Viaje de la Tierra a Marte siguiendo una trayectoria en forma de espiral logarítmica.

Posición, velocidad y aceleración en coordenadas polares

La posición del punto P es

x=r·cosθ
y=r·
sinθ

En coordenadas polares, un eje tiene la dirección radial y el otro eje, la dirección perpendicular a la radial, tal como se muestra en la figura.

Las componentes de los vectores unitarios r y θ son

r ^ = i ^ cosθ+ j ^ sinθ θ ^ = i ^ sinθ+ j ^ cosθ

Derivando con respecto del tiempo

d r ^ dt =( i ^ sinθ+ j ^ cosθ) dθ dt = θ ^ dθ dt d θ ^ dt =( i ^ cosθ j ^ sinθ) dθ dt = r ^ dθ dt

La velocidad se expresa en coordenadas polares de la siguiente forma

v= dr dt =r d r ^ dt + r ^ dr dt = dr dt r ^ +r dθ dt θ ^

La aceleración se expresa en coordenadas polares

a= dv dt = d 2 r d t 2 r ^ + dr dt d r ^ dt +r d 2 θ d t 2 θ ^ + dr dt dθ dt θ ^ +r dθ dt d θ ^ dt = d 2 r d t 2 r ^ + dr dt dθ dt θ ^ +r d 2 θ d t 2 θ ^ + dr dt dθ dt θ ^ r dθ dt dθ dt r ^ = ( d 2 r d t 2 r ( dθ dt ) 2 ) r ^ +( r d 2 θ d t 2 +2 dr dt dθ dt ) θ ^

La espiral logarítmica

La espiral logarítmica es una de las curvas notables o maravillosas junto a la catenaria, la cicloide, etc.

La ecuación de la espiral logarítmica en coordenadas polares es

r=r0·exp(b·θ)

Donde r0 es el radio inicial, b es un parámetro y θ es el ángulo en radianes.

La principal característica de la espiral logarítmica es que el radio vector r y la tangente a la espiral forman un ángulo Ψ que se mantiene constante.

La velocidad v de la partícula que describe una espiral logarítmica es

v= dr dt = dr dt r ^ +r dθ dt θ ^ =r(b r ^ + θ ^ )

Calculamos el ángulo Ψ entre los vectores v y r, empleando la definición de producto escalar de dos vectores.

cosΨ= vr v·r = b b 2 +1 b= 1 tanΨ =cotΨ

Cuando b→0, Ψ→π/2 y rr0, la espiral logarítmica se convierte en una circunferencia de radio r0.

Longitud de un arco de la espiral logarítmica

La longitud de un arco infinitesimal ds es el módulo del vector desplazamiento dr.

ds= (dr) 2 + (r·dθ) 2

La longitud del arco de espiral logarítmica entre θ=0 y θ es

0 s ds = 0 θ (dr) 2 + (r·dθ) 2 = 0 θ 1+ b 2 r 0 e bθ dθ= 1+ b 2 b r 0 ( e bθ 1 )= 1+ b 2 b (r r 0 )

Ecuaciones del movimiento

Supondremos que el motor de la nave espacial de masa m proporciona una fuerza de empuje F que tiene la misma dirección que la velocidad de la nave, es decir, es tangente a la trayectoria.

Las fuerzas que actúan sobre la nave espacial son:

En coordenadas polares, la ecuación del movimiento se escribe

m( d 2 r d t 2 r ( dθ dt ) 2 )=FcosΨG Mm r 2 m( r d 2 θ d t 2 +2 dr dt dθ dt )=FsinΨ

Como la ecuación de la trayectoria es r=r0·exp(θ·cotΨ), calculamos la derivada primera y segunda de r con respecto del tiempo t

dr dt =r dθ dt cotΨ d 2 r d t 2 =r ( dθ dt ) 2 cot 2 Ψ+r d 2 θ d t 2 cotΨ

Introducimos estas expresiones en las ecuaciones del movimiento

( r ( dθ dt ) 2 ( cot 2 Ψ1)+r d 2 θ d t 2 cotΨ )= F m cosΨG M r 2 ( r d 2 θ d t 2 +2r ( dθ dt ) 2 cotΨ )= F m sinΨ

Despejamos rd2θ/dt2 en la segunda ecuación y la introducimos en la primera, se obtiene la ecuación

r ( dθ dt ) 2 ( cot 2 Ψ+1)=G M r 2 dθ dt = GM sinΨ r 3/2

Sabiendo que la ecuación de la trayectoria es r=r0·exp(θ·cotΨ), integramos esta ecuación diferencial para obtener la variación del ángulo θ con el tiempo t.

0 θ exp( 3 2 θ·cotΨ ) dθ= 0 t GM sinΨ r 0 3/2 dt exp( 3 2 θ·cotΨ )=1+ 3 2 cosΨ GM r 0 3 t

Teniendo en cuenta que la derivada primera de r respecto del tiempo t es

dr dt =r dθ dt cotΨ

Transformamos la ecuación diferencial en θ en una ecuación diferencial similar en r.

dθ dt = GM sinΨ r 3/2 dr dt = GM cosΨ r 1/2

Integramos esta ecuación diferencial para obtener la variación del radio r con el tiempo t.

r 0 r r dr = 0 t GM cosΨ·dt r 3/2 = r 0 3/2 + 3 2 GM cosΨ·t

Las ecuaciones paramétricas (en función del tiempo t) de la trayectoria son

r= ( r 0 3/2 + 3 2 GM cosΨ·t ) 2/3 θ= 2tanΨ 3 ln( 1+ 3 2 cosΨ GM r 0 3 t )

Velocidad de la nave espacial

El módulo de la velocidad de la nave espacial en coordenadas polares es

v= ( dr dt ) 2 + ( r dθ dt ) 2 = GM cos 2 Ψ r + r 2 GM sin 2 Ψ r 3 = GM r

es igual a la velocidad de una nave espacial que describa una órbita circular de radio r.

