legea.

Koordenatu polarretan momentu angeluarra honela adierazten da:

Integratuz:

Ezkerreko terminoa hain zuzen, posizio bektoreak ekortutako azalera da, proiektila mugitzen denean θ=θ₀ posiziotik θ=π.  posizioraino. Bidaiaren t iraupena lortzen da:

Horiz margotutako azalera da θ=θ₀-tik θ=π-raino mugatutakoa, alegia x eta a-ren arteko elipse-zatia gehi honako hirukiaren azalera: oinarria R·cos(π-θ₀) eta altuera R·sin(π-θ₀). Hemen x= -c+R·cos(π-θ₀)

Elipsearen ekuazioa koordenatu cartesiarretan:

Hemen a ardatzerdi nagusia da, b ardatzerdi laburra, eta c fokuen arteko distantziaren erdia.

Hona hemen x eta a-ren arteko elipse-zatiaren azalera:

Integral hori kalkulatzeko aldagaia aldatu da: x= a·sin z. Orduan, integralaren mutur berriak:

• x=a denean  z₂=π/2,
• -c-R·cosθ₀=a·sinz₁

Beraz, margotutako azalerak honako balioa dauka:

Kasu berezia:

Jaurtiketaren angelua φ=90º bada:

Proiektilaren momentu angeluarra nulua da: L=0, eta beraz ibilbidea zuzena izango da eta Lurraren zentrotik pasatzen dena. Proiektilak gora eta behera egingo du norabide erradialean.

Proiektila zein altueraraino iritsiko den kalkulatzeko, energiaren ekuazioan ordezka daiteke v=0 eta r ezezaguna lortzen da:

Igoeraren zein erorketaren iraupena kalkulatzea (denbora) ez da berehalakoa, azelerazioa ez baita konstantea.

Adibideak

1.- Proiektil bat jaurtitzen da Lurraren gainazaleko edozein tokitik, v₀= 7500 m/s abiaduraz eta justu norabide erradialean gora.

Hona hemen behar diren datuak:

• Lurraren erradioa: R=6.37·10⁶ m.
• Lurraren masa: M=5.98·10²⁴ kg
• Grabitazioaren konstantea: G=6.67·10^-11 Nm²/kg²

Proiektilak atzematen duen altuera maximoa, lurraren zentrotik neurtuta:  r=11.56·10⁶ m =1.815 bider lurraren erradioa.

Eta lurraren gainazaletik neurtuta: h=r-R=5.20·10⁶ m

2.- Proiektil bat jaurtitzen da Lurraren gainazaleko edozein tokitik, v₀= 7500 m/s abiaduraz eta horizontalarekiko φ=60º angelua osatzen:

Kalkula ditzagun proiektilaren momentu angeluarra eta energia:

L=6.37·10⁶·7500·cos60º=2.39 ·10¹⁰ m kgm²/s

Ibilbidea

Energia eta momentu angeluarra ezagunak direnez (E eta L), kalkula ditzagun elipsearen ekuazioaren parametro geometrikoak: d eta ε.

ε=0.867
d=1.43·10⁶ m 

Datu bi horiekin kalkula daiteke θ₀ angelua:

Jaurtiketaren irismena: 2·R·(π-θ₀)= 2·6.37·10⁶·(π-2.68)=6.20·10⁶ m

Ibilbidearen iraupena

Ibilbidearen iraupena kalkulatzeko, lehenik kalkulatu behar da posizio-bektoreak ekortutako azalera: θ=θ₀ posiziotik θ=π posiziora, elipsean margotutako azalera, eta bi bider bidertu.

Elipsearen parametro geometriko gehiago beharrezkoak dira:

• ardatzerdi nagusia, a=5.78·10⁶ m

• ardatzerdi laburra, b=2.88·10⁶ m

a·sinz₁= -c-R·cosθ₀        z₁=6.73º=0.117 rad

Azalera=1.925·10¹³ m².

Orduan, ibilbidearen iraupena:

Saiakuntza

Aukeran idatz daiteke:

• Jaurtiketaren abiadura, v₀, desplazamendu-barrari saguaz eragiten.

• Jaurtiketaren angelua, φ, horizontalarekiko, desplazamendu-barrari saguaz eragiten.

Hasi botoia sakatu.

Proiektila mugitzen ikusten da, eta bere ibilbidea gorriz marrazten da. Leihatilaren eskumako eta goiko aldean idatziz erakusten dira honako datuak: denbora segundotan eta Lurraren zentrorainoko distantzia, Lurraren erradioa erreferentziatzat hartuta.