Dinamika

Lana eta energia

Lana eta energia

Pendulu sinplea

Malguki elastikoa (I)

Malguki elastikoa (II)

Malguki elastikoa (III)

Partikula bat, goma 
baten muturrean

Lana eta energia
(pista kiribila)

Pendulu konikoa

Oreka eta
egonkortasuna (I)

Oreka eta
egonkortasuna (II)

Oreka eta
egonkortasuna (III)

Oreka eta
egonkortasuna (IV)

Zikloide baten
gainetik irristatzen (I)

Esferaerdi baten
gainetik irristatzen

Esferaerdi baten
barrutik irristatzen

Eskiatzaile bi lehian

Zikloide baten
gainetik irristatzen (II)

Parabola baten
gainetik irristatzen

Energiaren ikuspegia

Adibidea

Saiakuntza

Ariketa hau sarritan proposatzen zaie ikasleei indar kontserbakorrak eta indar ez kontserbakorrak bereizten ikasteko.

Bloke batek aldapa batean behera irrist egiten du. Blokearen masa m da eta aldaparen inklinazio-angelua θ. Blokea pausagunetik abiatzen da eta d distantzia irristatu ondoren malgukiaren muturra ukitzen du. Malgukiaren konstantea k da eta hasieran deformatu gabe dago. Kalkula bedi malgukiaren deformazio maximoa. Aldaparen eta blokearen artean badago irristatzearen aurkako marruskadurarik, eta koefizientea μ_k da.

Konpara ditzagun hasierako eta bukaerako egoera biak.

Har dezagun energia potentzial grabitatorioaren jatorria O puntuan. Energia totalaren aldaketa, alegia amaierakoa ken hasierakoa, eta marruskadura-indarrak egindako lana berdinak dira.

Esaterako,  d=1.0 m, θ=30º, μ=0.3, k=50 N/m, m=1.0 kg

Orduan goiko ekuazioan ezezagun bakarra x_m da, eta bigarren graduko ekuazioa ebatzi behar da. Emaitza bietatik positiboa den bakarra aukeratzen da, beraz: x_m=0.357 m=35.7 cm

Hala ere, ariketa honek baditu xehetasun batzuk, geroago aztertuko direnak.

Higiduraren ekuazioak

Higidura aztertzeko, har dezagun X ardatza aldaparen norabide berean, O jatorria malgukiaren posizio naturalean (deformaziorik gabekoa) eta ardatzaren alde positiboa aldaparen behealderantz. Higiduraren atalak honakoak dira:

1.-Blokea irristatzen jaisten da aldapan zehar

Blokea pausagunetik abiatzen da x₀ posiziotik (x₀<0) baina blokeak irrist egin dezan baldintza bat bete behar da: pisuaren osagai paraleloa, mg·sinθ , handiagoa izan behar da marruskadura indarraren balio maximoa baino: μ_s·mg·cosθ. Bestela pausagunean segituko du posizio berean. Hortaz, irristatzeko:

mgsinθ ≥ μ_s·mg·cosθ

Ekuazio horretan bertan ikusten da, aldapak θ angelu minimo bat izan behar duela blokeak irrista dezan: tanθ≥μ_s

Demagun baldintza hori bete egiten dela, eta hortaz blokeak irrist egiten duela. Blokeak hiru indar jasaten ditu:

• Pisua mg

• Aldaparen erreakzio normala N=mg·cosθ

• Marruskadura indarra, blokearen abiaduraren aurkakoa: f_r=μ_k·N

Azelerazioa konstantea ateratzen da:

a₊₌ g(sinθ-μcosθ)

Blokearen v abiadura eta x posizioa denboraren menpe:

Eta blokea jatorrira iristen da (malgukia ukitzera) honako t aldiunean eta v₀ abiaduraz:

2.- Blokeak malgukia ukitu eta beherantz irristatzen segitzen du

Blokeak lau indar jasaten ditu: Pisua: mg Aldaparen erreakzio normala: N=mg·cosθ Malgukiak egiten dion indarra: k·x Marruskadura indarra, blokearen abiaduraren aurkakoa: fr=μk·N

Blokea beherantz irristatzen ari denean (v>0), higiduraren ekuazioa honakoa da:

ma= -kx+mgsinθ-μ_kmgcosθ
ma= -kx+ma₊

Higidura-ekuazio hori forma diferentzialean ere idatz daiteke:

eta ω²=k/m

Higidura-ekuazio horrek Higidura Harmoniko Sinplearen antza du, baina termino bat gehiago du:  a₊

