Dinamika

Lana eta energia

Lana eta energia

Pendulu sinplea

Malguki elastikoa (I)

Malguki elastikoa (II)

Malguki elastikoa (III)

Partikula bat, goma 
baten muturrean

Lana eta energia
(pista kiribila)

Pendulu konikoa

Oreka eta
egonkortasuna (I)

Oreka eta
egonkortasuna (II)

Oreka eta
egonkortasuna (III)

Oreka eta
egonkortasuna (IV)

Zikloide baten
gainetik irristatzen (I)

Esferaerdi baten
gainetik irristatzen

Esferaerdi baten
barrutik irristatzen

Eskiatzaile bi lehian

Zikloide baten
gainetik irristatzen (II)

Parabola baten
gainetik irristatzen

Kupula erdiesferiko baten gainetik irristatzen, marruskadurarekin

Adibide honetan aztertuko dugu, partikula bat indar kontserbakorren eraginpean mugitzen denean, partikularen energia totala kontserbatzen dela bere ibilbideko puntu guztietan.

m masadun partikula bat irristatuz doa R erradiodun kupula erdiesferiko baten gainean eta, une batean, askatu eta erori egiten da. Kalkula bedi zein posiziotan bukatzen den kontaktua partikularen eta kupularen artean.

Ondoren aztertuko dugu, maila jasoagoz, partikularen higidura kupularen gainean irrist egiten, baina marruskadurarekin.

Kupula erdiesferiko baten gainetik irristatzen, marruskadurarik gabe

Partikula hasieran pausagunean dago kupularen erpinean, oreka ezegonkorrean. Posizio horretatik apur bat aldentzen bada, partikula marruskadurarik gabe hasten da irristatzen eta bere abiadura handitzen. Abiadurak handitzen segitzen du, eta une batean, partikula eta kupularen arteko kontaktua bukatu egiten da eta partikula aske gelditzen da airean. Atal honetan kalkulatuko dugu zein posiziotan askatzen den, (θ_c), alegia zein posiziotan den kupula erdiesferikoaren N erreakzioa nulua.

• Energiaren kontserbazioa

Hasierako posizioan, θ=0, partikularen energia hau da: Ei=mgR Eta ondoren, θ posizioan, partikularen energia:

Energiaren kontserbazioaren printzipioa aplikatuz, E_i=E_f , partikularen v abiadura kalkula dezakegu edozein θ posiziotan.

v²=2gR(1-cosθ)

• Dinamika

Partikulak jasaten dituen indarrak bi dira: Pisua, mg Kupularen erreakzioa, N.

Partikulak ibilbide zirkularra deskribatzen du, R erradioduna, azelerazio tangentzialaz, a_t, eta azelerazio normalaz, a_n. Azelerazio bi horiek kalkula daitezke Newton-en bigarren legea aplikatuz

·        Norabide tangentzialeko higidura-ekuazioa:

mg·sinθ=ma_t

·        Norabide normaleko higidura-ekuazioa

mg·cosθ-N=ma_n

Lehen ekuazioarekin kalkula daiteke θ posizio angeluarra t denboraren menpe:

Bigarrenaz, eta energiaren kontserbazioaren printzipioaz, kupularen N erreakzioa kalkula daiteke, θ posizioaren menpe.

Partikularen eta kupularen arteko kontaktua amaitu egiten da N erreakzioa anulatzen denean. Eta hori gertatzen da θ_c angeluan:

Posizio hori dago, gutxi gora behera, bertikalarekiko 48º osatzen. Emaitza hori  ikusita, angelua ez da kupularen erradioaren menpekoa ezta partikularen masaren menpekoa.

Posizio hori atzematen duenean partikulak abiadura hau du:

Oharra: higiduraren ekuazio diferentziala ebazten bada, eta honako baldintzak ezartzen bazaizkio: θ₀=0, dθ/dt=0, partikula etengabe mantentzen da posizio horretan, oreka ezegonkorreko posizioa delako.

Mugitzen has dadin, partikula pixka bat aldendu behar da oreka-posiziotik: beheragoko programan hartu den hasierako posizioa honakoa da: θ₀=0.02 rad, eta energiaren kontserbazioaren printzipioa aplikatzen da hasierako posizio horretako hasierako abiadura angeluarra kalkulatzeko (dθ/dt).

• Grabitatearen azelerazio konstantepeko mugimendua

Partikulak kupularekin duen kontaktua amaitzen duenean erorketa askea jarraitzen du, alegia ibilbide parabolikoa, eta posizio honetatik abiatzen da: x0=R·sinq y0=R·cosq .

