Atmósfera isoterma

Examinemos las fuerzas sobre un pequeño volumen sección A y de espesor Δy comprendido entre las alturas y e y+Δy. La fuerza de la gravedad sobre esta porción de la atmósfera es

F_y=-mg(n·A·Δy)

Donde m es la masa de una molécula y n es el número de moléculas por unidad de volumen, que es una función de la altura y, que vamos a determinar.

La fuerza F_y es compensada por la diferencia de presión en las altitudes y e y+Δy, tal como se ve en la figura.

${\displaystyle \left(p(y+\Delta y)-p(y)\right)A=-mg(n·A·\Delta y)}$

o bien,

${\displaystyle \frac{p(y+\Delta y)-p(y)}{\Delta y}=-nmg}$

En el límite cuando Δy tiende a cero, obtenemos la derivada de la presión

${\displaystyle \frac{dp}{dy}=-nmg}$

Si consideramos la atmósfera como un gas ideal, se cumple que pV=NkT, o bien p=nkT.

• El número de moléculas  es igual al número de Avogadro por el número de moles, N=N_A·n
• El número de Avogadro por la constante k de Boltzmann nos da la constante R=kN_A de los gases, N_A=6.0225·10²³ moléculas/mol, k=1.3805·10^-23 J/K, R=8.3143 J/(K·mol)

${\displaystyle \frac{dn}{dy}=-n\frac{mg}{kT}}$

Integrando esta ecuación, obtenemos

${\displaystyle n=n_0\exp \left(\frac{-mgy}{kT}\right)}$

donde n₀ es el número de moléculas por unidad de volumen a nivel del mar.

El número de moléculas por unidad de volumen decrece exponencialmente con la altura. Es importante destacar que el numerador en la función exponencial mgy representa la energía potencial de las moléculas individuales con respecto al nivel del mar. Por tanto, la distribución de moléculas con la altura sigue la ley de Boltzmann.

Como la ecuación de los gases ideales es p=nkT. La presión también disminuye exponencialmente con la altura

${\displaystyle p=p_0\exp \left(\frac{-mgy}{kT}\right)}$

donde p₀ es la presión al nivel del mar, una atmósfera.

Se denomina H al cociente

${\displaystyle H=\frac{kT}{mg}=\frac{1.38·{10}^{-23}·288}{29·1.66·{10}^{-27}·9.8}=8.42\text{km}}$

La presión disminuye exponencialmente p=p₀exp(-y/H) con la altura para una atmósfera isoterma

La gravedad varía con la altura

La aceleración de la gravedad g no es constante sino que disminuye con la altura y

${\displaystyle g=G\frac{M}{r^2}=G\frac{M}{R^2}\frac{1}{{\left(1+y/R\right)}^2}=\frac{g_0}{{\left(1+y/R\right)}^2}}$

donde g₀ es la aceleración de la gravedad a nivel del mar, 9.8 m/s²

Integramos la ecuación diferencial

${\displaystyle \frac{dn}{dy}=-n\frac{m}{kT}\frac{g_0}{{\left(1+y/R\right)}^2}}$

con las condiciones iniciales y=0, n=n₀

${\displaystyle \begin{array}{l}{\displaystyle \underset{n_0}{\overset{n}{\int }}\frac{dn}{n}}=-\frac{m{g}_0}{kT}{\displaystyle \underset{0}{\overset{y}{\int }}\frac{dy}{{\left(1+y/R\right)}^2}}\\ \ln \frac{n}{n_0}=-\frac{m{g}_{0}R}{kT}\left(1-\frac{R}{R+y}\right)\\ p=p_0\exp \left\{-\frac{1}{1+y/R}\frac{y}{H}\right\}\end{array}}$

Efecto de la rotación de la Tierra

La gravedad es máxima en el polo y mínima en el ecuador, debido a la rotación de la Tierra con velocidad angular ω=2π/(24·60·60) rad/s

Supongamos que la atmósfera en equilibrio gira solidariamente con la Tierra a la misma velocidad angular. En el ecuador, la acelación de la gravedad es

