Dinamika

Lana eta energia

Lana eta energia

Pendulu sinplea

Malguki elastikoa (I)

Malguki elastikoa (II)

Malguki elastikoa (III)

Partikula bat, goma 
baten muturrean

Lana eta energia
(pista kiribila)

Pendulu konikoa

Oreka eta
egonkortasuna (I)

Oreka eta
egonkortasuna (II)

Oreka eta
egonkortasuna (III)

Oreka eta
egonkortasuna (IV)

Zikloide baten
gainetik irristatzen (I)

Esferaerdi baten
gainetik irristatzen

Esferaerdi baten
barrutik irristatzen

Eskiatzaile bi lehian

Zikloide baten
gainetik irristatzen (II)

Parabola baten
gainetik irristatzen

Adibideak

Saiakuntza

Partikularen jaurtiketa malgukiarekin

Ibilbide zirkularretik parabolikora

Erreferentzia

Orri honetan aztertzen den kasuak partikula baten dinamikaren zenbait atal ezberdin biltzen ditu:

Lehenik malguki bat zapaldu eta partikula jaurti egiten da. Partikulak irrist egiten du plano horizontalean zehar eta pista kiribilean gora abiatzen da. Partikulak pista kiribila erori gabe osatzea lortzen badu, azkenean aldapa batean gora irrist egiten du gelditzen den arte.

Partikulak gainazal horizontalean eta aldapan irristatzen duenean badu marruskadurarik, baina pista kiribilean ez, bestela kalkuluak asko konplikatzen dira.

Oinarri Fisikoak

Partikularen bidaia osoaren atalak banan banan aztertuko ditugu.

1. Plano horizontala A-B

Malgukia x distantzia zapaltzen da, A posizioraino, ondoren askatu egiten da eta partikula pista kiribilerantz abiatzen da. Energiaren balantzearen ekuazioak aplikatuz, partikularen abiadura kalkula dezakegu B posizioraino iristen denean.

A posizioan partikulak energia potentzial elastikoa du soilik:

Hemen k malgukiaren konstante elastikoa da, eta energia hori B posiziora iristean energia zinetiko bilakatuko da.

AB bidean energia galtzen da marruskaduraren eraginez:

W_AB= -F_r(x+0.7)= -m_kmg(x+0.7)

Hemen x+0.7 da A eta B puntuen arteko distantzia.

Energiaren balantzearen ekuaziotik, W_AB=E_B-E_A, kalkula daiteke v_B

Ondorengo atal batean, alegia "Partikularen jaurtiketa malgukiarekin" atalean, higidura hori zehazkiago aztertuko da.

• Pista kiribila

Partikulak pistan zehar duen higidura pixka bat konplexuagoa da, zenbait egoera ezberdin gerta daitezkeelako:

1. Partikulak pista kiribila erori gabe osatzea lortzen du

Partikulak pistaren goreneko C punturaino iristean duen abiadura kalkula daiteke energiaren kontserbazioa aplikatuz (pistan zehar ez dago marruskadurarik), baina beherengo B puntuko abiadura ezagutu behar da. Hemen R pistaren erradioa da.

Baina C posizioko abiadura, minimo bat baino txikiagoa bada, partikula erori egingo da eta ez du pista osatzea lortuko.

Higidura zirkularraren dinamikaren ekuazioetatik honako erlazioa betetzen da:

Hemen, N_C , pistak partikulari C puntuan eragiten dion erantzun normala da. Abiadura minimoa lortzeko baldintza hau bete behar da: N_C=0.

Orduan:   .

Eta:

Eta partikulak, v_Cmin , abiadura minimo hori atzematen ez badu, zer gertatzen zaio?

2. Pistan gora igotzen da bere abiadura anulatzen den arte

Energiaren kontserbazioaren printzipioa aplikatuz, partikula noraino igotzen den  kalkula daiteke, alegia zein q  angeluraino:

3. Angelua 90º baino handiagoa bada
   Berriz ere, higidura zirkularraren dinamika eta energiaren kontserbazioa aplikatuz q  angelua kalkula daiteke.