Ekuazio diferentzial osoaren soluzioa da, ekuazio diferentzial homogeneoaren soluzioa (HHS- bat) gehi konstante bat: C. Soluzio partikular hori (C konstantea) ekuazio diferentzialean ordezkatuz:

ω²C= a₊                  C=a₊ /ω²

Orduan ekuazio diferentzialaren soluzio osoa hau da:

Blokearen v abiadura hau da:

A eta B koefizienteak hasierako baldintzetatik kalkulatu behar dira: has gaitezen denbora berriro zenbatzen: t=0, orduan blokea x=0 jatorrira iristen denean, v₀ abiadura du.

0=B+a₊/ω²
v₀=Aω

Hortaz, blokearen v abiadura eta x posizioa denboraren menpe eta aldapan behera, hauek dira:

Desplazamendu maximoa atzematen denean, x_m , abiadura nulua da: v=0, orduan t aldiunea:

Baina honako erlazio trigonometrikoak kontutan izanda:

Eta kontutan hartuta bigarren koadrantean sinua positiboa dela eta kosinua negatiboa, eta zenbait operazio burutu ondoren, hona hemen  x_m desplazamendu maximoa:

3. Blokeak, malgukia ukitzen, gorantz irristatzen du

Blokea beherengo posiziotik abiatzen da, xm-tik alegia, pausagunetik eta gorantz irristatuko du honako baldintza berri hau betetzen bada soilik: kxm -mgsinθ ≥ μsmgcosθ, edo sinplifikatuz:    ω2xm≥ a- Bestela, blokea bertan behera geldituko da.

Demagun irristatzeko baldintza betetzen dela:

Blokea aldapan gora irristatzen ari denean (v<0), marruskadura-indarrak beherantz bultzatzen dio eta beraz higidura-ekuazioa beheranzkoaren ezberdina da: ma= -kx +mgsinθ+μkmgcosθ ma= -kx+ma-

Higidura ekuazioa forma diferentzialean idatz daiteke:

Ekuazio diferentzial horren soluzio osoa hau da:

A eta B koefizienteak hasierako baldintzetatik kalkulatu behar dira: has gaitezen denbora berriro zenbatzen: t=0, orduan blokea x=x_m posizioan dago eta pausagunean.

x_m=B+a_-/ω²
0=Aω

Beraz blokearen x posizioa eta v abiadura denboraren menpe, aldapan gora irristatzen:

Blokea jatorritik pasatzean x=0,

• Jatorritik pasatzea

Nahitaez |cos(ωt)|≤1 izan behar denez, honakoa bete behar da: ω²x_m≥2a_-. Eta orduan jatorritik pasatzen den t aldiunean:

Eta x=0 jatorritik pasatzean duen v_f abiadura:

Abiadura erreala izan dadin, errokizuna ezin da negatiboa izan, beraz, ω²x_m≥2a_-

Ondoren, blokeak gorantz jarraitzen du aldapan gora, x<0 , baina malgukia ukitu gabe.

• Ez da jatorriraino iristen

Honako baldintza betetzen bada, ω²x_m<2a_-  orduan blokea gelditu egiten da jatorriraino iritsi aurretik. Gelditzen den t aldiunean, v=0 edo sin(ωt)=0, ωt=π.  Blokea honako posizioan geldituko da:

Une horretan, higiduraren ziklo bat osatzen da, eta gerta daiteke bertan behera gelditzea edo aldapan behera irristatzea x>0, aurrerago ikusiko dugunez:

4.-Blokeak gorantz irristatzen du, x<0

Blokeak hiru indar jasaten ditu: Pisua mg Planoaren erreakzio normala N=mg·cosθ Marruskadura indarra, fr=μk·N

Azelerazioa konstantea da

a_-=g(sinθ+μcosθ)

Higidura zuzen eta uniformeki azeleratua da. Berriz ere denbora zerotik abiatzen badugu:

v=v_f+a_-t
x=v_f·t+a_-t²/2

Hemen v_f<0, eta a_->0 beraz blokea geldituko da v=0 denean, honako posizioan:

Ziklo bat osatzen da, eta posizio hori abiapuntutzat hartuta higidura errepikatzen da.

4.- Blokeak, malgukia ukitzen, beherantz irristatzen du

Blokeak beherantz irrist egin dezan honako baldintza bete behar da:

mgsinθ -kx₁≥μ_k·mgcosθ,
edo sinplifikatuz  ω²x₁≤a₊.