${\displaystyle g=\frac{g_0}{{\left(1+y/R\right)}^2}-{\omega }^{2}R\left(1+y/R\right)}$

Dado que ω²R/g₀=3.44·10^-3, el efecto de la rotación será muy pequeño a bajas alturas

${\displaystyle \begin{array}{l}{\displaystyle \underset{n_0}{\overset{n}{\int }}\frac{dn}{n}}=-\frac{m}{kT}{\displaystyle \underset{0}{\overset{y}{\int }}\left\{\frac{g_0}{{\left(1+y/R\right)}^2}-{\omega }^{2}R\left(1+y/R\right)\right\}dy}\\ \ln \frac{n}{n_0}=-\frac{m}{kT}\left\{g_{0}R\left(1-\frac{R}{R+y}\right)-{\omega }^{2}Ry\left(1+\frac{y}{2R}\right)\right\}\\ p=p_0\exp \left\{\left(-\frac{1}{1+y/R}+\frac{{\omega }^{2}R}{g_0}\left(1+\frac{y}{2R}\right)\right)\frac{y}{H}\right\}\end{array}}$

Representamos el cociente p/p₀ para una atmósfera isoterma a la temperatura de 288 K (15°). La atmósfera isoterma es aplicable hasta 6 km de altura, sin error apreciable y también en una zona alrededor de 20 km de altura donde la temperatura es constante 217 K (-56°).

H=8420;
R=6370*1000; %radio de la Tierra
hold on
%gravedad constante
f=@(y) exp(-y/H);
fplot(f,[0,6000]);
%gravedad varía con la altura
g=@(y) exp(-y./(H*(1+y/R)));
fplot(g,[0,6000]);
%efecto de la rotación y de la gravedad
w2R=(2*pi/(24*60^2))^2*R;
gr=@(y) exp((-1./(1+y/R)+w2R*y.*(1+y/(2*R))/(9.8*H)).*y/H);
fplot(gr,[0,6000]);
hold off
grid on
xlabel('h(m)')
ylabel('p/p_0')
legend('constante','variable','variable+rotación')
title('Atmósfera isoterma')

El efecto de la variación de la gravedad con la altura y de la rotación es inperceptible en la representación gráfica, para bajas alturas, menores de 6 km. Para alturas elevadas y=0.01·R=63.7 km, se aprecian algunas diferencias entre los valores de las tres funciones que describen:

• f, la gravedad constante
• g, la gravedad disminuye con la altura
• gr, la gravedad disminuye con la altura combinada con el efecto de la rotación de la Tierra en el ecuador

>> g(0.01*R)/f(0.01*R)
ans =    1.0778
>> gr(0.01*R)/f(0.01*R)
ans =    1.3134

Variación de la presión con la profundidad

Supongamos que excavamos un túnel en la dirección del centro de la Tierra, vamos a calcular como varía la presión con la profundidad y<0

En la página titulada La aceleración de la gravedad en el interior y en el exterior de una distribución esférica y uniforme de masa calculamos la aceleración de la gravedad g a una distancia r=R+y del centro de la Tierra, o a una profundidad y<0.

${\displaystyle g=GM\frac{r}{R^3}=g_0\left(1+\frac{y}{R}\right)}$

Integramos la ecuación diferencial

${\displaystyle \frac{dn}{dy}=-n\frac{m}{kT}{g}_0\left(1+y/R\right)}$

con las condiciones iniciales y=0, n=n₀

${\displaystyle \begin{array}{l}{\displaystyle \underset{n_0}{\overset{n}{\int }}\frac{dn}{n}}=-\frac{m{g}_0}{kT}{\displaystyle \underset{0}{\overset{y}{\int }}\left(1+y/R\right)dy}\\ \ln \frac{n}{n_0}=-\frac{m{g}_0}{kT}y\left(1+\frac{y}{2R}\right)\\ p=p_0\exp \left\{-\left(1+\frac{y}{2R}\right)\frac{y}{H}\right\}\end{array}}$

H=8420;
R=6370*1000; %radio de la Tierra
f=@(y) exp(-(1+y/(2*R)).*y/H);
fplot(f,[-6000,0]);
grid on
xlabel('h(m)')
ylabel('p/p_0')
title('Atmósfera isoterma')