Partikulak pistarekin kontaktua mantentzen du indar normala anulatzen den arte, alegia N=0. Hortaz,



Une horretatik aurrera partikulak jasaten duen indar bakarra pisua da, eta higidura kurboa deskribatuko du grabitatearen azelerazio konstantearen eraginpean, edo tiro parabolikoa.

Ardatz koordenatuak pistaren zentroan kokatzen baditugu, aurreko irudian erakusten den bezala, partikularen hegaldiaren hasierako posizioa honakoa da:

x₀=R·sin(180-q )
y₀=R·cos(180-q )

Eta hegaldiaren hasierako abiaduraren osagaiak: v0x= -v·cos(180-q ) v0y= v·sin(180-q )

Ondorengo atal batean, alegia "ibilbide zirkularretik parabolikora" atalean, erorketa hori zehazkiago aztertuko da.

Aipatu diren 1 eta 2 kasuetan, partikula berriro B posizioraino iristen da, eta bertatik pasatzean joaneko abiadura bera dauka (1-ean pista osatu ondoren eta 2-an atzeraka), pistak ez duelako marruskadurarik.

• Malda inklinatua

Partikulak pista kiribila osatzea lortzen badu, D posizioraino iristen da eta gero maldan gora abiatzen da. D posizioko v_D abiadura kalkulatzeko energiaren kontserbazioaren printzipioa aplikatzen da:

Malda inklinatura iristean partikularen abiadura moteltzen hasten da, alde batetik pisuaren osagai bat aurka jartzen zaiolako eta bestetik marruskadurak ere eragiten diolako. Partikulak x distantzia ibili ondoren guztiz gelditzen da.

Energiaren balantzea eta higidura zuzenaren dinamikaren ekuazioen bitartez x distantzia kalkulatzen da:

Energiaren balantzea aplikatuz, WDE=EE -ED x lor daiteke.

Adibideak

• Malgukiaren konstantea, k=500 N/m

• Pistaren erradioa, R=0.5 m

• Marruskadura koefizientea, μ=0.2

• Partikularen masa, m=1 kg

Azter dezagun gerta daitezkeen kasu ezberdinak, malgukia zapaltzen dugun x distantziaren arabera:

1 adibidea

Malgukia konprimatzen da x=0.24 m.

Jaurti ondoren, partikula B posizioraino iristen da honako abiaduraz:

B posizioan pista kiribila hasten da eta punturik gorenera, C-ra, iristen da honako abiaduraz:

Abiadura horrekin abiadura minimoa gainditzen du, beraz ez da erortzen: =2.21m/s.

Pista kiribilari jarraituz B posiziora iristen da, goranzkoan zeukan abiadura berdinaz: v_B=5.01 m/s eta abiadura angeluarra ω=10.02 rad/s. Gero, D puntura iristen da eta maldan gora abiatzen da:

Gero, maldan gora, 30º-ko inklinazioaz, abiadura motelduz doa, erabat gelditzen den arte:

2 adibidea:

Malgukia zapaldu x=0.2 m (1 adibidean baino gutxixeago).

B punturaino iristen da honako abiaduraz:

Partikula pistan gora abiatzen da, bere abiadura anulatu arte edota pistaren N erreakzioa desagertu arte, bietatik lehenengo gertatzen dena. Honakoan bigarrena gertatzen da, alegia 90º baino gehiago igotzen dela:

Posizio horretan partikularen v abiadura hau da:

Eta hortik aurrera, partikula pistatik erori egiten da ibilbide parabolikoaz, zoruaren kontra jo arte.

3 adibidea

Malgukia zapaldu: x=0.1 m (aurreko bi kasuak baino gutxiago).

Pista kiribilera iristen da, alegia B posiziora, honako abiaduraz:

Eta partikula pistan gora abiatzen da, baina bere abiadura anulatzen da 90°-raino iritsi baino lehen:

Beraz, atzera egiten du pistaren gainetik eta B posizioraino iristen da berriro, lehengo abiadura berdinaz, marruskadurarik ez duelako. Gero, atzeraka jarraituz, A posizioraino irits daiteke, edo ez, marruskadurak lehenago geldiarazten badu.