Eta askatzen denean abiadura hau du:

Higiduraren ekuazioak honakoak dira:

Partikulak lurra non joko duen kalkulatzeko bigarren ekuazioan y=0 ezarri eta t denbora bakandu behar da, gero lehen ekuazioan ordezkatzeko.

Adibidea:

Kupularen erradioa R=15 m. bada, partikulak kontaktua galtzen duenean, N=0; hori gertatzen da honako posizio angeluarrean: cosθ= 2/3 eta bere abiadura hau da:

Lurreraino iristean, y=0

0=15·cosθ-v₀·sinθ-½ 9.8·t². Bigarren graduko ekuazioa ebazten da eta: t=0.86 s

Kupularen zentrotik neurtuta distantzia horizontala kalkulatzen da:

x=15·sinθ+ v₀·cosθ·t=16.90 m

Saiakuntza

Aukeran idatz daiteke:

• Kupularen erradioa, metrotan, dagokion desplazamendu-barran.

Hasi botoia sakatu eta partikularen mugimendua hasten da.

Partikularen higidura geldi daiteke gelditu botoia sakatuz, esaterako N erreakzioa noiz anulatzen den atzemateko. Posizio horretara hurbildu eta ondoren pausoka botoia behin eta berriz sakatuz astiro hurbil gaitezke. Zein angelutan askatzen da partikula kupulatik? Mugimendua jarraitzeko jarraitu botoia sakatu.

Applet-aren ezkerreko aldean denbora erakusten da, alegia, partikulak kupularekin kontaktua galdu eta airean higidura parabolikoa deskribatzen hasten denean.

Gaineko eta ezkerreko zirkuluak partikularen energia totala adierazten du: zati gorriak energia zinetikoa adierazten du, eta zati urdinak energia potentziala. Ikus daiteke, energia potentziala energia zinetiko bilakatzen doala, baina energia mota bien batura konstante mantentzen da partikularen bidaia osoan zehar.

Kupula erdiesferiko baten gainetik irristatzen, marruskadurarekin

Demagun orain kupulak marruskadura ere eragiten diola partikulari, eta bere koefiziente zinetikoa μ dela. Kalkulatuko dugu partikularen v abiadura θ posizio angeluarraren menpe, baina oraingoan hasierako posizioan (θ=0) partikula ez da pausagunetik abiatzen, v₀ abiaduraz baizik. Kasu bi gerta daitezke:

• Partikulak kupularekin duen kontaktua galtzera iristea, θ_c angelu batean. Oraingoan angelu hori ez da 48º izango (marruskadurarik gabe ateratzen dena).

• Partikula, kontaktua galdu baino lehen, guztiz gelditzea, v=0.

Higidura zirkularraren dinamika.

Partikulak, θ angelua desplazatu denean, hiru indar jasaten ditu, irudiak erakusten duen bezala: Pisua, mg Kupularen erreakzioa, N Marruskadura indarra, Fr=μN

Partikulak ibilbide zirkularra deskribatzen du, azelerazio tangentzialaz, a_t, eta azelerazio normalaz, a_n. Azelerazio bi horiek kalkula daitezke Newton-en bigarren legea aplikatuz

·        Higiduraren ekuazioa norabide tangentzialean:

mg·sinθ-F_r=ma_t

·        Higiduraren ekuazioa norabide normalean:

mg·cosθ-N=ma_n

Azelerazioaren osagai tangentzial eta normala v abiaduraren menpe honela idatz daitezke:

Higiduraren bigarren ekuazioan N bakanduz eta lehenengoan ordezkatuz, lehen ordenako ekuazio diferentziala lortzen da:

Aldaketa bat eginez, x=v²/(Rg), honako ekuazio diferentziala geratzen da:

Ekuazio diferentzial horren soluzioak bi zati ditu:

Soluzio partikularra, x₁=Asinθ+Bcosθ

Soluzio partikular hori ekuazio diferentzialean ordezkatuz, A eta B koefizienteen balioak lortzen dira:

Eta soluzioaren beste zatia ekuazio diferentzial homogeneoaren soluzioa da:

Atal biak integratuz ondoko erlazioa lortzen da: lnx=2μθ+kte, edota,  x₂=C·exp(2μθ)

Orduan soluzio osoa honakoa da: x=x₁+x₂

C konstantea hasierako baldintzetatik kalkulatzen da: θ=0, v=v₀

Azkenik, ekuazio horretatik v abiadura kalkula daiteke θ angeluaren menpe:

terminoa eskala-faktorea da, eta abiadura erlatibo bat defini daiteke (dimentsiorik gabea) kupularen R erradioaren independentea:

• Ez badago marruskadurarik, μ=0

Adierazpen hori bera energiaren kontserbazioa aplikatuz lortzen da.

