Zeruko gorputzen dinamika

Jaurtiketaren angelua, φ=0

Jaurtiketaren angelua, φ=180

Jaurtiketaren angelua, φ=90

Jaurtiketaren angelua, φ<90

Jaurtiketaren angelua, φ>90

Saiakuntza

Zinematikaren ikasgaian aztertzen dira proiektilen jaurtiketak eta, grabitatearen azelerazioa konstantea hartzen denez, ibilbide parabolikoak ateratzen dira plano bertikalean (ez da kontutan hartzen airearen marruskadura).

Zeruko gorputzen dinamikan, beste kapitulu batean, "Grabitazio Unibertsalaren legearen aurkikuntza", aztertzen da Newton-ek egindako prozesu mentala, alegia proiektil bat mendi baten gailurretik horizontalki jaurtitzen bada, orbita eliptikoa jarraituko duela eta Lurraren zentroa elipsearen fokuetako batean dagoela. Ibilbideak eliptikoak dira baina, jaurtigaiaren abiadura eta altuera maximoa ez badira oso handiak, grabitatea konstantetzat har daiteke eta, limitean, ibilbideak parabolak dira.

Bestalde, Lurraren errotazioa ere ez dugu kontutan hartuko. Efektu hori zehazki aztertuko dugu geroago “Erortzen ari den gorputz baten desbideraketa” kapituluan.

Beraz, orri honetan aztertuko da proiektil bat h altueratik jaurtitzen dela, v₀ abiaduraz eta norabide erradialarekiko φ angelua osatzen, grabitate aldakorraz eta airearen marruskadurarik gabe.

Kalkulu horietan honako datuok beharko ditugu:

• Lurraren erradioa, R=6.37·10⁶ m

• Lurraren masa, M=5.98·10²⁴ kg

• Konstantea, G=6.67·10^-11 Nm²/kg²

Ibilbidearen ekuazioa

Proiektil bat jaurtitzen da, m masaduna, Lurraren gainazala baino goragotik, izan ere, h altueratik (Lurraren zentrotik r0=R+h distantzia) eta v0 abiaduraz, norabide erradialarekiko φ angelua osatuz. Proiektilaren momentu angeluarra eta energia honakoak dira:

Ibilbidearen ekuazioa koordenatu polarretan, r(q) :

Proiektilaren energia totala negatiboa bada, E<0, bere ibilbidearen eszentrikotasuna unitatea baino txikiagoa ateratzen da, ε<1, beraz elipse bat.

Ezagutzen badira d eta ε, elipsearen a ardatzerdi nagusia kalkula daiteke, batezbesteko aritmetikoa kalkulatzen erradio minimoaren(θ=0) eta erradio maximoaren (θ=π) artean:

Fokuen arteko distantziaren erdia, c=ε·a

Eta elipsearen ardatzerdi laburra,

Proiektilaren abiadura inpaktuaren puntuan

Energia konstantea denez, energiaren ekuazioan ordezkatzen bada r=R (Lurraren erradioa), proiektilaren v abiadura kalkula daiteke Lurraren gainazala jotzean:

Beraz, inpaktuaren v abiadurak ez du erlaziorik proiektilaren m masa eta jaurtiketaren φ angeluarekin.

Hegaldiaren iraupena

Proiektilak lurra jo arte zenbat denbora tardatzen duen kalkulatzeko azaleren prozedura erabiliko dugu, hain zuzen, planeta baten periodoa kalkulatzeko erabiltzen den prozedura bera. Momentu angeluarra koordenatu polarretan honela adierazten da:

Integratuz,

Ezkerreko terminoa hain zuzen, posizio bektoreak ekortutako azalera da, proiektila mugitzen denean θ posiziotik θ=π.  posizioraino. Bidaiaren t iraupena lortzen da:

Lortzen diren hainbat kasu ikertuko ditugu:
 

Jaurtiketaren angelua, φ=0º.

Proiektilaren momentu angeluarra nulua da: L=0, eta beraz ibilbidea zuzena izango da eta Lurraren zentrotik pasatzen dena. Proiektilak gora eta behera egingo du norabide erradialean.

