Dinamika

Lana eta energia

Lana eta energia

Pendulu sinplea

Malguki elastikoa (I)

Malguki elastikoa (II)

Malguki elastikoa (III)

Partikula bat, goma
baten muturrean

Lana eta energia
(pista kiribila)

Pendulu konikoa

Oreka eta
egonkortasuna (I)

Oreka eta
egonkortasuna (II)

Oreka eta
egonkortasuna (III)

Oreka eta
egonkortasuna (IV)

Zikloide baten
gainetik irristatzen (I)

Esferaerdi baten
gainetik irristatzen

Esferaerdi baten
barrutik irristatzen

Eskiatzaile bi lehian

Zikloide baten
gainetik irristatzen (II)

Parabola baten
gainetik irristatzen

Oszilazioak

Kasu orokorra

Adibideak

Saiakuntza

Erreferentzia

Aurreko ataletan aztertu da partikula baten dinamika malguki elastiko batean lotuta. Honako honetan partikula baten dinamika aztertuko dugu, baina goma baten muturrean lotuta. Egoera fisikoa antzekoa da, baina portaera-mota ezberdin gehiago dauzka.

Goma elastiko batek egindako indarra

Demagun goma bat, d luzeraduna, eta goiko muturretik finkatuta dagoena. Beheko muturrean, m masadun gorputz bat eskegitzen da. Gomak duen portaera ez da malguki elastiko batek duen portaera bera.

Baldin x<0,  gomak ez dio inolako indarrik eragiten  m masadun gorputzari: F=0 Eta x>0 bada, gomak egiten duen indarra F= -k·x formakoa da; portaera lineala duela suposatuko dugu (Hooke-ren legea).

Gorputza eskuan eutsita, eta apurka jaisten badugu, iritsiko da egoera bat gomaren indarrak gorputzaren pisua orekatzen duena eta beraz eskua kenduta ere, orekan jarraituko duena: oreka-posizio horretan gomaren luzapena x_e da.

mg=kx_e

Bestalde, gorputza erortzen uzten bada, esaterako gomaren goiko muturraren altueratik (x= -d), bere abiadura kalkula dezakegu goma x distantzia luzatu denean, energiaren kontserbazioaren printzipioa aplikatuz:

Gomaren deformazio maximoa (x_m) atzematen da gorputzaren abiadura anulatzen denean, v=0:

Beste egoera ezberdina sortzen da goma luzatu eta askatzen denean. Ondoren aztertuko ditugu egoera horretako higidura-motaren atal ezberdinak eta portaera-mota ezberdinak, ez baitira malgukiaren higiduraren berdinak.

Oszilazioak

Malguki baten muturrean lotuta dagoen m masa batek Higidura Harmoniko Sinplea deskribatzen du, bere maiztasun angeluarra honakoa da: ω²=k/m ; higidura horren anplitudea ez dago periodoarekin erlazionatuta.

Gomaren kasuan, demagun m masadun gorputza beherantz desplazatu dugula (oreka posizioarekiko z_o luzera) eta gero askatu egiten dela (v=0), irudiak erakusten duen bezala.

Gorputza gorantz igoko da honako indarraren eraginez:  -kx+mg. Hona hemen higiduraren ekuazioa:

Ekuazio diferentzial horren soluzioa hau da (ekuazioan ordezkatuta soluzioa dela egiazta daiteke):

x=x_e +Asin(ωt)+Bcos(ωt)   eta ω²=k/m

Hemen x_e=mg/k , oreka-posizioa da eta A eta B konstanteak hasierako baldintzetatik kalkulatzen dira: t=0, x=z₀, v=dx/dt=0

Beraz, gorputzaren x posizioa t denboraren menpe idatzita:

x=x_e+z₀·cos(ωt) 

Baina kasu bi gerta daitezke:

• Lehena z₀≤x_e

Gorputzak Higidura harmoniko sinplea deskribatzen du, z₀ anplitudeaz eta 2π/ω periodoaz. Izan ere, periodoak eta anplitudeak ez dute erlaziorik.

• Bigarrena z₀>x_e

Gorputza oreka posiziora iristen denean, x=0, iragandako denborari dei diezaiogun t=P (ez da periodoa):

Bere abiadura:

Eta une horretatik aurrera gomak ez dio gorputzari inolako indarrik eragiten, beraz pisua da geratzen den indar bakarra. Atzematen duen altuera maximoa hau da:

Eta goraino igotzeko tardatzen duen denbora Q=v₀/g

Gero gorputza beherantz abiatzen da, eta oreka-posizioraino iristen da (x=0), t=P+2Q aldiunean, gomaren indarra berriro suspertzen da eta hasierako posiziora iristeko behar duen denbora: t= 2P+2Q . Horrela zikloa osatzen du. Higidura horren periodoa hau da:

 

Oszilazioen anplitudea

Energiaren kontserbazioaren printzipioa aplikatuz, z₁ kalkula daiteke:

Eta z₁ ezagututa oszilazioaren anplitude osoa kalkula daiteke: (z₁+x_e+z₀)/2

Adibidea:

Esaterako, k=400 N/m eta m=350 kg.

