Dinamika

Lana eta energia

Lana eta energia

Pendulu sinplea

Malguki elastikoa (I)

Malguki elastikoa (II)

Malguki elastikoa (III)

Partikula bat, goma 
baten muturrean

Lana eta energia
(pista kiribila)

Pendulu konikoa

Oreka eta
egonkortasuna (I)

Oreka eta
egonkortasuna (II)

Oreka eta
egonkortasuna (III)

Oreka eta
egonkortasuna (IV)

Zikloide baten
gainetik irristatzen (I)

Esferaerdi baten
gainetik irristatzen

Esferaerdi baten
barrutik irristatzen

Eskiatzaile bi lehian

Zikloide baten
gainetik irristatzen (II)

Parabola baten
gainetik irristatzen

Eredu simetrikoa

Eredu ez simetrikoa

Saiakuntza

Erreferentzia

Honako orri honetan, Alben-en eredu ospetsua aztertuko da. Eredu hori, hodi huts bat da, S sekzioduna, eta mutur bietatik itxita, baina gas ideal batez beteta. Hodia okertua da eta arku zirkular bat osatzen du, r erradioduna eta 1+α radianeko angeluduna, irudiak erakusten duen bezala.

Enbolo batek hodia bi zatitan banatzen du, eta marruskadurarik gabe desplaza daiteke alde batera eta bestera. Enboloa θ=0 posizioan kokatzen denean (norabide bertikalean) hodiaren bi zatietako gasek presio bera dute, p0. Eskumako aldeak duen bolumena V0=S·r  da eta ezkerreko aldearena: αV0 . Eskumako aldean dagoen molekula kopurua N da, Avogadroren zenbakia, eta ezkerrekoan αN.

Eredu honekin oreka-egoerak aztertuko ditugu, bai egonkorrak zein ezegonkorrak, eta baita ere meta-egonkorrak deritzen egoera bereziak, alegia, sistema denbora batez egon daiteken egoera baina perturbazio batek egoera horretatik atera eta oreka egonkorreko, eta energia gutxiagoko, egoera batera eramaten ditu.

Energia potentziala

Enboloa alde batera eta bestera desplaza daiteke. Kalkula ditzagun enboloak jasaten dituen indarrak eta bere oreka-posizioa (θ), T tenperaturaren menpe:

Irudiak erakusten duenez, enboloak hiru indar tangentzial jasaten ditu:

• Ezkerreko gasak egiten dion presio-indarra: p_iS

• Eskumako gasak egiten dion presio-indarra: p_dS

• Enboloaren pisuaren osagaia: mgsinθ

Hona hemen indar tangentzial erresultantea:

F= mgsinθ +p_iS - p_dS

Gas idealen egoera-ekuazioa aplikatzen bada, gasaren presioa kalkula dezakegu bi aldeetan, p_i eta p_d :

p_i·V_i=αRT
p_d·V_d=RT

Eta bolumenak ordezkatuz:

p_i·(S·(α+θ)·r)=αRT
p_d·(S·(1-θ)·r)=RT

Indar erresultantea berridatz daiteke enboloaren θ posizioaren menpe:

Indar horri energia potentziala dagokio: E_p(θ), kalkula dezagun:

Eta energia potentzialaren "zero" maila θ=0 posizioan kokatzen bada (E_p(0)=0) hona hemen adierazpena:

Azter dezagun zehazki funtzio hori.

Eredu simetrikoa

Alben-en ereduan hodiaren zati biak berdinak har daitezke: α=1 rad

Kasu horretan T tenperaturak balio kritiko bat gainditzen ez badu, T_c , enboloaren oreka-posizioak θ angelua osatuko du bertikalarekiko, eta angelu hori kalkulatzen da honako ekuazio transzendentea ebatziz:

Soluzio hori energia potentzialaren minimo bat da:

Grafikoak erakusten duenez, θ=0 posizioa oreka-ezegonkorreko posizioa da.

Tenperatura handitzen doan heinean, oreka egonkorreko posizioak (minimoak) θ=0 posiziora hurbiltzen doaz, eta tenperatura kritiko bat gainditzen denean, T_c , bi minimoak eta θ=0 posizioa elkartzen dira, eta inflexio-puntua osatzen dute.