Calculamos la presión a las profundidades y=-5.8 km, -58 km y en el centro de la Tierra -6370 km

>> f(-5800)
ans =    1.9908
>> f(-58000)
ans =  950.5124
>> f(-R)
ans =  1.9004e+164

La atmósfera lineal

La suposición de que la temperatura de la atmósfera es la misma para cualquier altura no es correcta. En el avión nos informan que la temperatura exterior es muy baja cuando el avión vuela a gran altura. La temperatura en general no varía linealmente con la altura, sino de forma más compleja dependiendo de la capa atmosférica. Por ejemplo, la troposfera que es una capa que se extiende desde 12 km a 16 km de altura, la temperatura disminuye a razón de a=-6.5 ºC/km. Entre 20 y 32 km, debido a la capa de ozono, la temperatura aumenta a razon de a=-1 K/km

Supongamos que la variación de la temperatura con la altura es de la forma

T=T₀-ay

donde T₀ es la temperatura a nivel del suelo y a es el gradiente de temperatura. Por ejemplo -6.5 ºC/km.

Partimos de la expresión

${\displaystyle \frac{dn}{dy}=-n\frac{mg}{kT}\frac{dn}{dy}=-n\frac{mg}{k(T_0-ay)}}$

Integrando

${\displaystyle \begin{array}{l}{\displaystyle \underset{n_0}{\overset{n}{\int }}\frac{dn}{n}}=-\frac{mg}{k}{\displaystyle \underset{0}{\overset{y}{\int }}\frac{dy}{(T_0-ay)}}\ln \left(\frac{n}{n_0}\right)=\frac{mg}{ka}\ln \left(\frac{T_0-ay}{T_0}\right)\\ p=p_0{\left(1-\frac{a}{T_0}y\right)}^{mg/(ka)}\end{array}}$

En la figura, se compara la variación de la presión p/p₀ con la altura y, en el caso de una atmósfera isoterma y a variación de la presión con la altura para una atmósfera lineal

%mg/k = 29·1.67·10-27·9.8/1.38·10-23
CTE=29*1.66e-27*9.8/1.38e-23;
a=6.5e-3;  %-6.5°/km
T0=288; %temperatura en la superficie y=0.
hold on
f=@(y) exp(-CTE*y/T0); %atmósfera isoterma
fplot(f, [0,6000])
g=@(y) (1-a*y/T0).^(CTE/a); %atmósfera lineal 
fplot(g, [0,6000])
hold off
grid on
xlabel('h(m)')
ylabel('p/p_0')
legend('isoterma','lineal')
title('Atmósfera lineal')

La atmósfera estándar

En la página web de la NASA (National Aeronautics and Space Administration) titulada Earth Atmosphere model se describe un modelo de atmósfera que consta de tres zonas. La altura h se da en metros, la temperatura T en gardos centígrados y la presión p en kilo pascals

• Por debajo de 11000 m de altura. La temperatura disminuye linealmente y la presión disminuye

T=15.04-0.00649·h
p=101.29·[(T+273.1)/288.08]^5.256

• De 11000 m a 25000 m de altura. La temperatura es constante y la presión disminuye exponencialmente

T=-56.46
p=22.65·exp(1.73-0.000157·h)

• Por encima 25000 m de altura. La temperatura aumenta ligeramente y la presión disminuye

T=-131.21+0.00299 ·h
p=2.488·[(T+273.1)/216.6]^-11.388

La ecuación de estado relaciona la densidad ρ con la presión p y la temperatura T

ρ=p/[0.2869·(T+273.1)]

Representamos la temperatura T en grados centígrados en función de la altura h en km

h=0:100:50000; %altura hasta 50 km
T=(h<11000).*(15.04-0.00649*h)+(h>=11000 & h<25000).*(-56.46)+
(h>=25000).*(-131.21+0.00299*h);
plot(h/1000,T)
grid on
xlabel('h (km)')
ylabel('t °C')
title('Temperatura')

