Dinamika

Lana eta energia

Lana eta energia

Pendulu sinplea

Malguki elastikoa (I)

Malguki elastikoa (II)

Malguki elastikoa (III)

Partikula bat, goma 
baten muturrean

Lana eta energia
(pista kiribila)

Pendulu konikoa

Oreka eta
egonkortasuna (I)

Oreka eta
egonkortasuna (II)

Oreka eta
egonkortasuna (III)

Oreka eta
egonkortasuna (IV)

Zikloide baten
gainetik irristatzen (I)

Esferaerdi baten
gainetik irristatzen

Esferaerdi baten
barrutik irristatzen

Eskiatzaile bi lehian

Zikloide baten
gainetik irristatzen (II)

Parabola baten
gainetik irristatzen

Haranetik doan eskiatzailea

Saiakuntza

Erreferentzia

Orri honetan bi eskiatzaileren arteko lasterketa aztertzen da: bata zubi zuzenetik doa irristatzen eta bestea haranean behera eta gora, irudiak erakusten duen bezala. Bietatik, zein iritsiko da lehenago beste aldera?

Orri honetan aztertutakoak aurreko beste bi orrien osagarria da: esferaerdi baten gainetik irristatzen, eta esferaerdi baten barrutik irristatzen.

Zubitik doan eskiatzailea

Eskiatzaileak jasaten dituen indarrak hiru dira:

• Pisua, mg

• Zoru horizontalak egiten duen erreakzioa, N

• Irristatzearen aurkako marruskadura indarra, F_r=μN

Norabide bertikalean oreka dago: N=mg

Norabide horizontalean Newton-en legea aplika dezagun:

ma= -F_r

Azelerazioa konstantea da, a= -μg, eta eskiatzailearen hasierako abiadura v₀ bada, denboran zehar abiadura gutxitzen joango da.

v=v₀ -μgt

Eskiatzailea zubian zehar desplazatzen da, eta hau da bere x posizioa edozein t aldiunetan:

x=v₀·t -½gt²

Zubiaren luzera d bada, kasu bi gerta daitezke:

• Eskiatzailea zubiaren beste aldera iritsi aurretik gelditzea: v=0,

• Eskiatzailea zubiaren beste aldera iristea, v abiaduraz:

Marruskadura-indarrak eskiatzailearen energia zinetikoa gutxitzen du.

Haranetik doan eskiatzailea

Haranaren forma deskribatzeko, hasierako eta amaierako posizioen artean, edozein funtzio jarrai har daiteke. Kasu honetan honelako forma hartuko dugu: lau zirkunferentzia-arku, denak angelu berekoak (a) eta erradio berekoak (R), irudiko lerro gorriak erakusten duena bezalakoa:

Eskiatzailearen hasierako eta amaierako posizioen arteko distantzia horizontal totala hau da:

d=4·R·sinα.

Lehen zirkunferentzia-arkua

Irudiak erakusten du partikulak jasaten dituen indarrak hiru direla:

• Pisua, mg

• Zoru zirkularrak egiten duen erreakzioa, N

• Irristatzearen aurkako marruskadura indarra, F_r=μN

Norabide erradialeko higidura-ekuazioa hau da: Eta norabide tangentearen higidura ekuazioa: mat= mg·sinθ-Fr   eta hemen Fr=μN eta  at=dv/dt

Ekuazio biak konbinatuz hauxe lortzen da:

Egin dezagun aldagai aldaketa bat: x=v²/(Rg), horrela ekuazio diferentzial hau geratuko da:

Ekuazio diferentzial horren soluzioak bi zati ditu:

Batetik, soluzio partikularra x₁=Asinθ+Bcosθ

A eta B koefizienteak kalkulatzen dira, soluzioa ekuazio diferentzialean ordezkatuz:

Bestetik ekuazio diferentzial homogeneoaren soluzioa:

Atal biak integratuz soluzio hau lortzen da:  lnx=2μθ+kte, edo bestela idatzita:  x₂=C·exp(2μθ)

Soluzio osoa honakoa da: x=x₁+x₂

    (1)

Eta C konstantea kalkulatzeko hasierako baldintzak ordezkatu behar dira: θ=0, v=v₀

Marruskadura dagoenean, μ≠0, hiru kasu ezberdin gerta daitezke:

• Eskiatzaileak zoruarekiko kontaktua galtzea, alegia N erreakzioa anulatzea posizioren batean, θ= θ_c

• Eskiatzailea guztiz gelditzea, v=0, eta N>0.

