La espiral logarítmica es una de las curvas notables o maravillosas junto a la catenaria, la cicloide, etc. La ecuación de la espiral logarítmica en coordenadas polares es

r=r₀·exp(b·θ)

Donde r₀ es el radio inicial, b es un parámetro y θ es el ángulo en radianes.

La principal característica de la espiral logarítmica, es que el radio vector r y la tangente a la espiral forman un ángulo π/2-γ que se mantiene constante.

El vector velocidad de la partícula (en coordenadas polares) que describe una espiral logarítmica es

${\displaystyle \overrightarrow{v}=\frac{dr}{dt}\widehat{r}+r\frac{d\theta }{dt}\widehat{\theta }=r(b\widehat{r}+\widehat{\theta })}$

Calculamos el ángulo π/2-γ entre los vectores $\overrightarrow{v}$ y $\overrightarrow{r}$, empleando la definición de producto escalar de dos vectores.

${\displaystyle \cos \left(\frac{\pi }{2}-\gamma \right)=\sin \gamma =\frac{\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{r}}{v·r}=\frac{b}{\sqrt{b^2+1}},b=\tan \gamma }$

Cuando b→0, φ→π/2 y r→r₀, la espiral logarítmica se convierte en una circunferencia de radio r₀.

Longitud de un arco de la espiral logarítmica

La longitud de un arco infinitesimal ds es el módulo del vector desplazamiento $\overrightarrow{dr}$

${\displaystyle ds=\sqrt{{(dr)}^2+{(r·d\theta )}^2}}$

La longitud del arco de espiral logarítmica entre θ=0 y θ es

$$\begin{gathered} {\displaystyle {\displaystyle \underset{0}{\overset{s}{\int }}ds}={\displaystyle \underset{0}{\overset{\theta }{\int }}\sqrt{{(dr)}^2+{(r·d\theta )}^2}}={\displaystyle \underset{0}{\overset{\theta }{\int }}\sqrt{1+b^2}{r}_0{e}^{b\theta }}d\theta =\frac{\sqrt{1+b^2}}{b}{r}_0\left(e^{b\theta }-1\right)= \\ \frac{\sqrt{1+b^2}}{b}(r-r_0)} \end{gathered}$$

Ecuaciones del movimiento

En todos los casos analizados en este capítulo, a partir de la expresión de la fuerza sobre el cuerpo celeste, obtenemos la ecuación de la trayectoria. En esta sección, conocida la ecuación de la trayectoria (espiral logarítmica), obtenemos la fuerza tangente a la trayectoria que actúa sobre le cuerpo celeste, además de la atracción inversamente proporcional al cudrado de la distancia al centro de fuerzas.

Supondremos que el motor de la nave espacial de masa m proporciona una fuerza de empuje $\overrightarrow{F}$ que tiene la misma dirección que la velocidad de la nave (tangente a la trayectoria)

Las fuerzas que actúan sobre la nave espacial son:

• La fuerza de empuje F de los motores de la nave

• La fuerza de atracción del Sol, GMm/r² .

En coordenadas polares, la ecuación del movimiento se escribe

${\displaystyle \begin{array}{l}m\left(\frac{d^{2}r}{d{t}^2}-r{\left(\frac{d\theta }{dt}\right)}^2\right)=F\sin \gamma -G\frac{Mm}{r^2}\\ m\left(r\frac{d^2\theta }{d{t}^2}+2\frac{dr}{dt}\frac{d\theta }{dt}\right)=F\text{cos}\gamma \end{array}}$

Como la ecuación de la trayectoria es r=r₀·exp(θ·tanγ), calculamos la derivada primera y segunda de r con respecto del tiempo t

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{dr}{dt}=\tan \gamma ·r\frac{d\theta }{dt}\\ \frac{d^{2}r}{d{t}^2}=\tan \gamma ·r\frac{d^2\theta }{d{t}^2}+{\tan }^2\gamma ·r{\left(\frac{d\theta }{dt}\right)}^2\end{array}}$

Sustituimos en la primera ecuación diferencial

${\displaystyle \begin{array}{l}\tan \gamma ·r\frac{d^2\theta }{d{t}^2}+{\tan }^2\gamma ·r{\left(\frac{d\theta }{dt}\right)}^2-r{\left(\frac{d\theta }{dt}\right)}^2=\frac{F}{m}\sin \gamma -G\frac{M}{r^2}\hfill \\ r\frac{d^2\theta }{d{t}^2}=\frac{F}{m}\cos \gamma -G\frac{M}{r^2}\frac{1}{\tan \gamma }+\frac{r}{\tan \gamma }{\left(\frac{d\theta }{dt}\right)}^2-\tan \gamma ·r{\left(\frac{d\theta }{dt}\right)}^2\hfill \end{array}}$

Sustituimos en la segunda ecuación diferencial, rd²θ/dt² y dr/dt llegando a

${\displaystyle r{\left(\frac{d\theta }{dt}\right)}^2=G\frac{M}{r^2}{\cos }^2\gamma }$

Ecuaciones paramétricas de la trayectoria

Sabiendo que la ecuación de la trayectoria r=r₀·exp(θ·tanγ), integramos esta ecuación diferencial para obtener el ángulo θ en función del tiempo t.