Proiektila zein altueraraino iritsiko den kalkulatzeko, energiaren ekuazioan ordezka daiteke v=0 eta r ezezaguna lortzen da:

Igoeraren zein erorketaren iraupena kalkulatzea (denbora) ez da berehalakoa, azelerazioa ez baita konstantea.

Adibidea

Demagun proiektila jaurtitzen dela h=6000 km-ko altueratik (r₀=6.0·10⁶+6.37·10⁶ m), v₀= 4500 m/s-ko abiaduraz, bertikalki eta gorantz:

• Proiektilak atzematen duen altuera maximoa: h=18.03·10⁶ -6.37·10⁶ =11.66·10⁶ m

• Lurraren gainazalera iristean duen abiadura: v=8999.6 m/s

Jaurtiketaren angelua, φ=180º.  

Proiektilaren momentu angeluarra nulua da: L=0, eta beraz ibilbidea zuzena izango da eta Lurraren zentrotik pasatzen dena. Proiektila beherantz eroriko da norabide erradialean, eta Lurraren gainazalera iritsiko da aurreko ataleko v abiadura berarekin.

Adibidea

Demagun proiektila jaurtitzen dela h=6000 km-ko altueratik (r₀=6.0·10⁶+6.37·10⁶ m), v₀= 4500 m/s-ko abiaduraz, bertikalki eta beherantz:

• Lurraren gainazalera iristean duen abiadura: v=8999.6 m/s

Jaurtiketaren angelua, φ=90º.

Irismen maximoa

Jaurtiketa horizontal batek izan dezakeen irismen maximoa da, justu Lurraren aurkako puntu simetrikoa. Hori gertatzeko, hasierako posizioa, r₀=h+R, apogeoa izan behar da eta perigeoa R.

Proiektilaren momentu angeluarra eta energia konstanteak dira ibilbidearen puntu guztietan, eta bereziki, apogeoan eta perigeoan ere bai:

Ekuazio bi horietan r₀ eta R datuak dira, eta ezezagunak dira v eta v₀ . Jaurtiketaren abiadura honakoa izan behar da:

Adibidea: Demagun h=6000 km edota r₀=12.37·10⁶ m.

Jaurtiketaren abiadura ateratzen da: v₀= 4681.969 m/s.

Elipsearen ardatzerdi nagusia: a=(R+r₀)/2= 14.37·10⁶ m

Bidaiaren iraupena, hain zuzen, periodoaren erdia.

t=P/2= 4512 s

Inpaktuaren posizioa orokorrean

Goiko irudiak erakusten duenez, proiektila abiatzen da θ=π posiziotik, eta Lurraren gainazala jotzen du θ=π-α posizioan, honako baldintza betetzen denean: r=R.

Ordezkatzen bada r=R ibilbidearen ekuazioan, θ angelua bakan daiteke.

Adibidea:

Aurreko adibideetako datu berdinak erabiltzen baditugu:

• Jaurtiketaren posizioa: r₀=12.37·10⁶ m

• Jaurtiketaren abiadura: v₀= 4500 m/s

• Jaurtiketaren angelua: φ=90º.

Kalkula ditzagun, lehenik proiektilaren momentu angeluarra eta energia:

L=5.57·10¹⁰ m kgm²/s
E= -22.12·10⁶ m J

Energia eta momentu angeluarraren menpe kalkula daitezke ibilbide eliptikoaren parametro geometriko guztiak, besteak beste, d eta  ε eszentrikotasuna:

ε=0.372
d=7.77·10⁶ m

Datu horiekin eta amaierako posizioarekin, r=6.37·10⁶ m (Lurraren erradioa) inpaktuaren posizio angeluarra lortzen da: θ=0.934 rad.

Jaurtiketaren eta inpaktuaren arteko distantzia angeluarra:

α=π-0.934=2.20 rad

Jaurtiketaren irismena da, distantzia angeluar horri dagokion arkuaren luzera (lurraren azalaren gainean neurtuta):

s=R·α= 14.03·10⁶ m

Hegaldiaren iraupena

Posizio bektoreak ekortutako azalera doa θ  posiziotik θ=π posizioraino (grisez margotutakoa). Bestela esanda, x eta a-ren arteko elipse-zatia ken  honako hirukiaren azalera: oinarria R·cosθ eta altuera R·sinθ. Hemen x= -c+R·cosθ da.