Abiadura irudikari horrek adierazten du, kasu honetan partikula ez dela A posizioraino iristen, alegia lehenago gelditzen dela:

Hau da, partikula irristatzen joan da 47 cm atzeraka, B-tik neurtuta, eta gelditu egin da, alegia A-tik neurtuz gero: 70-47=23 cm.

Saiakuntza

Esperimentua abiatzeko Berria botoia sakatu behar da.

Hasteko, saguaren ezkerreko botoia sakatuz, eraman laukitxo gorria (partikula) ezkerrerantz malgukia zapalduz. Malgukia zenbat zapaldu nahi den aukera daiteke, alegia x distantzia. Ondoren, saguaren ezkerreko botoia askatu eta partikula askatzen da, malgukiak bultzatuta eta pista kiribilerantz abiatuta.

Gelditu botoia sakatuz partikula gelditzen da eta bere higiduraren parametroak zehaztasunez beha daitezke, hots posizioa eta abiadura. Botoi bera sakatuz, orain jarraitu izena du, partikulak bere mugimendua bertatik jarraitzen du. Pausoka botoiaz partikula pausoka mugitzen da zehaztasuna ondo behatzeko.

Honako parametroak alda daitezke:

• Malgukiaren konstante elastikoaren balioa: k (N/m-tan).
• Marruskadura koefizientea, pistaren gainazal zuzenetan, alegia hasierako tarte horizontalean eta amaierako malda inklinatuan, 0 eta 0.7 bitartean. Gogoan izan, pista zirkularrean ez dagoela marruskadurarik.
• Pistaren erradioa metrotan eta 0.2-tik 0.5-erainoko tartean.
• Partikularen masa finkotzat hartu da m=1 kg

Programa oso erabilgarria da eta egoera guztiak praktikatzeko aukera ematen du:

• Higidura zuzen eta uniformeki azeleratuaren dinamika (malda inklinatuan)
• Higidura zirkularraren dinamika (pista kiribila)
• Energiaren kontserbazioa (pista kiribila)
• Energiaren balantzea indar ez kontserbakorrak daudenean, alegia marruskadura (plano horizontala eta malda)

Applet-aren ezkerreko aldean eta kualitatiboki energiaren balantzea adierazten da. Zirkulu handiena energia totala da eta koloretan adierazten diren zatiak energia mota ezberdinak:

• Gorriz, marruskadurak barreiatutako energia osoa, plano horizontalean zein malda inklinatuan, eta pista jarraitzea lortzen ez den kasuan, zoruaren kontra talka egiten duenean.
• Urdinez, energia potentziala (grabitatorioa eta malgukiaren elastikoa)
• Horiz, energia zinetikoa

Partikularen jaurtiketa malgukiarekin

1. Malgukia zapaltzen da, x₀ posizioraino, eta askatu egiten da

Partikula mugitzen ari denean indar bi jasaten ditu:

• Malgukiak egindako indarra:  kx

• Marruskadurak mugimenduaren aurka egindako indarra: μmg

Malgukia x₀-raino zaplatzen bada eta malgukiaren indarra marruskadura baino handiagoa bada, alegia  kx₀> μmg bada, orduan partikula mugitzen hasiko da, bestela geldi geratuko da.

Higiduraren ekuazioa hau da:

Ekuazio diferentzial horren soluzioa hau da:

x=Asin(ωt)+Bcos(ωt)+μg/ω²

A eta B konstanteak hasierako baldintzen araberakoak dira: t=0, x=x₀ eta dx/dt=0

Kasu bi gerta daitezke:

1.-Partikula jatorriraino iritsi baino lehen gelditzea (x<0).

2.-Partikula jatorriraino iristea v abiaduraz.

Partikula lehenago gelditzen bada, honako aldiunean gertatuko da: t=π/ω, eta posizio honetan:

Beraz jatorria gainditzeko baldintza hau bete behar da: x₀>2μg/ω²

Energiaren ikuspegitik ere konklusio bera ateratzen da. Malgukiak metatutako energia osoa marruskadura indarrak egindako lana gainditzen badu, orduan partikula jatorriraino iritsiko da, bestela ez.

