Dinamika

Lana eta energia

Lana eta energia

Pendulu sinplea

Malguki elastikoa (I)

Malguki elastikoa (II)

Malguki elastikoa (III)

Partikula bat, goma 
baten muturrean

Lana eta energia
(pista kiribila)

Pendulu konikoa

Oreka eta
egonkortasuna (I)

Oreka eta
egonkortasuna (II)

Oreka eta
egonkortasuna (III)

Oreka eta
egonkortasuna (IV)

Zikloide baten
gainetik irristatzen (I)

Esferaerdi baten
gainetik irristatzen

Esferaerdi baten
barrutik irristatzen

Eskiatzaile bi lehian

Zikloide baten
gainetik irristatzen (II)

Parabola baten
gainetik irristatzen

Oreka posizioak

Saiakuntza

Erreferentzia

Aurreko orrian pendulu konikoa aztertu da, eta bertan ikusi da abiadura angeluar minimo bat gainditzen denean, ω_c , pendulua posizio bertikaletik aldendu egiten dela q angelu jakin batera, baina abiadura angeluar minimo hori gainditzen ez bada pendulua posizio bertikalean mantentzen da, q =0.

Horren antzeko dispositibo bat R erradiodun eraztun bat da, diametro bertikalaren inguruan bira dezakeena w abiadura angeluarraz. Partikula bat, m masaduna,  eraztunean sartuta  dago eta eraztunaren zirkunferentzia osoan zehar irrista dezake marruskadurarik gabe.

Aipatutako sistema biak antzeko moduan deskriba daitezke, alegia, energia potentzial baliokide bat partikularen pisua eta indar zentrifugoa biltzen dituena.

Oraingo honetan aztertuko dugun sistema ere R erradiodun eraztun bat da, partikula bat du sartuta eta marruskadurarik gabe mugi daiteke perimetro osoan zehar, baina eraztunak ez du biratzen. Horren ordez, partikula malguki baten muturrean lotuta dago eta malgukia irudiak erakusten duen posizioan.

Energia potentziala

Partikularen energia potentziala bi terminoz osatzen da:

• Energia potentzial grabitatorioa, mg(R-R·cosθ)

• Energia potentzial elastikoa, malgukiaren deformazioaren eraginez.

Hona hemen malgukiaren l  luzera:

Izan ere, malgukiaren luzera naturala (deformaziorik gabea) R/2 da, eta beraz energia potentzial totala, indar kontserbakor biak kontutan hartuta, hau da:

Oreka posizioak

Partikulak jasaten duen indar tangentziala hau da:

Eta oreka posizioak lortzeko honako baldintza bete behar da: F(θ)=0

Ekuazio horren soluzioak hiru dira:

θ=0, θ=π eta ondoko ekuazio transzendentearen θ₀ soluzioa:

Egonkortasuna

Kalkula dezagun energia potentzialaren bigarren deribatua:

Baldin θ=0 Bigarren deribatua positiboa izango da (oreka egonkorra) baldintza hauetan soilik:

• Baldin θ=π

Bigarren deribatua beti da negatiboa, beraz oreka-posizio hori ezegonkorra da.

• Baldin θ= θ₀

Deribatu hori positiboa izateko: k>2mg/R

Baina azter dezagun zehazkiago θ₀ soluzioa ematen duen ekuazioa:

• Ezkerreko terminoaren balio minimoa 1/3 da, eta balio maximoa 1.

• Eskumako terminoaren balio minimoa lortzeko k=3mg/R, eta maximoa lortzeko k→∞.

Hortaz, malgukiaren k konstante elastikoak balio kritiko hori gainditzen ez badu (k_c=3mg/R) oreka posizio egonkor bakarra θ=0 da, baina malgukiaren konstanteak balio kritikoa gainditzen duenean (k>k_c) oreka posizio egonkor bakarra ekuazio transzendentearen soluzioa da, alegia θ₀.

Saiakuntza

Programa interaktiboak honako parametroak finkotzat hartu ditu:

• Partikularen masa: m=0.1 kg

• Zirkunferentziaren erradioa: R=0.5 m

• Grabitatearen azelerazioa: g=10 m/s²

Datu horiekin konstante elastikoaren balio kritikoa honakoa da:  k_c=3mg/R= 6 N/m

Aukeran alda daitekeen datua:

• Malguki elastikoaren k konstantea, dagokion desplazamendu-barrari eragiten.

Kalkulatu botoia sakatu.

• Baldin k<6 oreka egonkorreko posizio bakarra hau da: θ=0

• Baldin k>6, programa interaktiboak oreka-posizioa kalkulatzen du, alegia ekuazio transzendentearen θ₀ soluzioa.

Applet-aren eskumako aldean energia potentzialaren grafikoa erakusten da, E_p(θ), eta bertan maximo eta minimoak beha daitezke.