Partikulak kupularekin duen kontaktua galdu egiten du N=0 baldintza betetzen denean, eta hori gertatzen da θ_c angeluan. Angelu hori lortzen da norabide erradialeko ekuaziotik:

 

θ_c angelu horretatik aurrera partikulak ibilbide parabolikoa jarraitzen du, aurreko atalean azaldu den bezala.

• Marruskadura badago, μ≠0, kasu bi gerta daitezke:

Partikulak kupularekin duen kontaktua galtzera iristea, hau da, N erreakzioa anulatzera iristea oraindik v>0 denean.

Partikula gelditzea, v=0, oraindik N>0 denean.

Energiaren balantzea

Partikularen energia hasierako posizioan:

• Energia zinetikoa E_k=mv₀²/2

• Energia potentziala E_p=mgR

Eta partikularen energia θ posizio angeluarrean dagoenean:

• Energia zinetikoa E_k=mv²/2

• Energia potentziala E_p=mgRcosθ

Marruskadura indarrak, Fr=μN, norabide tangentziala du, desplazamenduaren norabide bera, baina aurkako noranzkoa. Desplazamendua honela idatz daiteke: R·dθ. Eta marruskadura indarrak egindako lana:

Marruskadura indarrak egindako lana negatiboa da, W_nc<0, eta energien arteko diferentzia kalkulatzen ere lor daiteke: amaierako energia ken hasierako energia.

Egiazta daiteke, prozedura bietatik emaitza bera lortzen dela, eta marruskadura indarrak egindako lana hau dela:

Adibidea 

• Marruskadura nulua, μ=0

Hasierako abiadura, v₀=1.5m/s.

Partikulak kupularekin duen kontaktua galtzen du posizio honetan: θ_c=42º.

• Marruskadura ez nulua

Demagun μ=0.3 eta v₀=1.8m/s

Esaterako θ=30º denean, abiadura v=1.97m/s eta erreakzio normala N=4.59N

Geroago, θ=40º denean, abiadura v=2.34m/s eta erreakzio normala N=2.01N

Partikulak kontaktua galtzen du kupularekin honako posizioan: θ_c=46º, v=2.61m/s eta N≈0

Saia zaitez aurkitzen zein balio izan behar dituzte hasierako v₀ abiadurak eta μ marruskadura koefizienteak, askatze angelua, θ_c, ahalik eta handiena izan dadin, alegia 90º-tik ahalik eta hurbilen. Saia zaitez honako datuekin: μ=1.0 eta v₀=2.257.

Saiakuntza

Aukeran idatz daitezke:

• Marruskadura koefizientea, μ, partikularen eta kupularen gainazalaren artean.

• Partikularen hasierako abiadura, v₀, hasierako posizioan, θ=0.

• Partikularen masa finkotzat hartu da: m=1 kg.

• Kupularen erradioa ere finkotzat hartu da: R=1 m.

Hasi botoia sakatu.

Partikula mugitzen ikusten da kupularen gainean irristatzen. Partikulak jasaten dituen indarrak erakusten dira: pisua mg, erreakzio normala N, eta marruskadura indarra F_r.

Applet-aren goiko eta eskumako aldean honako datu multzoa erakusten da:

• Denbora, t, segundotan.

• Posizio angeluarra, θ, gradutan

• Partikularen abiadura, v, m/s-tan.

Erreakzio normala anulatzen denean, alegia partikulak kupularekin kontaktua galtzen duenean, v abiadura eta θ_c askatze-posizioa idatzita geratzen dira.

Applet-aren goiko eta ezkerreko aldean zirkulu batek partikularen energia totala adierazten du. Zati gorriak energia zinetikoa adierazten du eta zati urdinak energia potentziala. Ikus daiteke energia potentziala energia zinetiko bilakatzen doala, baina bien batura totala ez da konstante mantentzen, kupularen gainetik irristatzen ari den bitartean marruskadura badago. Zirkulu handienaren zati beltzak marruskadura indarrak egindako lana adierazten du.