Eta jatorrira iristean partikulak duen abiadura hau da:

Emaitza hori bera lortzen da energiaren balantzea aplikatuz: marruskadura indarrak egindako lana da, amaierako energia eta hasierako energiaren arteko aldea (edo diferentzia).

2. Partikula jatorrira itzultzen da eta malgukia zapaltzen du.

Pista kiribilean ibili ondoren, posiblea da partikula berriz itzultzea, v_o abiaduraz, eta malgukiaren kontra jo eta zapaltzea.

higiduraren ekuazioa hau da:

Eta ekuazio diferentzial horren soluzioa hau da:

x=Asin(ωt)+Bcos(ωt)-μg/ω²

A eta B konstanteak hasierako baldintzen araberakoak dira: t=0, x=0 eta dx/dt=v₀

Partikula gelditu egiten da (v=0) baldintza hau betetzen duen t aldiunean:

Eta erlazio trigonometrikoak erabiliz:

Honako adierazpen hau lortzen da partikula non gelditzen den kalkulatzeko:

Energiaren balantzea aplikatuz ere emaitza bera lortzen da:  marruskadura indarrak egindako lana da, amaierako energia eta hasierako energiaren arteko aldea (edo diferentzia).

Ibilbide zirkularretik parabolikora

1. Partikulak pista osoa jarraitzea lortzen du, bere abiadurak punturik baxuenean minimo bat gainditzen badu:

2. Partikula atzeraka bueltatzen da beste minimo hau gainditzen ez badu:

3. Orduan, partikularen v₀ abiadura aurreko bi muga horien tartekoa bada, 90º gaindituko ditu baina ez da goreneko punturaino iritsiko. Beraz pista zirkularraren tokiren batean erori egingo da, hortik aurrera erorketa parabolikoa deskribatuko du eta pistaren beraren kontra joko du. Azkenean, pistan zehar irristatzen segituko du, irudiak erakusten duen bezala:

Ibilbide konplexu hori aztertzeko ardatz koordenatuak pista zirkularraren zentroan kokatuko ditugu. Posizio-angeluak X ardatzarekiko neurtuko ditugu eta energia potentzialaren jatorria ere X ardatzean bertan kokatuko dugu.

Partikulak pista ukitzeari uzten dionean N erreakzioa nulua da, eta hori gertatzen den posizio angeluarra θ₁.

Idatz bitez higidura zirkularraren dinamikaren ekuazioa eta energiaren kontserbazioaren printzipioa:

Ekuazio bi horiek konbinatuz θ₁ angelua kalkula daiteke:

Eta pistatik askatzen den unetik aurrera (dei diezaiogun P₁ posizioa) partikulak higidura parabolikoa jarraitzen du. Hona hemen bere abiadura eta posizioa:

Airean egindako ibilbidearen ondoren, berriz ere pistaren kontra talka egiten du, izan ere, parabolak pista zirkularra ebakitzen duen P₂ puntuan. Ebakidura-puntua kalkulatzeko zirkuluaren ekuazioa idatzi behar da (pistak R erradioa du eta zentroa koordenatuen jatorrian):

x²+y²=R²

Higidura zirkularraren dinamika kontutan hartuz:

eta sinplifikazioak eginez, ondoko adierazpenera iristen gara:

Hona hemen partikulak hegan ematen duen denbora pistarekin berriro jo arte:

Eta hona hemen  inpaktuaren posizioa (P₂) eta partikularen abiadura:

Talkaren eraginez, suposatuko dugu partikularen abiaduraren osagai normala ezabatu egiten dela eta partikulari osagai tangentziala baino ez zaiola geratzen.

Abiaduraren osagai normala kalkulatzeko biderketa eskalar hau egin daiteke: r₂·v₂

P₂ posizio bektorearen modulua, r₂-rena alegia, izan ere, zirkunferentziaren R erradioa da:

Eta beraz, partikularen energia talkaren ondoren:

Inpaktuaren ondoren, partikularen energia txikiagoa da askatu den tokiko energia baino.

Ondorengo irudiak zenbait ibilbide paraboliko posible erakusten ditu.