Elipsearen ekuazioa koordenatu cartesiarretan:

Hemen a ardatzerdi nagusia da, b ardatzerdi laburra, eta c fokuen arteko distantziaren erdia.

Hona hemen x eta a-ren arteko elipse-zatiaren azalera:

Integral hori kalkulatzeko aldagaia aldatu da: x=a·sin z. Orduan, integralaren mutur berriak:

• x=a denean  z₂=π/2,
• -R·cosθ -c= a·sinz₁

Beraz, grisez margotutako azalerak honako balioa dauka:

Azalera zenbakiz kalkulatzeko honako datuak beharrezkoak dira:

• a=9.82·10⁶ m

• c=3.35·10⁶ m

• b=8.37·10⁶ m

Ondoren kalkulatzen da z₁, inpaktuaren posizio angeluarraren menpekoa: θ=0.934 rad. Gero, kalkulagailuarekin posizio-bektoreak ekortutako azaleraren balioa lortzen da: A=1.022·10¹⁴ m².

Eta azkenik, hegaldiaren iraupena, t :

Jaurtiketaren angelua, φ<90º

Ibilbidea

Demagun jaurtiketaren φ angelua ez dela angelu sinpleetako bat (0º, 90º, edo 180º). Alboko irudiak erakusten duenez, elipsearen ardatza β angelu bat biratuta egongo da. Angelu hori kalkulatzen da ibilbidearen ekuazioan ordezkatuz r=r0 eta θ angelua bakanduz.

Aurreko adibideetako datuak mantenduz:

• Jaurtiketaren posizioa: r₀=12.37·10⁶ m

• Jaurtiketaren abiadura: v₀= 4500 m/s

• Jaurtiketaren angelua: φ=30º.

Proiektilaren energia aurreko adibideetako berbera da, baina momentu angeluarra aldatzen da:

L=2.78·10¹⁰ m kgm²/s
E= -22.12·10⁶ m J

Energia eta momentu angeluarra ezagunak direnez, ibilbidearen ekuazioa lor daiteke, d parametroa eta ε eszentrikotasuna kalkulatuz:

ε=0.886
d=1.94·10⁶ m

Datu bi horiekin, elipsearen ardatz nagusiaren angelua kalkulatzen da: β=2.83 rad.

Inpaktuaren posizioa

Irudiak erakusten duenez, inpaktuaren posizioa kalkula daiteke, elipsearen ekuazioan r=R ordezkatuz, eta horrek ematen du θ posizio angeluarra, aurreko kasuan bezalaxe.

Jaurtiketaren irismen angeluarra kalkulatzeko (irudian α) erlazio bat aurkitu behar da θ, α eta β angeluen artean. Hona hemen:

α =2π-θ-β

Adibidea:

Aurreko datuekin ateratzen da θ=2.47rad, eta β=2.83 rad, hortaz, irismen angeluarra: α=0.981 rad (56.2º)

Hegaldiaren iraupena

Hegaldiaren iraupena, posizio-bektoreak ekortutako azaleraren proportzionala da, irudian grisez margotutakoa.

Azalera horrek bi zati ezberdin ditu, eta aurreko kasuan bezala kalkulatzen dira, baina lehenik elipsearen parametro geometrikoak behar dira:

• ardatzerdi nagusia: a=9.02·10⁶ m

• distantzia fokalaren erdia: c=7.99·10⁶ m

• ardatzerdi laburra: b=4.18·10⁶ m

Lehenik, kalkulatzen da ardatz nagusiaren gainetik dagoen azalera, alegia, posizio-bektoreak ekortutako azalera θ=2.47 posiziotik θ=π posizioraino. Horretarako ezagutu behar da aurretik  z₁, inpaktuaren θ posizioaren menpekoa dena:

-R·cosθ-c=a·sin z₁

Azaleraren emaitza honakoa da: A₁=5.1786·10¹³

Bigarrenik, kalkula dezagun ardatz nagusiaren azpitik dagoen azalera, alegia, posizio-bektoreak ekortutako azalera β=2.83 rad  posiziotik β =π posizioraino. Horretarako ezagutu behar da aurretik z₁: kasu honetan ordezkatzen da azaleraren formulan θ-ren ordez β=2.83 rad eta R-ren ordez r₀:

-r₀·cosβ -c=a·sin z₁

Azaleraren emaitza honakoa da, A₂=3.6620·10¹³

Beraz, hegaldiaren iraupena hau da:

Jaurtiketaren angelua, φ>90º.