Representamos la presión p en kilo pascal en función de la altura h en km

h=0:100:50000; %altura hasta 50 km
zona1=h<11000;
zona2=h>=11000 & h<25000;
zona3=h>=25000;
T=zona1.*(15.04-0.00649*h)+zona2.*(-56.46)+zona3.*(-131.21+0.00299*h);

p=zona1.*(101.29*((T.*zona1+273.1)/288.08).^5.256)+
zona2.*(22.65*exp(1.73-.000157*h.*zona2))
+zona3.*(2.488*((T.*zona3+273.1)/216.6).^-11.388);
plot(h/1000,p)
grid on
xlabel('h (km)')
ylabel('p (kPa)')
title('Presión')

Representamos la densidad ρ en kg/m³ en función de la altura h en km

h=0:100:50000; %altura hasta 50 km
zona1=h<11000;
zona2=h>=11000 & h<25000;
zona3=h>=25000;
T=zona1.*(15.04-0.00649*h)+zona2.*(-56.46)+zona3.*(-131.21+0.00299*h);
p=zona1.*(101.29*((T.*zona1+273.1)/288.08).^5.256)+
zona2.*(22.65*exp(1.73-.000157*h.*zona2))
+zona3.*(2.488*((T.*zona3+273.1)/216.6).^-11.388);

rho=zona1.*(p.*zona1./(0.2869*(T.*zona1+273.1)))+
zona2.*(p.*zona2./(0.2869*(T.*zona2+273.1)))
+zona3.*(p.*zona3./(0.2869*(T.*zona3+273.1)));
plot(h/1000,rho)
grid on
xlabel('h (km)')
ylabel('kg/m^3')
title('Densidad')

Máxima fuerza de rozamiento

Cuando un cuerpo se mueve en el seno de un fluido, experimenta una fuerza de rozamiento que tiene la expresión

${\displaystyle F_r=C_D\frac{1}{2}{\rho }_{f}A{v}^2}$

Donde C_D se denomina coeficiente de arrastre, ρ_f es la densidad del fluido, A es el área de la sección transversal a la dirección del movimiento y v es la velocidad relativa del objeto respecto del fluido. La fuerza de rozamiento F_r es poporcional a la densidad del aire y al cuadrado de la velocidad

Para un cohete que despega verticalmente, la densidad del aire disminuye rápidamente con la altura h. El cohete parte del reposo y aumenta rápidamente su velocidad v, por tanto, habrá un momento para el cual, la fuerza de rozamiento F_r alcanza máximo valor.

Hasta 11000 metros se puede expresar la densidad ρ en función de la altura h

${\displaystyle \begin{array}{l}\rho =\frac{101.29{\left(\frac{\left(T+273.1\right)}{288.08}\right)}^{5.256}}{101.29\left(T+273.1\right)}=\frac{101.29}{101.29·{288.08}^{5.256}}{\left(T+273.1\right)}^{4.256}=\\ \frac{101.29}{101.29·{288.08}^{5.256}}{\left(15.04-0.00649h+273.1\right)}^{4.256}\end{array}}$

De la forma

${\displaystyle \rho ={\rho }_0{\left(1-\frac{h}{H}\right)}^n}$

Donde ρ₀=1.2266 kg/m³ es la densidad del aire en el suelo, H=44397 m y n=4.256

Sean x y v la altura y velocidad vertical del cohete en el instante t. Calculamos el máximo de una función proporcional a la densidad ρ y al cuadrado de la velocidad v

${\displaystyle \begin{array}{l}f=\rho v^2={\rho }_0{\left(1-\frac{x}{H}\right)}^n{v}^2\\ \frac{df}{dt}={\rho }_{0}n\left(-\frac{v}{H}\right){\left(1-\frac{x}{H}\right)}^{n-1}{v}^2+2{\rho }_0{\left(1-\frac{x}{H}\right)}^{n}v\frac{dv}{dt}=0\\ -n\frac{v^2}{H}+2\left(1-\frac{x}{H}\right)\frac{dv}{dt}=0\end{array}}$

El caso más sencillo, se presenta cuando el cohete, se mueve verticalmente con aceleración a constante. Su velocidad es v=at y la altura es x=at²/2 en el instante t.

