Medida de la constante de Boltzmann

Si un conjunto de partículas cada una de volumen V y densidad ρs está suspendida en un líquido de densidad ρl. En el equilibrio, el número de partículas por unidad de volumen cambiará con la altura x de la forma

n(x)= n 0 exp( ( ρ s ρ l )Vg kT x )

n0 es la concentración de partículas en el fondo del recipiente, n(x) es la concentración a una altura x por encima del fondo, T es la temperatura absoluta, y k es la constante de Boltzmann.

La deducción de esta fórmula es idéntica a la de la variación de la presión con la altura en una atmósfera isoterma.

Einstein en 1905, sugirió que esta distribución exponencial se podría observar con partículas idénticas de muy pequeño tamaño y que a partir de la medida de la variación de la densidad n(x), se podría determinar la constante k. Jean Perrin realizó por primera vez este experimento en 1908.

En el experimento descrito en el artículo citado en las referencias, se emplean esferas de poliestireno de 1.011 µm de diámetro y de densidad ρs=1.053 g/cm3

Las esferas se suspenden en agua pura ρl=1.0 g/cm3o en una solución de agua y glicerol cuya densidad es ligeramente superior a la del agua, y cuyo efecto es la de expandir la distribución exponencial tal como se muestra en la figura.

Actividades

Se pulsa el botón titulado Nuevo.

Se representa la distribución de partículas (puntos de color rojo) con la altura x medida en µm=10-6 m

Actuamos sobre la la barra de desplazamiento Zona, para contar el número de partículas en los intervalos especificados.

Los intervalos aparecen ampliados en la parte derecha, simulando que se observan con el microscopio.

Contamos el número de partículas que hay en el intervalo 0-5 µm y se lo asignamos a la altura x=2.5 µm, (en el primer control de edición de la parte izquierda del applet)

Actuamos en la flecha derecha de la barra de desplazamiento titulado Zona

Contamos el número de partículas que hay en el intervalo 5-10 µm y se lo asignamos a la altura x=7.5 µm

Continuamos el proceso hasta completar 10 intervalos.

Para evitar el proceso tedioso de contar las partículas, el programa interactivo lo hace por nosotros, y nos proporciona este dato.

x(μm)2.57.512.517.522.527.532.537.542.547.5
n54039129721015411482664021

Se representa

Se representan los datos “experimentales” y la recta que mejor ajusta. Determinamos la constante de Boltzmann k a partir de la pendiente de la recta.

x=2.5+(0:9)*5;
y=[540,391,297,210,154,114,82,66,40,21];
plot(x,log(y),'ro','markersize',4,'markerfacecolor','r')
xlabel('x(\mum)')
ylabel('log(n)')
title('Constante de Boltzmann')
grid on

En el menú seleccionamos Tools/Basic Fitting, aparece un cuadro de diálogo donde marcamos la casilla linear en Plot fits. A continuación, pulsamos la flecha hacia la derecha --> para mostrar los coeficientes p1 y p2 del polinomio (recta) y=p1*x+p2 de ajuste.

ln(n)=ln( n 0 ) ( ρ s ρ l )Vg kT x

La densidad del líquido es ρl=1.004 g/cm3=1004 kg/m3

La pendiente de la recta en la gráfica es -0.067666. Como el eje horizontal está en µm, la pendiente es -0.067666·106 m-1

( ρ s ρ l )Vg kT (10531004)· 4 3 π ( 1 2 1.011· 10 6 ) 3 ·9.8 k·295 =0.067666· 10 6

k=1.302·10-23 J/K

El valor que aparece en las tablas de las constantes es k=1.38·10-23 J/K

Referencias

Horne M., Farago P., Oliver J., An experiment to measure Boltzmann's constant. Am. J. Phys. 41, March 1975, pp. 344-348