Oreka posizioa: (x_e)

Demagun abiatzeko posizioa, t=0 aldiunean: z₀ =12.65 m (bigarren kasua) oreka posizioa baino beherago.

Energiaren kontserbazioaren printzipioa erabiliz kalkula daiteke: z₁=7.21 m, gorputza zein altueraraino iritsiko den x<0 eskualdean.

Maiztasun angeluarra kalkulatzen bada, hona emaitza: ω=1.15 rad/s, eta oszilazioen periodoa 6.22 s , eta ikusten denez, periodoa ez da 2π/ω, gorputza x<0 eskualdean mugitu delako eta hor F=0, alegia, gomak indarrik egiten ez duen eskualdean.

Kasu Orokorra

Demagun goma elastikoa, d luzeraduna eta k konstanteduna, deformatu gabe dagoela (irudiko ezkerrekoa). Bere muturretako bat habe horizontal batean lotzen da, h altueran, irudiak adierazten duen bezala. Mutur askean m masadun gorputz bat eskegitzen da eta lurreraino luzatzen da (irudian erdikoa). Higidura hori deskribatzeko x ardatz bertikala aukeratzen dugu eta jatorria lurrean. (eskumako irudiak adierazten du).

Gorputza bat batean askatzen bada, bere higidurak zenbait atal ezberdin ditu oszilazio bat osatzen duen arte. Goma erabat elastikoa dela suposatuko dugu eta airearen marruskadura arbuiatuko dugu.

Hasierako egoera Gorputza x=0 posizioan eutsita dago eta gomaren luzapena h-d da. Beraz, sistemaren hasierako energia: Lehen atala (x<h-d) Gomak egiten duen indarra hau da: k(h-d). Gomaren indarra mg pisua baino handiagoa bada gorputza igoko da eta bere azelerazioa: ma=k(h-d-x)-mg Hemen, h-d-x gomaren deformazioa da, gorputza lurretik x altueran dagoenean (eskumako irudiak erakusten du).

Ekuazio hori Higidura Harmoniko Sinplearen ekuazio diferentziala da:

Bere maiztasun angeluarra: ω²=k/m.

Eta ekuazio diferentzialaren soluzioa honelakoa da:

x=x₀+Asin(ωt)+Bcos(ωt)

hemen x₀=h-d-g/ω².

Eta A eta B konstanteak hasierako baldintzetatik kalkulatzen dira: t=0, x=0, v=dx/dt=0. Azken emaitza hau da:

x=x₀(1-cos(ωt))
v=x₀ω·sin(ωt)

Higidura harmoniko sinple horrek jarraituko du, gorputza gomaren anulazio-posiziora iristen den arte: x=h-d (lehen posizioa). Hori gertatzen den aldiuneari t₁ deituko diogu (lehen aldiunea):

-g/ω²=x₀·cos(ωt₁)

eta bere abiadura aldiune horretan v₁ :

v₁=x₀ω·sin(ωt₁)

Abiadura hori bera lor daiteke, energiaren kontserbazioaren printzipioa aplikatuz (denbora ez, ordea):

• Bigarren atala (h-d<x<h+d)
   

Gomaren luzera d edo txikiagoa denean tentsiorik gabe geratzen da, eta tarte batean ez dio gorputzari inolako indarrik eragiten: x=h-d -tik  x=h+d -raino. Beraz, gorputzak jasaten duen indar bakarra pisua da: mg. Tarte horretan,  t>t1 , gorputzaren posizioa eta abiadura kalkulatzeko higidura zuzen eta uniformeki azeleratuaren ekuazioak aplikatu behar dira: v=v1-g(t-t1) x=(h-d)+v1(t-t1)-g(t-t1)2/2 Higidura hori bukatzen da gorputza x=h+d posiziora iristen denean (bigarren posizioa), gomak berriro tentsioa hartzen duelako; dei diezaiogun t2 aldiunea. 2d=v1(t2-t1)-g(t2-t1)2/2

Gorputzaren v₂ abiadura:

v₂=v₁-g(t₂-t₁)

Eta energiaren kontserbazioaren printzipioa aplikatuz v₂ kalkula daiteke v₁ ezagutzen bada:

Abiadura hori atzematen da honako aldiunean:

• Hirugarren atala (x>h+d)

Gorputza lurretik x>h+d altueran dagoenean, gomak berriro tentsioa hartzen du eta honelako indarra egiten hasten da: k(x-h-d). Beraz, gorputzaren azelerazioa: ma= -k(x-h-d)-mg Eta higiduraren ekuazioa: Ekuazio diferentzial horren soluzioa honelakoa da: x=x0+Asin(ω(t-t2))+Bcos(ω(t-t2)) eta x0=h+d-g/ω2.

