Dinamika

Lana eta energia

Lana eta energia

Pendulu sinplea

Malguki elastikoa (I)

Malguki elastikoa (II)

Malguki elastikoa (III)

Partikula bat, goma 
baten muturrean

Lana eta energia
(pista kiribila)

Pendulu konikoa

Oreka eta
egonkortasuna (I)

Oreka eta
egonkortasuna (II)

Oreka eta
egonkortasuna (III)

Oreka eta
egonkortasuna (IV)

Zikloide baten
gainetik irristatzen (I)

Esferaerdi baten
gainetik irristatzen

Esferaerdi baten
barrutik irristatzen

Eskiatzaile bi lehian

Zikloide baten
gainetik irristatzen (II)

Parabola baten
gainetik irristatzen

Erreferentzia-sistema ez inertziala

Soluzioen egonkortasuna

Antzeko dispositiboa

Saiakuntza

Erreferentzia

Orri honetan higidura zirkular eta uniformearen kasu tipiko bat aztertuko da: pendulu konikoa. Izan ere, ohiko ikuspegi ezberdin bi erabiliko dira, behatzaile inertziala eta behatzaile ez inertziala. Bestelako ikuspegi berritzaile bat ere aipatuko da: energia potentzial totalarena, baina alde batetik, pisuari dagokion energia potentziala eta bestetik kontserbakortzat hartuko den indar zentrifugoarena.

Demagun m masadun partikula bat l luzeradun hagatxo batean eskegita (ikusi irudia). Hagatxoaren masa arbuiagarria da eta goiko muturrean artikulatuta dago. Demagun orain, motore batek hagatxoa birarazi egiten duela ardatz bertikalaren inguruan. Gainera, hagatxoa bertikalarekiko q  angelua desbideratzen dugu, eta motorearen abiadura angeluarrak w_c balio minimo bat gainditzen du. Orduan, partikulak zirkunferentzia horizontal bat deskribatzen du, l·sinq  erradioduna. Sistema horri pendulu koniko deritzo.

Erreferentzia-sistema inertziala

Har dezagun lehen lehenik kasurik sinpleena: hagatxoaren ordez eskegi dezagun hari bat, masarik gabekoa eta luzaezina.

Irudiak erakusten duen bezala, partikulak ibilbide zirkularra jarraitzen duenean, bi indar jasaten ditu:

• Pisua: mg
• Hariaren tentsioa: T

Hariaren T tentsioa bi osagaitan deskonposatuko dugu:

• Osagai bertikala, T·cosq  pisuarekin orekatuko dena.

T·cosq =mg

• Osagai horizontala, T·sinq, partikulari higidura zirkular eta uniformea eginarazten diona, plano horizontalean. Higidura horren azelerazioa, azelerazio normala da: a_n=w ²·l·sinq , norabide erradialean eta zirkuluaren zentrorantz. Newton-en bigarren legea aplikatuz:

T·sinq =mw ²·l·sinq

Lehenengo ekuaziotik T bakanduz, eta bigarrenean ordezkatuz, soluzio posible bi ematen ditu:

sinq =0
w ²·l·cosq =g

Soluzio bi horietatik bigarrena aukeratzen bada:

Baina cosq £ 1, izan behar da nahitaez, eta horretarako w²³ g/l. Hau da, baldintza hori betetzen ez bada pendulua ez da posizio bertikaletik aldenduko.

Erreferentzia-sistema ez inertziala

Pendulu konikoa, motoreak eraginda, w abiadura angeluarraz biratzen ari da. Hagatxoa, l luzeraduna da eta bere goiko O muturrean artikulatuta dago. Hagatxoarekin batera biratzen ari den erreferentzia sistema birakorraren ikuspegitik hagatxoak askatasun-gradu bat baino ez du: izan ere q angelua.

Partikulak jasaten duen indar zentrifugoaren eraginez, hagatxoa posizio bertikaletik aldenduko da, q  angelua, baina horretarako motoreak eragiten dion w abiadura angeluarrak minimo bat gainditu behar du. Biraka ari den erreferentzia-sistemaren ikuspegitik hagatxoa orekan egongo da pisuaren eta indar zentrifugoaren  momentu totala nulua bada O puntuarekiko.

• Hona hemen pisuaren momentua:

mg·l·sinq

• Eta indar zentrifugoaren momentua:

mw ²·l·sinq ·l·cosq

Bi momentuek dute norabide bera (indarrek eta O puntuak osatzen duten planoarekiko perpendikularra), baina aurkako noranzkoak. Oreka egoerarako, momentu totala nulua izan behar denez:

ml·sinq (w²l·cosq -g)=0

Berriz ere, soluzio bi ditugu:

sinq =0
w ²·l·cosq =g

Sistema inertzialean lortu den emaitza bera.

Soluzioen egonkortasuna

Pisua indar kontserbakorra da. Partikularen energia potentziala handitzen da penduluaren q  angelua handitzen denean: Eg= mg(l-l·cosq )

Indar zentrifugoa errotazio ardatzerainoko x distantziaren menpekoa da. Indar-mota hori malguki elastiko batek egiten duenaren antzekoa da.