Fuerza de empuje sobre la nave espacial

La segunda ecuación del movimiento, nos permite calcular el módulo de la fuerza F de empuje de los motores de la nave.

( r d 2 θ d t 2 +2r ( dθ dt ) 2 cotΨ )= F m sinΨ

Conocemos la expresión de la derivada primera dθ/dt y calculamos la derivada segunda  d2θ/dt2 del ángulo θ respecto del tiempo t. Para ello, combinamos las ecuaciones

r 3 ( dθ dt ) 2 =GM sin 2 Ψ

r=r0·exp(θ·cotΨ),

para obtener la expresión

exp(3θ·cotΨ) ( dθ dt ) 2 = GM sin 2 Ψ r 0 3

Derivando con respecto del tiempo y teniendo en cuenta que, el segundo miembro es constante.

d 2 θ d t 2 = 3cotΨ 2 ( dθ dt ) 2 = 3GMsinΨcosΨ 2 r 3

Ahora, se despeja de la segunda ecuación del movimiento, la fuerza de empuje

F m = 1 2 GMcosΨ r 2  

El empuje F necesario para que la nave espacial describa una trayectoria en forma de espiral logarítmica va disminuyendo de forma inversamente proporcional al cuadrado de la distancia r al Sol. Su dirección es la misma que la velocidad (tangente a la trayectoria).

Tiempo de viaje

El tiempo de viaje T a un planeta que dista r del Sol es

T= 2( r 3/2 r 0 3/2 ) 3 GM cosΨ

La posición angular θ de la nave espacial en función del tiempo t es

θ= 2tanΨ 3 ln( 1+ 3 2 cosΨ GM r 0 3 t )

Introducimos el valor del tiempo de viaje t=T, obtenemos después de simplificar

θ f =ln( r r 0 )tanΨ

Ejemplo

Aplicando la ecuación de la dinámica del movimiento circular uniforme calculamos la velocidad angular de Marte en su órbita circular alrededor del Sol.

G Mm r M 2 =m ω M 2 r M

ωM=1.055·10-7 rad/s=0.5225º/día

Cálculos similares se realizan para obtener la velocidad angular de la Tierra ωT en su órbita circular alrededor del Sol.

Si queremos que el viaje de la nave espacial entre la Tierra y Marte se realice en T=3 años=36 meses=1080 días. De la fórmula del tiempo T de viaje, obtenemos el valor del ángulo Ψ=88.2º.

El desplazamiento angular de la nave espacial es θf=13.3 rad=761º

Si la posición inicial (en el instante t=0) del planeta Marte es φ0M, su posición cuando llega la nave espacial a las proximidades de su órbita circular, al cabo de un tiempo T es

φM0MMT

La nave espacial parte de la Tierra en el instante t=0, cuando su posición es φ0T

Para llegar a la órbita de Marte, la nave se desplaza un ángulo θf. Su posición angular final será φ0T+ θf

Para que la posición de la nave espacial y de Marte coincidan se tiene que cumplir la igualdad

φ0T+ θf0MMT

La diferencia entre las posiciones angulares de la Tierra y de Marte en el momento del lanzamiento de la nave espacial (t=0) deberá ser de

φ0T - φ0MMT- θf
φ0T - φ0M =
0.5225·1080-761=-196.6º

En la figura, se muestra las posiciones de la Tierra y Marte en el momento de partida de la nave espacial para un viaje de 3 años.

Actividades

Se introduce

Se pulsa el botón titulado Nuevo, para establecer la posición inicial angular de los planetas, dados por dos números aleatorios comprendidos entre 0 y 360. A continuación, se pulsa para que comiencen a moverse describiendo órbitas circulares.

Se calcula el intervalo angular (φ0T - φ0M) entre las posiciones de la Tierra y de Marte en el momento de la partida de la nave espacial, tal como se ha hecho en el ejemplo.

Se pulsa el botón pausa ||, para parar el movimiento y el botón paso a paso >|, para examinar las posiciones angulares de los planetas y acercarnos a la posición de lanzamiento.

Se pulsa el botón titulado Lanza.

Si la nave no llega a Marte, se pulsa el botón titulado Lanza y se vuelve a intentar

En la parte derecha, se nos proporciona los valores del tiempo (en días), la posición angular y la velocidad de los tres cuerpos: la nave espacial, la Tierra y Marte.

Observamos que la nave espacial parte de las proximidades de la Tierra con su misma velocidad orbital y llega a las proximidades de Marte con su misma velocidad orbital. 

Referencias

Bacon R. H. Logarithmic spiral: An ideal trajectory for interplanetary vehicle with engines of low sustained thrust. Am. J. Phys. 27 (1959), pp. 164-165.