${\displaystyle t=\sqrt{\frac{2H}{(n+1)a}}}$

Por ejemplo, suponiendo una aceleración constante de alrededor de 6.5 m/s², el instante t en el que la fuerza de rozamiento alcanza su máximo valor es 51 s, el cohete se encuentra a una altura de 8450 m. En un vuelo real, el cohete sube verticalmente, después se va inclinando, la aceleración se va incrementando a medida que va gastando el combustible y pierde peso.

En la página titulada Movimiento vertical de un cohete se deducen las expresiones de la posición x, velocidad v y aceleración dv/dt en función del tiempo, de un cohete de masa m₀ al despegar y empuje constante uD. Al sustituirlos en la última ecuación, obtenemos una ecuación transcendente en t que hemos de resolver por procedimientos numéricos.

Reducción de la presión de un gas en un campo de fuerzas centrífugo

Sean dos placas planas paralelas en forma de disco de radio R. Se conecta la placa inferior a un motor, debido a la viscosidad, al cabo de un cierto tiempo, el aire entre los dos discos y el disco superior adquieren la misma velocidad angular de rotación ω.

En la página titulada Trabajo, energía cinética y energía potencial, vimos que la fuerza que ejerce un muelle elástico sobre una partícula, F=-kx es conservativa y la energía potencial es kx²/2, tomando como nivel cero de energía potencial cuando el muelle está sin deformar, x=0

Cuando una partícula de masa m está situada a una distancia r del eje de rotación de una plataforma que gira con velocidad angular constante ω, experimenta una fuerza centrífuga mω²r. Esta fuerza es conservativa y su energía potencial es

${\displaystyle U(r)=-\frac{1}{2}m{\omega }^2{r}^2}$

tomando como nivel cero de energía potencial cuando la partícula está en el eje r=0.

En una atmósfera isoterma, el número n de moléculas por unidad de volumen decrece con la altura y. Del mismo modo, en un campo de fuerza centrífugo, el número de moléculas por unidad de volumen n(r) varía con la distancia r al eje de rotación.

Supongamos que entre las placas en rotación a velocidad angular ω constante, hay un gas ideal (aire) formado por moléculas de masa m a la temperatura T

${\displaystyle n(r)=n_0\exp \left(-\frac{U(r)}{kT}\right)=n_0\exp \left(\frac{m{\omega }^2{r}^2}{2kT}\right)}$

Una relación similar se obtiene para la presión p, ya que para un gas ideal a la temperatura T, p=nKT

${\displaystyle p(r)=p_0\exp \left(\frac{m{\omega }^2{r}^2}{2kT}\right)}$

p₀ es la presión en el eje de los discos, r=0. En el exterior y en el borde de los discos r=R, la presión es la atmósférica

${\displaystyle \begin{array}{l}{p}_{atm}=p_0\exp \left(\frac{m{\omega }^2{R}^2}{2kT}\right)\\ p(r)=p_{atm}\exp \left(-\frac{m{\omega }^2{R}^2}{2kT}\left(R^2-r^2\right)\right)\end{array}}$

Calculamos la fuerza que ejerce la presión sobre el disco superior

• La presión atmosférica ejerce una fuerza hacia abajo p_atm(πR²)

• La presión del gas en el interior de los discos varía con la distancia al eje r, ejerce una fuerza hacia arriba

La resultante F hacia abajo es

${\displaystyle \begin{array}{l}F=p_{atm}\left(\pi R^2\right)-{\displaystyle \underset{0}{\overset{R}{\int }}p(r)\left(2\pi r·dr\right)=}\\ p_{atm}\left(\pi R^2\right)-2\pi p_{atm}{\displaystyle \underset{0}{\overset{R}{\int }}r·\exp \left(-\frac{m{\omega }^2}{2kT}\left(R^2-r^2\right)\right)dr=}\\ p_{atm}\left(\pi R^2\right)\left\{1-{\left(\frac{v_{máx}}{\omega R}\right)}^2\left(1-\exp \left(-{\left(\frac{\omega R}{v_{máx}}\right)}^2\right)\right)\right\}\end{array}}$