Ibilbidea

Proiektil bat jaurtitzen bada φ angeluarekin eta beste bat 180-φ angeluarekin, biek dute energia bera eta momentu angeluar berbera. Beraz, bi elipseek dituzte parametro geometriko berdinak (d eta ε eszentrikotasuna), bakarrik aldatzen da elipsearen orientazioa. Esaterako, jaurtiketaren angelua bada, 150º, irudiko orbita urdina ateratzen da, eta aldiz, 30º bada, irudiko orbita gorria ateratzen da. Bi orbitek dute energia eta momentu angeluar berbera. ε=0.886 d=1.94·106 m

Elipsearen ardatz nagusiak β angelua osatzen du X ardatzarekin, eta angelu hori kalkulatzen da ibilbidearen ekuazioan r=r₀ ordezkatuz:

e , d eta r₀  parametroak ordezkatuz, lortzen den angelua β=2.83 rad (gorria) aurreko kasuan kalkulatu den berdina. Baina horren bigarren soluzio bat ere bada β=2π-2.83=3.45 rad (urdina).

Inpaktuaren posizioa

Aurreko atalean kalkulatu dugu inpaktuaren posizioa, elipsearen ekuazioan ordezkatuz, r=R, eta horrek eman digu honako angelua: θ=2.47 rad.

Bila dezagun erlazio bat θ, α eta β angeluen artean inpaktuaren α angelua kalkulatu ahal izateko:

α+θ+β-π =π   edota,

α=2π-β-θ=0.36 rad (20.4º)

alegia, aurreko adibidean lortu den emaitza bera.

Hegaldiaren iraupena

Oraingoan, posizio-bektoreak ekortutako azalera hasierako posiziotik inpaktuaren posizioraino, bi azaleren kenketa da: Posizio bektoreak ekortutako A1 azalera θ=2.47 posiziotik θ=π posizioraino. Posizio bektoreak ekortutako A2 azalera 2π-β =2.83 posiziotik π posizioraino.

Izan ere, azalera bi horiek, A₁ eta A₂, aurreko kasuan lortutako emaitza berdina ematen dute, baina orain kenketa egin behar da.

Hortaz, hegaldiaren iraupena hau da:

Saiakuntza

Aukeran idatz daitezke:

• Jaurtiketaren h  altuera km-tan. Beraz, proiektilaren hasierako posizioa da, r₀= h·1000+6.37·10⁶ m

• Jaurtiketaren v₀ abiadura m/s-tan.

• Jaurtiketaren angelua, norabide erradialarekiko, desplazamendu barrari saguaz eragiten.

Hasi botoia sakatzen da.

Programak ez ditu onartzen 0 eta 180º angeluak, kalkuluetako izendatzaile batean "zero" bat eragiten delako eta horrek errorea ematen du.

Proiektila mugitzen ikusten da, eta programak idatziz ematen ditu uneoro, denbora, proiektilaren altuera (lurraren erradioa erreferentziatzat hartuta) eta Lurrera iristen denean, inpaktuaren posizio angeluarra.

Gerta daiteke, proiektilaren abiadura handiegia bada, orbitak ez duela Lurraren gainazala mozten, eta beraz, inpakturik ez dago eta orbitan segitzen du etengabe.

Praktikatzeko, froga bitez honako baldintzak:

• Ebatz bedi kasu konkreturen bat kalkulagailuaz, orri honetan egin diren adibideetan bezala, eta ondoren egiazta bedi emaitza hori programa interaktiboaz.

• Jaurtiketaren altuera eta abiadura finko hartuta, angelua aldatzen joan eta aurki bedi angelu bat justu irismen maximoa lortzen duena.

• Jaurtiketaren altuera finko hartuta eta 90º-ko angeluaz, aurki bedi orbita zirkularra sortzen duen abiadura.