Zeruko gorputzen dinamika

Ibilbidearen ekuazioa

Erreferentziak

Demagun misil bat lurraren gainazaletik jaurtitzen dela, bertikalki eta gorantz, eta punturik altuenean lehertu egiten dela, su artifizialetan bezala. Leherketan, misila zatitu egiten da, zatiki guztiak berdinak dira eta sakabanatuta irteten dira, denak abiadura berdinarekin.

Ondoren, zatiki guztiek mugitzen segituko dute Lurraren erakarpenaren eraginez, eta orbita eliptikoak jarraituko dituzte, euren energia totala negatiboa bada.

Deskribapena

Azter dezagun leherketan sortu den edozein zatikietako bat: bere masa m da, Lurraren zentrotik r0 distantziara dago, v0 abiadura du eta bertikalarekiko φ angelua osatzen du. Hona hemen bere energia eta momentu angeluarra:

Leherketan askatzen diren gainontzeko zatiki guztiek, denek dute energia bera, E, baina momentu angeluar ezberdinak, L.

Aurreko orri batean frogatzen da elipsearen ardatzerdi nagusia, a, energiaren menpe aldatzen dela soilik, eta momentu angeluarraren dependentziarik ez duela:

Beraz, leherketan sortzen diren zatiki guztiek, denek jarraituko dituzte a ardatzerdi bereko elipseak. Gainera, Kepler-en hirugarren legearen arabera, denek izango dute, baita ere, periodo bera. Alegia, zatiki guztiak irteten dira posizio beretik, eta posizio horretara bertara itzultzen dira denak aldi berean.

Azter ditzagun beraz, zatikiek izan ditzaketen orbita ezberdinak jaurtiketaren uneko φ angeluaren arabera.

Jaurtiketaren angelua: φ=0

Zatiki horrek duen momentu angeluarra nulua da: L=0, beraz, ibilbidea zuzena izango du eta erakarpen-zentrotik pasatzen da. Zatikia igo egingo da eta gero Lurrerantz eroriko da norabide erradialean.

Zatiki hori noraino igoko den kalkulatzeko, energiaren kontserbazioa idatz daiteke, eta goreneko r posizioan abiadura nulua duela ordezkatu: v=0.

Hortik kalkulatzen da r, altuera maximoa.

Lurraren gainazalera zein abiaduraz iristen den ere, energiaren kontserbazioaz kalkula daiteke: r=R ordezkatu (Lurraren erradioa) eta v kalkulatzen da:

Jaurtiketaren angelua: φ=180º

Zatiki hori zuzenki erortzen da Lurrera, eta gainazala jotzean daukan abiadura aurreko atalean bezala kalkulatzen da, eta izan ere, justu v bera ematen du.

Jaurtiketaren angelua: φ=90º

Zatiki horrek orbita eliptikoa jarraituko du. Elipse horren a ardatzerdi nagusia honela kalkula daiteke: 2a=r+r0. Kalkula dezagun r, Energiaren kontserbazioa eta Momentu angeluarrarena aplikatuz:

Ekuazio bi horiek ezezagun bi dituzte soilik: r eta v.

Jaurtiketaren angelua: φ orokorra

Zatiki horrek orbita eliptikoa jarraituko du. Elipse horren ardatz nagusia X ardatzarekiko inklinatuta dago, irudiak erakusten duen bezala:

Irudiak erakusten ditu bi zatiki. Zatiki bi horien abiadurek X ardatzarekin osatzen dituzten angeluak φ eta 180-φ dira. Biek dute energia bera eta momentu angeluar bera, eta orbita eliptiko biak simetrikoak dira X ardatzarekiko. (bata gorria eta bestea urdina).

Saiakuntza

Aukeran idatz daiteke:

• Leherketan sortzen den zatikiaren v₀ abiadura.

• Leherketaren r₀ posizioa, lurraren zentrotik neurtuta.

Hasi botoia sakatu.

Ez da onartzen v₀ abiadurarik ezta r₀ posiziorik honako baldintzetan:

• E energia positiboa edo nulua ematen dutenak.

• Ibilbidearen apogeoa 6 unitate baino handiagoa ematen dutenak.

• Ibilbidearen perigeoa 0.1 unitate baino txikiagoa ematen dutenak.

Baldintza horietakoren bat gertatzen bada, kurtsorea abiadura kontrolera itzultzen da, eta erabiltzaileak parametro horietako bat aldatu behar du.

Balio biak onargarriak badira, leherketa gertatu egiten da eta bost zatiki ikusten dira: X ardatzarekiko honako angeluak: 0º, 60º, 90º, 120º eta 150º. Bakoitza kolore ezberdinarekin adierazten da eta orbita guztiak erakusten dira.

Orbita guztiek dute energia bera, hortaz, elipse guztiek dute ardatzerdi nagusi bera eta horregatik, orbita osoa deskribatu ondoren, berriro aurkitzen dira zatiki guztiak leherketaren posizioan P periodoa iragan ondoren.

Adibideak

Adibide hauek ebazteko, eta kalkuluak sinplifikatzeko, hartu den unitate-sisteman, GM=1.