Hasierako baldintzen arabera, A eta B konstanteak kalkulatzen dira: t=t₂, x=h+d, v=dx/dt=v₂ :

v=v₂cos(ω(t-t₂))-(g/ω)sin(ω(t-t₂))

Esaterako, gorputzak altuera maximoa zein aldiunetan atzematen duen kalkulatzeko, v=0 baldintza ezarri, (t_m aldiunea lortzeko):

Eta energiaren kontserbazioaren printzipioa aplikatuz altuera maximo hori kalkula daiteke: x_m.

Aldiune horretatik aurrera gorputza beherantz mugitzen da eta ibilbide osoa errepikatzen du. Esaterako, beheranzkoan, x=h+d, bigarren posiziora iristen da –v₂ abiaduraz honako aldiunean: t₃=t_m+t_m-t₂=2t_m-t₂ . Eta berriz  x=0 posizioraino iristen da abiadura nuluaz: v=0. Tardatu duen denbora totala 2t_m da. Hala ere, atal guztiak aztertuko ditugu.

• Laugarren atala (h-d<x<h+d)

Atal honetan gomak ez dio gorputzari inolako indarrik egiten, horregatik bere higidura zuzena eta uniformeki azeleratua da, bigarren atalean bezalaxe, eta lortzen diren ekuazioak oso antzekoak dira.

Gorputzaren abiadura eta posizioa denboraren menpe t>t₃ denbora-tarterako:

v= -v₂ -g(t-t₃)
x=(h+d) -v₂(t-t₃)+g(t-t₃)²/2

Higidura hori bukatzen da gomak berriro tentsioa hartzen duenean:  x=h-d , lehen posizioan, eta t₄=t₃+(t₂-t₁)=2t_m-t₁ aldiunean. Une horretan gorputzaren abiadura –v₁ da.

• Bosgarren atala (0<x<h-d)

Atal honetan gorputza mugitzen da lehen atalean bezala, alegia higidura ekuazio bera du. Ekuazio diferentzialaren soluzioak honelako itxura du:

x=x₀+Asin(ωt)+Bcos(ωt)

eta x₀=h-d-g/ω².

A eta B konstanteak hasierako baldintzen arabera kalkulatzen dira: t=t₄, x=h-d, v=dx/dt= -v₁ . Azken soluzioa honela idatz daiteke:

v= -v₁cos(ω(t-t₄))-(g/ω)sin(ω(t-t₄))

Eta x=0 posizioa 2t_m aldiunean atzematen da v=0 abiaduraz. Horrela amaitzen da higiduraren ziklo oso bat.

Kasu bereziak

1.- Gorputza lehen posiziotik pasatzen da (x=h-d) baina ez da bigarren posizioraino iristen (x=h+d)

Gorputzaren energia bi muga hauen artean badago:

Orduan, lehen posiziotik pasako da (x=h-d) baina bigarrenetik ez. Lehen posizio horretatik pasatzen denean v₁ abiadura du eta t₁ aldiunean gertatzen da, lehen atalean kalkulatu den bezala.

Gero, gorputzak atzematen duen altuera maximoa hau da: x_m<h+d

Eta altuera maximoaren aldiunea  t_m=t₁+v₁/g

Beheranzkoan ere berriz pasatzen da lehen posiziotik, x=h-d , eta jatorrian amaitzen du ziklo osoa: x=0, 2t_m aldiunean.

2.- Ez da atzematen lehen posizioa: x=h-d

Gorputzaren energia ez bada nahikoa lehen posizioraino iristeko:

Gorputzak altuera maximo bat atzemango du (x_m<h-d). Energiaren kontserbazioaren printzipioa aplikatuz eta  v=0 ordezkatuz lehen atalari dagokion ekuazioan:

Gorputzaren higidura Harmoniko Sinplea da, oreka-posizioaren inguruan: x₀=x_m/2. Oreka-posizioa kalkulatzeko, lehen atalaren ekuazioan a=0 ezarri behar da, edota k(h-d-x₀)=mg . Hortik kalkulatzen da x₀=h-d-g/ω².