Donde, $v_{máx}=\sqrt{\frac{2kT}{m}}$ es la velocidad de las moléculas del gas para la cual la función de distribución de velocidades presenta un máximo

Habitualmente, ωR<<v_máx, salvo en ultracentrifugadoras. Para el oxígeno v_máx a 300 K es

>> sqrt(2*1.3805e-23*300/(0.032/6.0225e23))
ans =  394.8274

Desarrollamos en serie, exp(x)≈1+x+x²/2

${\displaystyle \begin{array}{l}F\approx p_{atm}\left(\pi R^2\right)\left\{1-{\left(\frac{v_{máx}}{\omega R}\right)}^2\left(1-\left[1+{\left(\frac{\omega R}{v_{máx}}\right)}^2+\frac{1}{2}{\left(\frac{\omega R}{v_{máx}}\right)}^4\right]\right)\right\}\\ F\approx \frac{1}{2}{p}_{atm}\left(\pi R^2\right){\left(\frac{\omega R}{v_{máx}}\right)}^2=\frac{\pi }{4}\rho R^4{\omega }^2\end{array}}$

Donde, la densidad es ρ=nm, y la ecuación del gas ideal es p=nkT

Ejemplo: Sea el radio de los discos R=15.7 cm, la velocidad angular de rotación ω=1800 rpm=60π rad/s, la densidad del aire es ρ=1.2 kg/m³

La fuerza, F=20.3 N

Diferencia de presión en una estación espacial

Una estación espacial tiene forma de cilindro de radio R₀, lleno de aire. El cilindro gira alrededor de su eje de simetría con velocidad angular ω, para proporcionar una aceleración en su superficie lateral similar a la de la gravedad en la superficie de la Tierra. ω²R₀≈g=9.81 m/s²

Si la temperatura T dentro de la estación espacial es constante, calcularemos el cociente entre la presión del aire en el eje del cilindro y en su superficie lateral

Consideremos una capa cilíndrica de radio r longitud L y espesor Δr. La diferencia de presión entre las dos superficies laterales (interior y exterior), multiplicada por el área de dichas superficies es igual la fuerza centrífuga sobre la porción de masa de aire contenido en dicha capa.

${\displaystyle \left(p(r+\Delta r)-p(r)\right)2\pi rL=\left(\rho 2\pi rL·\Delta r\right){\omega }^{2}r}$

2πrL es la superficie lateral de un cilindro de radio r y longitud L

$\pi {\left(r+\Delta r\right)}^{2}L-\pi r^{2}L\approx 2\pi rL·\Delta r$, es el volumen de la capa cilíndrica y ρ es la densidad del aire.

En el límite cuando Δr→0

${\displaystyle \frac{dp}{dr}=\rho {\omega }^{2}r}$

Si consideramos el aire como un gas ideal

${\displaystyle \begin{array}{l}pV=\frac{m}{M}RT\\ \rho =\frac{M}{RT}p\end{array}}$

m es la masa de aire, M=28.9 g/mol es su peso molecular y R=8.3143 J/(K·mol) la constante de los gases

${\displaystyle \frac{dp}{dr}=\frac{M{\omega }^2}{RT}pr}$

Integrando

${\displaystyle \begin{array}{l}{\displaystyle \underset{p(0)}{\overset{p(R)}{\int }}\frac{dp}{p}}=\frac{M{\omega }^2}{RT}{\displaystyle \underset{0}{\overset{R_0}{\int }}rdr}\\ \ln \left(\frac{p(R)}{p(0)}\right)=\frac{M{\omega }^2}{2RT}{R}_0^2\\ \frac{p(0)}{p(R)}=\exp \left(-\frac{Mg{\omega }^2}{2RT}{R}_0^2\right)\end{array}}$

La presión en el eje p(0) es menor que la presión en la superficie cilíndrica p(R)

Medida de la diferencia de presión

Sea un tubo horizontal de sección S y longitud L cerrado por un extremo que contiene aire de densidad ρ_a a la temperatura constante T. Por el otro extremo, termina en un tubo delgado que está sumergido en un depósito de líquido de densidad ρ_f.