• Eskiatzailea bigarren tartera iristea.

Lehen kasuan, eskiatzaileak kontaktua galdu ondoren, salto egingo du, eta higidura parabolikoa jarraituko du.

Higiduraren ekuazio diferentziala:

Idatz dezagun v=R·dθ/dt, orduan ekuazio diferentzial hau lortzen da:

Ekuazio diferentzial hori prozedura numerikoez ebazten da, baina hasierako baldintzak ezarri behar zaizkio: t=0, θ=0, dθ/dt=v₀/R.

Eskiatzailearen posizioa θ=α denean, lehen zirkunferentzia-arkua utzi eta bigarrenera sartzen da.

Bigarren eta hirugarren zirkunferentzia-arkuak

Bi arku hauek elkartuta azter daitezke, 2a-ko arku bakarra balitz bezala.

Norabide erradialeko higidura-ekuazioa hau da:

Eta norabide tangentzialeko higidura ekuazioa:

ma_t= -mg·sinθ -F_r

Ekuazio biak konbinatuz:

Alda dezagun aldagaia: x=v²/(Rg), orduan geratzen den ekuazio diferentziala:

Ekuazio diferentzial horren soluzioak bi zati ditu:

Batetik, soluzio partikularra:  x₁=Asinθ+Bcosθ

Soluzio partikular hori ekuazio diferentzialean ordezkatuz A eta B koefizienteen balioak lortzen dira:

Bestetik, ekuazio diferentzial homogeneoa

Atal biak integratuz soluzio hau lortzen da: lnx= -2μθ+kte, edo bestela idatzita,  x₂=C·exp(-2μθ)

Soluzio osoa honakoa da: x=x₁+x₂

 (2)

Eta C konstantea lortzeko, hasierako baldintzak ordezkatzen dira: θ= -α, v=v₁, hemen v₁ da, eskiatzailearen abiadura lehen arkua amaitu duenean.

Marruskadura badago, μ≠0, kasu ezberdin bi gerta daitezke:

• Eskiatzailea guztiz gelditzea, v=0

• Laugarren tartera iristea.

Higiduraren ekuazio diferentziala:

Ordezka dezagun v=R·dθ/dt, eta higiduraren ekuazio diferentziala lortzen da:

Ekuazio hori prozedura numerikoez ebazten da, baina hasierako baldintzak ezarri behar zaizkio: t=t₁, θ= -α, dθ/dt=v₁/R.

Eskiatzailearen posizioa θ=α denean, hirugarren tartea utzi eta laugarrenean sartzen da.

Laugarren zirkunferentzia-arkua

Norabide erradialeko higidura-ekuazioa: Eta norabide tangentzialeko higidura-ekuazioa: mat=mg·sinθ-Fr  hemen θ angelu negatiboa da

Ekuazio biak konbinatuz lehen zirkunferentzia-arkuko ekuazio diferentzial bera lortzen da. Eskiatzailearen abiadura modu analogoan kalkulatzen da:

  (1)

Eta C konstantea kalkulatzeko hasierako baldintzak ordezkatu behar dira: θ= -α, v=v₂, hemen v₂ da, eskiatzailearen abiadura hirugarren tartea amaitu duenean.

Higiduraren ekuazio diferentziala:

Ordezka bedi v=R·dθ/dt, eta higiduraren ekuazio diferentziala lortzen da, lehen arkuko ekuazio diferentzial bera lortzen da:

Ekuazio hori prozedura numerikoez ebazten da, baina hasierako baldintzak ezarri behar zaizkio: t=t₂, θ= -α, dθ/dt=v₂/R.