Tenperatura kritikoa kalkulatzeko, T_c, energia potentzialaren bigarren deribatua kalkulatu behar da eta nulua izan behar dela inposatu, θ=0 posizioan:

Eta d²E_p(θ)/dθ=0 ekuazio horretan θ=0, ordezkatuz soluzio hau lortzen da:

Eredu ez simetrikoa

Eredu ez simetrikoa zehazki aztertzeko defini dezagun tenperatura-erlazio adimentsionala t=T/T_c. Energia potentziala eta indarra berridatz daitezke t-ren menpe:

Lehenik, θ=0 jatorria oreka-posizioa da (F=0) baina egonkorra izan daiteke edo ezegonkorra. Tenperatura kritiko bat gainditzen ez bada ezegonkorra da eta gainditzen bada egonkorra, eredu simetrikoan gertatzen den bezalaxe.

Kalkula dezagun energia potentzialaren bigarren deribatua:

Eta θ=0 posizioan, bigarren deribatua:

θ=0 posizioa ezegonkor izatetik egonkor izatera pasatzen da t_c tenperatura kritikoa gainditzen denean. Tenperatura horretan bertan bigarren deribatua anulatzen da:

Hodi jakin baterako α parametroa finkoa da eta t tenperatura handituz oreka egonkorreko posizioa aldatzen doa. Posizio hori kalkulatzeko F=0 ekuazio transzendentea ebatzi behar da. Grafiko batean adierazten bada:

• Ardatz bertikalean, oreka posizioaren θ angelua gradutan.

• Ardatz horizontalean, tenperatura-erlatiboa, t.

Tenperatura justu bere balio kritikora iristen denean,  t₁, enboloaren oreka-posizioa erabat aldatzen da θ₁-etik 0-ra. Tenperatura hori gainditzen denean θ=0 posizioa oreka egonkorreko posizioa da. Ezezagun bi horiek kalkulatzeko, alegia t₁ tenperatura eta enboloaren θ₁ oreka-posizioa, ekuazio biko sistema ebatz daiteke:

• Oreka-posizioa da, F=0

• Ez da egonkorra ezta ezegonkorra ere, inflexio-puntua baizik: d²E_p(θ)/dθ=0,

Jatorriaren ezkerraldean ere badago oreka egonkorreko posizioa, irudiak erakusten duen bezala:

Honelako oreka-posizioei meta-egonkorrak deritze. Azter dezagun eskumako grafikoa: sistema M egoeran badago (oreka-angelu negatiboa) eta perturbazio txiki bat jasaten badu, oreka egonkorreko E egoeran buka dezake (oreka-angelu positiboa).

Esaterako, α=0.2 bada, tenperatura kritikoa hau da: t_c=0.333. Beraz, tenperatura hori gaindituz jatorria (θ=0) oreka egonkorrekoa da. Orri honetako programa interaktiboan egiazta daiteke t₁=0.55 tenperaturan, enboloak erabat aldatzen duela bere oreka posizioa  θ₁=0.503 rad-tik θ=0-ra. Hortaz, t_c eta t₁ tenperaturen bitartean jatorria (θ=0) egoera meta-egonkorra da.

Saiakuntza

Aukeran idatz daiteke:

• Alfa parametroa, unitatea baino txikiagoa den zenbakia, dagokion desplazamendu barrari eragiten.

• Tenperatura erlatiboa, t, desplazamendu barrari eragiten.

Kalkulatu botoia sakatu.

Applet-aren ezkerraldean hodiaren eskualde biak irudikatzen dira, gas bera eta t tenperatura bera dute.

Eskumako aldean energia potentziala adierazten da, θ angeluaren menpe, eta enboloaren oreka egonkorreko posizioa seinalatzen da, alegia minimoa. Ardatz bertikalaren eskala alda daiteke, maximoak eta minimoak zehaztasun handiagoz behatzeko: horretarako Eskala izeneko kontrolean zenbaki bat aukeratu behar da zehaztasuna bidertzeko.