El depósito es grande y está abierto a la atmósfera cuya presión es p_a.

El tubo horizontal gira con velocidad angular constante ω, alrededor de un eje, que coincide con el del tubo vertical.

Supondremos que el aire del depósito es un gas ideal a una temperatura constante T. Ignoramos el volumen y los efectos de la capilaridad del tubo vertical de pequeño radio

A una disminución de la presión en el eje, le corresponde una ascensión h del líquido del depósito por el tubo vertical. Vamos a realcionar la velocidad angular de rotación ω y la altura h a la que asciende el líquido

Partimos de la ecuación, que nos relaciona el gradiente de presión dp/dr con la distancia r al eje de rotación

${\displaystyle \frac{dp}{dr}=\rho {\omega }^{2}r}$

Supondremos que el aire es una gas ideal, la presión p y la densidad ρ son proporcionales

${\displaystyle \begin{array}{l}pV=\frac{m}{M}RT,\rho =\frac{m}{V}=\frac{pM}{RT}\\ \frac{d\rho }{dr}=\frac{M{\omega }^2}{RT}\rho r\end{array}}$

Separando variables e integrando

${\displaystyle \begin{array}{l}{\displaystyle \underset{0}{\overset{r}{\int }}\frac{d\rho }{\rho }}=\frac{M{\omega }^2}{RT}{\displaystyle \underset{0}{\overset{r}{\int }}r·dr}\\ \ln \left(\frac{\rho }{{\rho }_0}\right)=\frac{M{\omega }^2}{2RT}{r}^2\\ \rho ={\rho }_0\exp \left(\alpha r^2\right),\alpha =\frac{M{\omega }^2}{2RT}\end{array}}$

donde ρ₀ es la densidad del aire para r=0, en el eje de rotación.

La masa de aire de densidad constante ρ_a que contiene el depósito en reposo, es la misma que girando, con una densidad no uniforme que varía con r. De modo que

${\displaystyle {\rho }_{a}SL={\displaystyle \underset{0}{\overset{L}{\int }}{\rho }_0}\exp \left(\alpha r^2\right)(S·dr)}$

dm=(ρS·dr) es la masa contenida en el elemento diferencial de volumen S·dr dibujado en la figura.

Para pequeños valores de la velocidad angular de rotación, ω, aproximamos la exponencial por los dos primeros términos de su desarrollo en serie y a continuación, 1/(1+x)≈1-x, para x<<1

>> syms a x;
>> taylor(exp(a*x^2))
ans =(a^2*x^4)/2 + a*x^2 + 1

Por ejemplo, para el aire a 20 grados: masa molecular M=28.96 kg/mol, la constante R=8.3143 J/(K·mol), T=293 K. El parámetro, α=0.00593ω²

${\displaystyle \begin{array}{l}{\rho }_{a}SL\approx {\displaystyle \underset{0}{\overset{L}{\int }}{\rho }_0}\left(1+\alpha r^2+\mathrm{...}\right)(S·dr)\\ {\rho }_a\approx {\rho }_0\left(1+\frac{1}{3}\alpha L^2\right)\\ {\rho }_0\approx {\rho }_a\left(1-\frac{1}{3}\alpha L^2\right)\\ p_0\approx p_a\left(1-\frac{1}{3}\alpha L^2\right)\end{array}}$

Donde p₀ es la presión en el eje, un poco menor que la presión atmósférica, como consecuencia el líquido del depósito asciende hasta una altura h.

${\displaystyle \begin{array}{l}{p}_a=p_0+{\rho }_{f}gh\\ h=\frac{M{p}_a}{RT}\frac{{\omega }^2{L}^2}{6g{\rho }_f}=\frac{{\omega }^2{L}^2}{6g}\frac{{\rho }_a}{{\rho }_f}\end{array}}$

La altura h es proporcional al cuadrado del producto ωL (la velocidad angular de rotación del tubo horizontal por longitud de dicho tubo)

Referencias

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