Demagun esaterako honako balioak:

• Posizioa, r₀=3.0

• Abiadura, v₀=0.5

Jaurtiketaren angelua: φ=0.

Zatiki horrek atzematen duen altuera maximoa:

Jaurtiketaren angelua: φ=90.

Kalkula dezagun lehenik ihes-abiadura posizio horretatik: r₀=3.0

Ondoren, kalkulatzen da abiadura eta distantzia maximoa edo minimoa erakarpen zentrora:

Hortik, elipsearen ardatz nagusia: 2a= 3.0+1.8=4.8

Jaurtiketaren angelua: φ=30.

Zatiki horren momentu angeluarra: L=0.5·3·sin30º=0.75

Eta E energia: E=0.5²/2-1/3= -0.21

Kalkula ditzagun elipsearen eszentrikotasuna, ε, eta d parametroa.

ε²=1-2·0.75²·0.21= 0.77

d=0.75²= 0.5625

Zatiki horren distantzia minimoa erakarpen-zentroarekiko, θ=0º posizio angeluarrean gertatzen da eta maximoa θ=180º posizioan:

Elipsearen ardatz nagusia 2a=r_min+r_max=4.8

Izan ere, elipsearen ardatz nagusia beste formula honen bitartez ere lor daiteke:

Eta leherketan sortu diren zatiki guztien periodoa:

Ibilbidearen ekuazioa

Aurreko orrietan frogatu denez, edozein gorputz indar zentral erakarle baten eraginpean mugitzen bada, eta indarra distantziaren karratuaren alderantziz proportzionala bada, ibilbide eliptikoa jarraituko du, bere energia negatiboa denean: E<0.

Ekuazio horretan agertzen diren bi parametroak, d eta ε (eszentrikotasuna), erlazionatuta daude partikularen L momentu angeluarrarekin eta E energiarekin.

Atal honetan aztertuko dugu, zein elipse-mota deskribatuko duen partikulak, irudiak erakusten duen bezala jaurtitzen bada, alegia, Lurraren zentrotik r₀ distantziara, v₀ abiaduraz eta bertikalarekiko φ angelua osatzen.

Erakarpen grabitatorioa kontserbakorra denez, partikularen energia (E) konstantea da bere ibilbide osoan zehar:

Eta erakarpen grabitatorioa zentrala denez, partikularen momentu angeluarra (L) konstantea da bere ibilbide osoan zehar:

L=mr₀·v₀·sinφ

Elipse baten ekuazioa koordenatu polarretan, eta elipsea θ_g angelua biratuta dagoenean honelakoa da:

r eta θ partikularen posizioaren koordenatu polarrak dira: hurrenez hurren, jatorrirainoko distantzia erradiala eta X ardatzarekiko osatzen duen angelua.

θ_g da, elipsearen ardatz nagusiak X ardatzarekiko osatzen duen angelua, eta honela kalkulatzen da: θ=0, denean r=r₀ (jaurtiketaren posizioa).

Ezagutzen badira E energia eta L momentu angeluarra, elipsearen parametro biak kalkula daitezke: d eta ε.

Defini dezagun parametro adimentsional bat:

Parametro horren menpe, d eta ε-ren adierazpenak sinplifikatzen dira:

Jaurtiketaren angelua aldatuz, 0<φ<π, elipsearen eszentrikotasuna aldatuz doa:

• φ=0 denean, eszentrikotasuna maximoa da, ε=1.

• φ=π/2 denean, eszentrikotasuna minimoa da, ε=(A-2)/A,

Kasu berezi gisa, ikus daiteke A=2, edo jaurtiketaren abiadura honakoa bada:

Orduan elipsearen eszentrikotasuna nulua da, ε=0, alegia, zirkunferentzia dela, r₀ erradioduna.

Elipsearen ekuazioa, elipsea θ_g angelua biratuta dagoenean honela berridatz daiteke:

Eta sinplifikatuz honako adierazpena lortzen da:

Elipseen inguratzailea

Jaurtiketaren φ angelua aldatuz, ibilbide eliptiko ezberdinak lortzen dira. Elipse guzti horien inguratzailea kalkulatzen da ekuazioa φ-rekiko deribatuz eta nulua dela inposatuz.

Sinplifikatuz honako adierazpena lortzen da:

Adierazpen hori elipsearen ekuazioan ordezkatuz, eta honako erlazio trigonometrikoa kontutan hartuz:

Eta zenbait sinplifikazio burutu ondoren, honakoa lortzen da:

eta r bakanduz, berriz ere elipse baten ekuazioa lortzen da:

 Horixe da elipse guztien kurba inguratzailea, beste elipse bat.

Saiakuntza

Aukeran idatz daiteke:

• A parametroa, desplazamendu-barrari saguaz eragiten.

Irudia botoia sakatu.

Programak bost partikulen orbitak irudikatzen ditu, X=1 posiziotik jaurtitakoak honako angeluekin: φ=30º, 60º, 90º, 120º, 150º. Elipse guztiak kolore ezberdinez marrazten dira eta inguratzailea beltzez.