Dinamika

Lana eta energia

Lana eta energia

Pendulu sinplea

Malguki elastikoa (I)

Malguki elastikoa (II)

Malguki elastikoa (III)

Partikula bat, goma 
baten muturrean

Lana eta energia
(pista kiribila)

Pendulu konikoa

Oreka eta
egonkortasuna (I)

Oreka eta
egonkortasuna (II)

Oreka eta
egonkortasuna (III)

Oreka eta
egonkortasuna (IV)

Zikloide baten
gainetik irristatzen (I)

Esferaerdi baten
gainetik irristatzen

Esferaerdi baten
barrutik irristatzen

Eskiatzaile bi lehian

Zikloide baten
gainetik irristatzen (II)

Parabola baten
gainetik irristatzen

Higiduraren ekuazioa

Soluzio analitikoa

Energiaren balantzea

Saiakuntza

Erreferentzia

Orri honetan aurreko beste orri batean aztertutakoa sakontzen da: zikloide ahur baten gainetik irristatzen (I), baina honakoan marruskadura-indarra ere kontutan hartuko da.

Zikloidearen ezaugarri geometrikoak

Koka ditzagun ardatz koordenatuak zikloidearen puntu baxuenean. Ardatz horietan zikloidearen ekuazio parametrikoak honela idazten dira:

x=R(2θ+sin(2θ))
y=R(1-cos(2θ))

θ parametroaren balioa aukeratuz (-π/2≤θ≤π/2 tartean) partikularen posizioa kalkulatzen da: (x, y).

Zikloidea simetrikoa da, bere bi muturren posizioak honakoak dira: ezkerreko muturra (-πR, 2R), parametroa θ=-π/2 denean, eta eskumako muturra (πR, 2R), parametroa θ=+π/2 denean.

Izan ere, θ parametroak badu esangura geometrikoa: zikloidearekiko tangentea den zuzenaren malda da (x, y) posizioan, irudiak adierazten duen bezala.

Kalkula dezagun O jatorriaren eta (x, y) puntuaren arteko arkuaren s luzera (ikusi irudia):

Beraz, zikloide erdiaren luzera, alegia jatorriaren (0, 0) eta eskumako muturraren (πR, 2R) arteko arkuaren luzera, hau da:

Zikloidea da, R erradiodun gurpil baten ertzeko puntu batek jarraitzen duen ibilbidea, gurpilak irristatu gabe errodatzen duenean. Baina hala ere, zikloidearen kurbadura-erradioa ez da konstantea, honakoa baizik:

Kurbadura erradioa maximoa da koordenatuen jatorrian (ρ=4R) eta minimoa bi muturretan (ρ=0).

Higiduraren ekuazioa

Partikulak hiru indar jasaten ditu:

• Pisua, mg

• Gainazalaren erreakzioa, N, kontaktuaren puntuan

• Irristatzearen aurkako marruskadura-indarra, f_r , ibilbidearekiko tangentea eta irristatzearen aurkakoa.

Deskonposa dezagun pisua eta idatz ditzagun higiduraren ekuazioak norabide tangentzialean eta norabide normalean.

ma_t= -mgsinθ -f_r
ma_n=N -mgcosθ

Partikula irristatzen ari denean, marruskadura indarrak hau balio du:

f_r=μN

Azelerazio tangentziala, a_t , eta azelerazio normala, a_n, definizioak kontutan hartuz:

Eta gainazalaren N erreakzioa bi ekuazioetatik eliminatuz, ekuazio diferentzial bakarra geratzen da:

Partikularen abiadura eta azelerazioa θ parametroaren menpe adieraz daitezke, eta θ-ren deribatuekiko:

Horrela bigarren ordenako ekuazio diferentziala lortzen da:

Ekuazio hori prozedura numerikoez ebazten da, baina hasierako baldintzak ezarri behar zaizkio: t=0, θ=θ₀, dθ/dt=0.

Gorputza ezkerrerantz irristatzen ari denean, marruskadura indarra eskumarantz doa, beraz ekuazio diferentzialean ordezkatu behar da  +μ-ren ordez –μ.

Soluzio analitikoa

Higiduraren ekuazioa integra daiteke eta v abiaduraren adierazpena lor daiteke θ parametroaren menpe.

Ekuazio horretan aldagai aldaketa bat eginez x=v²/(2Rg), beste ekuazio diferentzial hau geratzen da:

Ekuazio diferentzial horren soluzioa bi soluzioen batura da: batetik ekuazio diferentzial homogeneoaren soluzioa eta bestetik soluzio partikular bat. Soluzio partikularrak honelako itxura du:

x₁=Asin(2θ)+Bcos(2θ)+C

Soluzio partikular hori ekuazio diferentzialean ordezkatuz A, B eta C koefizienteak kalkula daitezke.

Kalkula dezagun orain ekuazio diferentzial homogeneoaren soluzioa:

Ekuazioaren atal biak integratuz:  lnx= -2μθ+lnD,  eta hemen  lnD  integrazioaren konstantea da. Beraz,

x₂=D·exp(-2μθ)

Orduan, ekuazio diferentzial osoaren soluzioa hau da: x=x₁+x₂

Eta D konstantea hasierako baldintzetatik kalkula daiteke: t=0, θ=θ₀, v=0

                         (1)

Ondorengo grafikoak adierazten du ordezko x aldagaia v²/(2Rg) arkuaren s luzeraren menpe, eta zenbait marruskadura-koefiziente ezberdin hartuta: μ=0.0,  μ=0.25, μ=0.5 eta μ=0.75 (denetan hasierako posizioa  θ₀= -89º, s₀≈ -4.0).