Malguki elastiko batek egiten duen indarra, F= -kx, desplazamenduaren aurkakoa da, eta dagokion energia potentziala: E_p=kx²/2

Indar zentrifugoak ordea, desplazamenduaren noranzko bera du: F=mw ²·x

Eta beraz, dagokion energia potentziala negatiboa da: E_c= - m w ²x²/2. Energia potentzial mota horren jatorria, E_c=0, hasierako posizioan hartzen da, alegia, x=0 denean.

Pendulua q  angelua desbideratu denean, desplazamendu horizontala hau da: x= l·sinq . Beraz, energia potentzial totala bien batura izango da, grabitatorioa eta zentrifugoa: E_p=E_g+E_c.

Oreka-posizioak existitzeko, E_p energia potentzialak mutur bat izan behar du (maximo edo minimoa):

Eta baldintza horrek ere soluzio bi ematen ditu:

Oreka posizioa egonkorra edo ezegonkorra den bereizteko bigarren deribatua kalkulatu behar da:

1. Lehen soluziorako: q =0

• Baldin w ²<g/l  bada, bigarren deribatua positiboa da, eta beraz oreka egonkorra. Ikusi ezkerreko irudia.
• Eta w ²>g/l  bada, bigarren deribatua negatiboa da, eta beraz oreka ezegonkorra. Ikusi eskumako irudia.

2. q =p soluziorako, bigarren deribatua beti da negatiboa eta beraz, oreka ezegonkorra (irudi biak).

3. q =arccos(g/l w ²) soluzioa:

• Baldin w ²>g/l, soluzioa egonkorra da. Eskumako irudia.

Hortaz, pendulu konikoaren jokabidea abiadura angeluar kritiko baten araberakoa da:

Abiadura angeluar horren gainetik pendulu konikoa bertikaletik aldenduko da honako angelura: q =arccos(g/l w ²), baina abiadura angeluarrak ez badu balio kritiko hori gainditzen posizio bertikalean mantenduko da: q =0.

Antzeko dispositiboa

Demagun R erradiodun eraztun bat, bere diametro bertikal baten inguruan bira dezakeena w abiadura angeluarraz. Partikula bat eraztunean sartuta dago eta eraztunaren zirkunferentzia osoan zehar irrista dezake marruskadurarik gabe. Partikularen posizioa q  angeluaz adierazten da, irudiak erakusten duen bezala:

Eraztunarekin batera biraka ari den erreferentzia sistemaren ikuspegitik, partikulak jasaten dituen indarrak hiru dira:

• Pisua: mg
• Indar zentrifugoa: F_c=mw²Rsinq 
• Eraztunaren N erreakzioa.

Indarrak deskonposa daitezke bi norabidetan: bertikala eta horizontala. Oreka posizioan honako baldintzak bete behar dira:

N·cosq =mg
N·sinq =F_c

Ekuazio bi horiek orri honen hasieran lortutakoen berdinak dira.

Bestalde, indarrak deskonposatzen badira osagai erradial eta tangentzialetan, oreka-egoeran honako baldintza lortzen da:

mg·sinq =F_c·cosq  

Partikula orekan dago norabide normalean, eraztunaren erreakzioagatik, eta norabide tangentzialean ordea, orekarik ez badu indar totala hau izango da:

F= -mg·sinq +F_c·cosq  = -mg·sinq +mw ²·R·sinq ·cosq

Indar hori q  posizio angeluarraren menpekoa da soilik eta kontserbakorra da. F(q ) indarrari dagokion energia potentziala:

Energia potentzialaren jatorria E_p(0)=0 ezartzen bada q=0  posizioan, integratuz eta zenbait sinplifikazio eginda, adierazpen hau lortzen da:

Adierazpen hau bera lortu da "soluzioen egonkortasuna" atalean.

Saiakuntza

Pendulu koniko baten jokabidea aztertuko da, eta programa interaktiboak luzera finkoa ezarri dio:  l=1 m.

Motorearen w abiadura angeluarra aukeran alda daiteke, dagokion laukian idatziz.

Hasi botoia sakatu.

• Abiadura angeluarrak ez badu balio kritikoa gainditzen, rad/s, biratu bai, baina pendulua bertikal mantentzen da: q =0.
   
• Abiadura angeluarrak balio kritikoa gainditzen badu, pendulua bertikaletik aldentzen da, honako erlazioak emandako angelura:

Applet-aren eskumako aldean E_p energia potentziala adierazten da q  angeluaren menpe (mgl unitateetan). Grafika horretan energia potentzialaren maximo eta minimoak ikus daitezke, alegia oreka posizio egonkorrak eta ezegonkorrak.

Bektoreak laukia aktibatuz indarrak erakusten dira (urdinez):

• Pisua
• Hariaren tentsioa

Gezi gorri batek azelerazio normala erakusten du, ibilbide zirkularraren zentrorantz.