Modelos simples de atmósfera

Atmósfera isoterma

Examinemos las fuerzas sobre un pequeño volumen sección A y de espesor Δy comprendido entre las alturas y e y+Δy. La fuerza de la gravedad sobre esta porción de la atmósfera es

Fy=-mg(n·A·Δy)

Donde m es la masa de una molécula y n es el número de moléculas por unidad de volumen, que es una función de la altura y, que vamos a determinar.

La fuerza Fy es compensada por la diferencia de presión en las altitudes y e y+Δy, tal como se ve en la figura.

( p(y+Δy)p(y) )A=mg(n·A·Δy)

o bien,

p(y+Δy)p(y) Δy =nmg

En el límite cuando Δy tiende a cero, obtenemos la derivada de la presión

dp dy =nmg

Si consideramos la atmósfera como un gas ideal, se cumple que pV=NkT, o bien p=nkT.

dn dy =n mg kT

Integrando esta ecuación, obtenemos

n= n 0 exp( mgy kT )

donde n0 es el número de moléculas por unidad de volumen a nivel del mar.

El número de moléculas por unidad de volumen decrece exponencialmente con la altura. Es importante destacar que el numerador en la función exponencial mgy representa la energía potencial de las moléculas individuales con respecto al nivel del mar. Por tanto, la distribución de moléculas con la altura sigue la ley de Boltzmann.

Como la ecuación de los gases ideales es p=nkT. La presión también disminuye exponencialmente con la altura

p= p 0 exp( mgy kT )

donde p0 es la presión al nivel del mar, una atmósfera.

Para el nitrógeno N2 a la temperatura de 300 K

mg k = 28·1.66· 10 27 ·9.8 1.38· 10 23 =0.033

Representamos la presión p/p0 con la altura para una atmósfera isoterma a la temperatura de 270 K. La disposición de la gráfica es algo inusual, ya que los ejes están girados, en el eje vertical se representa la altura sobre el nivel del mar (variable independiente) y el eje horizontal, la presión (variable dependiente).

%mg/k para el nitrógeno 28·1.67·10-27x9.8/1.38·10-23
CTE=0.0332;
T=270; %temperatura (cambiar)
y=0:100:10000; %altura
p=exp(-CTE*y/T); %presión
plot(p,y)
xlabel('p(atm)')
ylabel('h(m)')
title('Atmósfera isoterma')

La atmósfera lineal

La suposición de que la temperatura de la atmósfera es la misma para cualquier altura no es correcta. En el avión nos informan que la temperatura exterior es muy baja cuando el avión vuela a gran altura. La temperatura en general no varía linealmente con la altura, sino de forma más compleja dependiendo de la capa atmosférica. Por ejemplo, la troposfera que es una capa que se extiende desde 12 km a 16 km de altura la temperatura dismunuye a razón de -6.5 ºC/km.

Supongamos que la variación de la temperatura con la altura es de la forma

T=T0-ay

donde T0 es la temperatura a nivel del suelo y a es el gradiente de temperatura. Por ejemplo -6.5 ºC/km.

Partimos de la expresión

dn dy =n mg kT dn dy =n mg k( T 0 ay)    

Integrando

n 0 n dn n = mg k 0 y dy ( T 0 ay) ln( n n 0 )= mg ka ln( T 0 ay T 0 ) n= n 0 ( 1 a T 0 y ) mg/(ka)

En la figura, se compara la variación de la presión p/p0 con la altura y, en el caso de una atmósfera isoterma y a variación de la presión con la altura para una atmósfera lineal

%mg/k para el nitrógeno 28·1.67·10-27·9.8/1.38·10-23
CTE=0.0332;
T=270; %temperatura (cambiar)
y=0:0.1:25; %altura
p=exp(-CTE*y*1000/T); %atmósfera isoterma
pi=(1-6.5*y/270).^(CTE*1000/6.5); %atmósfera lineal -6.5 ÂșC/km
plot(y,p, y,pi)
xlabel('h(km)')
ylabel('p(atm)')
legend('isoterma','lineal')
title('Atmósfera isoterma')

Referencias

Silverman M. P. Flying high, thinking low?. What every aeronaut needs to know. The Physics Teacher, Vol. 36, May 1998, pp. 288-293