Kasu horretan, alegia v>0 kasuan, higidura ekuazioaren soluzioa hau da:

A eta B koefizienteak hasierako baldintzetatik kalkulatu behar dira: has gaitezen denbora berriro zenbatzen: t=0, x=x₁ eta v=0,

x₁ =B+a₊ /ω²
0=Aω

Eta higidura hori bukatuko da malgukiaren zapaldura maximoa atzematen denean, Hau da v=0,  sin(ωt)=0, ωt=π.

Hona hemen malgukiaren deformazio maximoa:

Ondoren, blokea x₂ posizioan dagoela, bertan behera geldi daiteke edo gorantz irristatzen abiatu, honako baldintzaren arabera:

kx₂ -mgsinθ ≥ μ_smgcosθ,
ω²x₂≤a_-.

Gelditzen bada, horixe izango da mugimenduaren amaiera: x₂ .

Demagun irristatzeko baldintza betetzen dela. Higidura berriro gorantz abiatuko da: t=0, x=x₂, v=0. Aurrerantzean blokeak malgukia ukitzen gorantz irristatzen du. Eta goranzko higidura amaitzeko, v=0, t aldiunean: ωt=π. Blokea honako posizioan gelditzen da:

Eta horrela behin eta berriz, azkenean gelditu egiten den arte, honako posizioan:  x_i>0

Energiaren ikuspegia

Blokea aldapan behera irristatzen

Blokea hasierako posizioan kokatu eta pausagunean uzten da (x₀<0). Demagun maldan behera irristatzen hasten dela eta malgukiraino iristen dela.

Marruskadura indarra irristatzearen aurkakoa da: f_r=μ_k·N=μ_k mg·cosθ

Marruskadura indarraren lana energia totalaren aldaketaren berdina da, alegia amaierakoa ken hasierakoa. Energia potentzialaren jatorria x=0 posizioan kokatzen da, eta kalkulatzen da blokea zein abiaduraz iristen den bertaraino:

Blokeak malgukia ukitzen, beherantz irristatzen du.

Blokea jatorritik aurrera doanean (x>0) energiaren balantzea honela idazten da:

Eta v=0 gauzatzen denean, blokea gelditu egingo da, izan ere, x_m posizioan. Bigarren graduko ekuazioak soluzio bi ditu, baina bietatik bakarra da positiboa.

Blokeak, malgukia ukitzen, gorantz irristatzen du.

Blokea gelditu egin da x_m posizioan, eta bertan behera gelditu edo gorantz irristatzen has daiteke, honako baldintzaren arabera:

kx_m -mgsinθ ≥ μ_smgcosθ,
ω²x_m≥a_-

Demagun irristatzeko baldintza hori bete egiten dela. Orduan blokea x_m posiziotik abiatuta gorantz doanean energiaren balantzea honela idazten da:

• Jatorritik pasatzea

Blokearen v_f  abiadura kalkula daiteke jatorritik pasatzean, x=0.

Eta ondoren blokeak ez du malgukia ukitzen, baina gorantz irristatzen segitzen du.

• Jatorriraino iritsi aurretik gelditu egiten bada

Jatorriko v_f  abiaduraren errokizuna negatiboa bada esan nahi du, blokea jatorrira iritsi aurretik gelditu egin dela (irudiko x₁ posizioan) energia zinetikoa ezin delako negatiboa izan. Gelditzen den posizioan  v=0:

Ondoren, blokea bertan behera gelditu edo beherantz irristatzen has daiteke, aurrerago ikusiko dugunez.

Blokeak gorantz irristatzen du

Blokea malgukitik askatu eta gorantz irristatzen segitzen du, bere abiadura motelduz, gelditzen den arte.

Blokeak, malgukia ukitzen, beherantz irristatzen badu

Gelditu ondoren, berriro irristatuko du beherantz honako baldintza betetzen bada:

mgsinθ-kx₁≥μ_k·mgcosθ,
ω²x₁≤a₊

Baldintza hori betetzen bada, blokearen desplazamendu maximoa kalkula daiteke (x₂>x₁) energiaren balantzea idatziz:

eta horrela behin eta berriz, amaieran, erabat gelditzen den arte.