Oszilazioen periodoa 2π/ω da, eta horixe da ziklo bat osatzen tardatuko duen denbora:  x=0 posiziotik abiatu eta bertara itzuli.

Adibideak

1 adibidea (lehen eta bigarren posizioak gainditzen ditu).

Finkotzat har ditzagun h=30m eta d=10m.

Demagun k=960.0 N/m eta m=300 kg.

Maiztasun angeluarra ω²=960/300=3.2 rad²/s²

1.- x=h-d=20 m. Lehen posiziora iristen da. Lehen posizioa x= 20 m da eta bertatik pasatzen den aldiunea t1 : -g/ω2=x0·cos(ωt1)  eta x0=h-d-g/ω2. Hortik t1 bakanduz, t1=0.98 s Abiadura, v1=x0ω·sin(ωt1)=29.80 m/s 2.- x=h+d=40 m Energiaren kontserbazioaren printzipioa aplikatuz, v2 kalkula daiteke: v2=22.27 m/s Eta bigarren posiziora iristeko aldiunea: t2=t1+(v1-v2)/g=1.75 s

3.-Altuera maximoa:

Altuera maximoa, x_m alegia, kalkulatzen da energiaren kontserbazioaren printzipioa aplikatuz:

x_m=49,76 m

Eta altuera maximoa atzematen tardatu duen denbora:

t_m=2.49 s

Berriro hasierako posiziora iristeko tardatzen duen denbora: 2t_m=4.98 s.

2 adibidea (lehen posizioa gainditzen du baina bigarrena ez)

Demagun k=360.0 N/m eta m=300 kg.

Maiztasun angeluarra, ω²=360/300=1.2 rad²/s²

Kasu hau lehen kasu berezia da.

1.- x=h-d=20 m

Lehen posizioa, x= 20 m, atzematen du (lehen atala)  t₁ aldiunean:

t₁=2.12 s. Eta bertatik pasatzean duen abiadura: v₁= 9.38 m/s

2.- Altuera maximoa kalkulatzen da energiaren kontserbazioaren printzipioa aplikatuz:

x_m=24.50 m, eta tardatzen duen denbora t_m=t₁+v₁/g=3.08 s

Berriz ere jatorrira iristeko tardatzen duen denbora totala hau da: 2t_m=6.16 s.

3 adibidea (lehen posizioa ere ez du gainditzen)

Demagun k=360.0 N/m eta m=500 kg.

Maiztasun angeluarra, ω²=360/500=0.72 rad²/s²

Kasu hau bigarren kasu berezia da.

Energiaren kontserbazioaren printzipioa aplikatuz x_m altuera maximoa kalkulatzen da:

x_m=12.78 m

Eta jatorrira itzultzeko denbora, x=0, izan ere, oszilazioen periodoa da: 2π/ω=7.40 s

Oszilazio sinplea gauzatzen du oreka-posizioaren inguruan: x₀=x_m/2=6.39 m.

Saiakuntza

Aukeran idatz daitezke:

• Gomaren k konstantea (N/m) dagokion laukian.
• Gorputzaren m masa, dagokion laukian.

Programak finkotzat hartzen ditu honako datuak:

• Habearen altuera: h=30 m
• Gomaren luzera naturala:  d=10 m

Hasi botoia sakatu.

Idatzitako datuen arabera (m eta k) gomaren indarra ez bada gorputzaren pisua baino handiagoa, alegia k(h-d)≤mg, orduan gorputza ez da mugituko, eta egin behar dena da, edo gorputzaren masa gutxitu edo gomaren konstantea handitu.

Ezkerraldean goma eta gorputza mugitzen ikusten dira. Gomaren luzera naturala (d) beltzez adierazten da, eta luzapena grisez (h-d-x).

Gelditu eta Pausoka botoiekin honako neurketak egin daitezke:

• Gorputzaren x posizioa, v abiadura eta a azelerazioa edozein t aldiunetan.
• Gorputzak atal bakoitzean eta euren arteko mugetan dituen abiadurak eta aldiuneak: (x_i ,v_i)

Gorputzak jasaten dituen indarrak ere bektoreez irudikatzen dira. Urdinez pisua, eta gorriz gomaren indarra. Erdiko aldean tarta itxurako diagrama batean energia mota ezberdinak erakusten dira: energia zinetikoa, potentzial grabitatorioa, potentzial elastikoa. Gorputza mugitu ahala, energia mota ezberdinak  elkarraldatzen dira.