Partikula pausagunetik abiatzen da eta, mugitu ondoren, berriz ere gelditzen da. Marruskadurarik gabe, amaierako posizioa s=4.0 da, baina marruskadurarekin s<4.0.

Gelditze posizioak

Marruskadurarik ez dagoenean, partikula θ₀ posiziotik abiatzen bada (θ₀<0), bere abiadura maximoa lortzen du beheko muturretik pasatzean, eta berriz gelditzen da -θ₀ posizioan. Gelditzeak unetxo bat baino ez du irauten, eta ondoren berriz ere alderantzizko bidean abiatzen da. Bigarren aldiz gelditzen da θ₀ posizioan eta horrela segitzen du etengabe.

Marruskadura dagoenean ordea, θ₀ posiziotik abiatzen bada, berriro gelditzen deneko θ₁ angelua beti da txikiagoa: |θ₀|>|θ₁|. Baina kasu bi gerta daitezke:

• Pisuaren osagai tangentziala marruskadura baino handiagoa izatea: (μ_s= μ_k= μ hartuko dugu)

mgsin|θ₁|≥μ·mgcosθ₁,  edota,  tan|θ₁|≥μ

Orduan partikula, gelditu ondoren, berriro abiatuko da maldan behera, eta iritsiko den beste angelua: |θ₂|<|θ₁|

• Pisuaren osagai tangentziala marruskadura baino txikiagoa dela: tan|θ₁|<μ

Orduan partikula guztiz gelditzen da.

Demagun partikulak jarraitu egiten duela θ₁ posizioan lehen aldiz gelditu ondoren eta θ₂ posizioan bigarren aldiz gelditzen dela. Berriro irristatzeko baldintza betetzen bada: tan|θ₂|≥μ , orduan partikulak jarraitu egingo du bestela guztiz geldituko da.

Partikula abiatzen bada θ₀  posiziotik, kalkula bedi zein posiziotan gelditzen den lehen aldiz: θ₁. Horretarako (1) ekuazioan, v=0 baldintza ordezkatu, eta ondoko ekuazio transzendentearen soluzioa kalkulatu behar da:

Geldiune horren ondoren, irristatzearen baldintza betetzen bada (tan|θ₁|≥μ) partikulak ezkerrerantz mugitzen jarraituko du, eta ez bada betetzen guztiz geldituko da.

Demagun geldiunearen ondoren mugitzen jarraitzen duela: marruskadura-indarrak noranzkoa aldatzen du (ikusi goiko irudia), eta beraz ekuazio diferentzialean aldatu egin behar da: +μ -ren ordez –μ. Bigarren geldiunearen posizioa, θ₂, ondoko ekuazio transzendentearen soluzioa da:

Bigarren geldiune horren ondoren, irristatzearen baldintza betetzen bada (tan|θ₂|≥μ) partikulak eskumarantz mugitzen jarraituko du, eta ez bada betetzen guztiz geldituko da.

Demagun geldiunearen ondoren mugitzen jarraitzen duela: marruskadura-indarrak noranzkoa aldatzen du, eta beraz ekuazio diferentzialean aldatu egin behar da: -μ -ren ordez +μ. Hirugarren geldiunearen posizioa lortzeko, θ₃ , ondoko ekuazio transzendentearen soluzioa kalkulatu behar da:

Eta horrela behin eta berriz...

Energiaren balantzea

Marruskadura-indarrak egindako lana energia-galera da: alegia, amaierako energia ken hasierako energia.

Ekuazio horretan ordezkatzen bada v²-ren adierazpen luzea, kalkula daiteke marruskadura indarrak egindako lana, partikula desplazatu denean θ₀  posiziotik edozein θ posiziora:

Bestela, marruskadura-indarraren lana zuzenki ere kalkula daiteke:

Energiaren ekuazioan v² bakan daiteke eta hemen ordezkatu. θ parametroarekiko integratuz lortzen da marruskadura indarrak egindako lana, partikula desplazatu denean θ₀  posiziotik edozein θ posiziora.

Saiakuntza

Aukeran idatz daiteke:

• Marruskadura koefizientea, μ, saguaz desplazamendu barrari eragiten edo zuzenki laukian idatziz.

• Hasierako posizioa, θ angelua gradutan adieraziz, alegia zikloidearekiko tangentea den zuzenaren malda, saguaz desplazamendu barrari eragiten edo zuzenki laukian idatziz. Angelu hori nahitaez 90º baino txikiagoa izan behar da.

• R parametroaren balioa, edo zikloidea sortzen duen erradioa, finkotzat hartu da: R=1 m.

Hasi botoia sakatu.

• Marruskadurarik gabe, μ=0

Egiazta bedi oszilazio oso baten periodoa honakoa dela:

eta hasierako posizioaren independentea.

• Marruskadurarekin, μ≠0

Partikula zikloide ahurraren gainean irristatzen behatzen da, gelditze-puntuak (partikularen abiadura anulatzen denean) marra urdin batez adierazten dira. Gelditze-posizio batean irristatzearen baldintza betetzen bada (tan|θ_i|>μ) mugitzen jarraituko du, eta ez bada betetzen (tan|θ_i|<μ) guztiz geratuko da.

Programak, tarta itxurako diagrama batean, partikularen energiaren balantzea deskribatzen du: zirkulu nagusiak hasierako energia adierazten du eta beltzez adierazten du marruskadura indarrak egindako lana. Bestalde, partikularen energia zinetikoa gorriz eta energia potentziala urdinez adierazten dira, beraz bi horien batura partikularen energia totala da.

Applet-aren goiko eta ezkerreko aldean honako datuak idatziz erakusten dira: t denbora, partikularen posizioa zikloidearen gainean (jatorrirainoko arkuaren s luzera emanda) eta v abiadura.