Eskiatzailearen posizioa, θ=0 denean, harana amaitzen da eta zubiaren beste muturreraino iritsi da.

Adibidea

• Marruskadura-koefizientea: μ=0.1

• Harana osatzen duten lau arkuen angelua: α=30º

• Eskiatzaileek lasterketaren hasieran duten abiadura: v₀=5 m/s

• Zubiaren luzera: d=10 m

Kalkula dezagun haraneko arkuen R erradioa:

d=4·Rsinα,  R=5 m

Lehen arkua

(1) adierazpena erabiliko da, baina C integrazio konstantea kalkulatzeko hasierako baldintzak ezarri behar zaizkio: θ=0, v₀=5 m/s.

C konstantea ezagututa, eskiatzailearen abiadura kalkula daiteke lehen arkua amaitzen duenean: θ=30º=π/6 rad

Abiadura hori izango da hasierako abiadura bigarren arkuan sartzean.

Bigarren eta hirugarren arkua

(2) adierazpena erabiliko da, baina C integrazio konstantea kalkulatzeko hasierako baldintzak ezarri behar zaizkio: θ= -π/6, v₁=6.02 m/s.

C konstantea ezagututa, eskiatzailearen abiadura kalkula daiteke hirugarren arkua amaitzen duenean: θ=+30º=π/6 rad

Abiadura hori izango da hasierako abiadura laugarren arkuan sartzean.

Laugarren arkua 

(1) adierazpena erabiliko da, baina C integrazio konstantea kalkulatzeko hasierako baldintzak ezarri behar zaizkio: θ=-π/6, v₁=4.34 m/s.

C konstantea ezagututa, eskiatzailearen abiadura kalkula daiteke laugarren arkua amaitzen duenean: θ=0 rad

Horixe da haranean zehar doan eskiatzailearen amaierako abiadura. Programa interaktiboak numerikoki kalkulatzen du eskiatzaileak tardatu duen denbora totala: 2.45 s.

Zubitik doan eskiatzailea

Zubia zeharkatzen duen eskiatzailearen amaierako abiadura hau da:

v²=5²-2·0.1·9.8·10,  v=2.32 m/s

Eta tardatu duen denbora:

v=5-0.1·9.8·t,  t=2.73 s

Saiakuntza

Aukeran idatz daitezke:

• Marruskadura koefizientea, μ, desplazamendu-barrari saguaz eragiten edo zuzenki laukian idatziz.

• Harana osatzen duten lau arkuen angelua, α, desplazamendu-barrari saguaz eragiten.

• Eskiatzaileen hasierako abiadura, v₀ , lasterketa abiatzen dutenean.

• Zubiaren luzera finkotzat hartu da: d=10 m.

Hasi botoia sakatu.

Zubia urdinez adierazten da eta harana gorriz, aukeratutako lau angeluak elkartuz, eta eskiatzaileak ere kolore berdinekin.

Eskiatzaileak jasaten dituen indarrak adierazten dira:

• Pisua, mg

• Irristatzearen aurkako marruskadura indarra, F_r, zirkuluaren tangentea eta irristatzearen aurkakoa.

• Gainazalak egindako erreakzioa, N, norabide erradialean.

Applet-aren ezker aldean, bi zutabetan, eskiatzaile bien energiak adierazten dira:

Ezkerreko zutabean haranetik doan eskiatzailearen energia:

• Energia potentziala urdinez, eta negatiboa da.

• Energia zinetikoa gorriz.

• Energia totala laukizuzen beltz batez.

Eskumako zutabean, zubitik doan eskiatzailearen energia:

• Energia potentziala ez da aldatzen, eta nulutzat hartzen da.

• Energia zinetikoa gorriz, izan ere, energia totala da.

Marra horizontal beltz batek eskiatzaile bien hasierako energia adierazten du, eta energia totala gutxitzen ari dela erakusten du, marruskaduraren eraginez.

Applet-aren azpiko eta eskumako aldean idatziz adierazten dira honako datu hauek: denbora, eskiatzaile bien posizio horizontala eta abiadura (gorriz haranetik doana eta urdinez zubitik doana).