Adibidea

• Marruskadura koefizientea  μ_s=μ_k=0.3

• Blokearen masa, m=1 kg

• Maldaren angelua θ=30º

• Malgukiaren konstante elastikoa, k=50 N/m

• Blokearen hasierako posizioa x= -1.0 m

Blokeak beherantz irristatzen du

Irristatzeko baldintza bete egiten da: tanθ≥μ, tan30≥0.3, beraz pausagunetik abiatuta, aldapan behera doa.

Blokearen azelerazioa:

a₊=g(sinθ-μcosθ)=9.8·(sin30º-0.3·cos30º)=2.35 m/s

Jatorriraino iristeko tardatzen duen denbora: (x=0)

0=-1.0+a₊t²/2, t=0.92 s

Eta blokearen v abiadura, jatorritik pasatzean:

v=a₊t, v₀=2.17 m/s

Energiaren ikuspegiaz:

Marruskadura indarra: f_r= μmgcosθ=0.3·1.0·9.8·cos30=2.55 N

Blokeak, malgukia ukitu, eta beherantz irristatzen du

Maiztasun angeluarra ω²=k/m=50 s^-2

Desplazamendu maximoa atzemateko (v=0) tardatzen duen denbora:

Eta beraz, desplazamendu maximoa (x_m):

Energiaren ikuspegia

Bigarren graduko ekuazio hori ebatzi eta emaitza bera ematen du: x_m=0.357 m

Blokeak, malgukia ukitzen, gorantz irristatzen du

Irristatzeko baldintza, ω²x_m≥ a_-.

Azelerazioa: a_-=g(sinθ+μcosθ)=9.8·(sin30º+0.3·cos30º)=7.45 m/s ≤ ω²x_m  , beraz irristatzen du.

Blokea jatorriraino iritsiko da. Tardatuko duen denbora:

Eta blokea jatorritik pasatzean duen v_f  abiadura:

Energiaren ikuspegia:

Blokeak gorantz irristatzen du (malgukia ukitu gabe)

v= -1.03 +7.45 t
x= -1.03·t +7.45·t²/2

Higidura horren hasiera jatorrian bertan da, eta amaiera v abiadura anulatzen denean:  t=0.14 s, x₀= -0.072 m

Blokeak ziklo bat osatu du eta berriz ere beherantz irristatzen hasten da.

x= -0.072+a₊t²/2,
v=a₊t,

Jatorritik pasatzean x=0, t=0.24 s, v₀=0.58 m/s

Blokeak, malgukia ukitzen, beherantz irristatzen du

Higidura hori jarraituko du desplazamendu maximoa atzeman arte:

Eta desplazamendu maximoa: (x_m)

Posizio horretan:

kx_m-mgsinθ ≤ μ_smgcosθ,

1.19<2.55

Ez da betetzen irristatzen segitzeko baldintza, baraz blokea bertan geldituko da.

Saiakuntza

Aukeran idatz daitezke:

• Blokearen eta planoaren arteko marruskadura koefizientea desplazamendu barrari eragiten.

• Maldaren Angelua (gradutan) desplazamendu-barrari eragiten edo laukian idatziz.

• Blokearen masa (m) (kg-tan) dagokion laukian.

• Malgukiaren konstantea (k) (N/m-tan), dagokion laukian.

• Blokearen hasierako posizioa finkotzat hartu da: x₀= -1.0 m.

Hasi botoia sakatu.

Blokearen mugimendu osoa ikusten da, maldan gora eta behera guztiz gelditzen den arte.

Applet-aren azpiko aldean idatzita honako datuak erakusten dira: denbora totala (tt) eta denbora partziala (t), blokearen posizioa (x zentimetrotan) eta abiadura (v, m/s-tan). Eskumako aldean idatzita ere, sistema osoaren aldiuneko energia totala erakusten da. Energia osoa gutxituz doa marruskadurak egindako lanaren eraginez.

Bektoreekin, blokeak jasandako hiru indar erakusten dira:

• Pisuaren osagai paraleloa.

• Marruskadura indarra.

• Malgukiak egindako indarra.

Eskumako aldean, kolorezko barrekin, sistemaren energia mota ezberdinak adierazten dira uneoro:

• Hasierako energia totala laukizuzen beltz eta finkoa.

• Gorriz, malgukiaren energia potentzial elastikoa, beti positiboa.

• Urdinez, blokearen energia zinetikoa.

• Arrosa kolorez, blokearen energia potentzial grabitatorioa; positiboa zein negatiboa izan daiteke, blokea jatorritik gora ala behera dagoen arabera.