${\displaystyle \begin{array}{l}{\displaystyle \underset{0}{\overset{\theta }{\int }}\exp \left(\frac{3}{2}\theta ·\tan \gamma \right)d\theta }=\frac{\sqrt{GM}\cos \gamma }{r_0^{3/2}}{\displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int }}dt}\hfill \\ \exp \left(\frac{3}{2}\theta ·\tan \gamma \right)=1+\frac{3}{2}\sin \gamma \sqrt{\frac{GM}{r_0^3}}t\hfill \end{array}}$

Obtenemos r en función del tiempo t

${\displaystyle \begin{array}{l}\begin{array}{l}\frac{dr}{dt}=\tan \gamma ·r\frac{d\theta }{dt}=\frac{\sqrt{GM}}{r^{1/2}}\sin \gamma \\ {\displaystyle \underset{r_0}{\overset{r}{\int }}\sqrt{r}dr}=\sqrt{GM}\sin \gamma {\displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int }}dt}\end{array}\hfill \\ r^{3/2}=r_0^{3/2}+\frac{3}{2}\sqrt{GM}\sin \gamma ·t\hfill \end{array}}$

Las ecuaciones paramétricas (en función del tiempo t) de la trayectoria son

${\displaystyle \begin{array}{l}r={\left(r_0^{3/2}+\frac{3}{2}\sqrt{GM}\sin \gamma ·t\right)}^{2/3}\hfill \\ \theta =\frac{2}{3\tan \gamma }\ln \left(1+\frac{3}{2}\sin \gamma \sqrt{\frac{GM}{r_0^3}}t\right)\hfill \end{array}}$

Velocidad de la nave espacial

El módulo de la velocidad de la nave espacial en coordenadas polares es

${\displaystyle v=\sqrt{{\left(\frac{dr}{dt}\right)}^2+{\left(r\frac{d\theta }{dt}\right)}^2}=\sqrt{\frac{GM{\sin }^2\gamma }{r}+r^2\frac{GM{\text{cos}}^2\gamma }{r^3}}=\sqrt{\frac{GM}{r}}}$

es igual a la velocidad de una nave espacial que describa una órbita circular de radio r.

Fuerza de empuje tangente a la trayectoria

La segunda ecuación del movimiento, nos permite calcular el módulo de la fuerza F de empuje de los motores de la nave.

${\displaystyle \left(r\frac{d^2\theta }{d{t}^2}+2r{\left(\frac{d\theta }{dt}\right)}^2\tan \gamma \right)=\frac{F}{m}\text{cos}\gamma }$

Conocemos la expresión de la derivada primera dθ/dt y calculamos la derivada segunda  d²θ/dt² del ángulo θ respecto del tiempo t. Para ello, combinamos las ecuaciones

${\displaystyle r^3{\left(\frac{d\theta }{dt}\right)}^2=GM{\text{cos}}^{\text{2}}\gamma }$

r=r₀·exp(θ·tanγ),

para obtener la expresión

${\displaystyle \exp (3\theta ·\tan \gamma ){\left(\frac{d\theta }{dt}\right)}^2=\frac{GM{\text{cos}}^{\text{2}}\gamma }{r_0^3}}$

Derivando con respecto del tiempo y teniendo en cuenta que, el segundo miembro es constante.

${\displaystyle \frac{d^2\theta }{d{t}^2}=-\frac{3\tan \gamma }{2}{\left(\frac{d\theta }{dt}\right)}^2=-\frac{3GM\text{sin}\gamma \cos \gamma }{2r^3}}$

Ahora, se despeja de la segunda ecuación del movimiento, la fuerza de empuje

${\displaystyle \frac{F}{m}=\frac{1}{2}\frac{GM\sin \gamma }{r^2}}$

El empuje F necesario para que la nave espacial describa una trayectoria en forma de espiral logarítmica va disminuyendo de forma inversamente proporcional al cuadrado de la distancia r al Sol. Su dirección es la misma que la velocidad (tangente a la trayectoria).

Trabajo-energía

El trabajo de las fuerzas que actúan sobre el cuerpo celeste es igual a la variación de energía cinética

La resultante de las fuerzas que actúan sobre la partícula de masa m es

${\displaystyle \frac{\overrightarrow{F}}{m}=\left(F\sin \gamma -G\frac{M}{r^2}\right)\widehat{r}+\left(F\cos \gamma \right)\widehat{\theta }=\left(\frac{1}{2}\frac{GM{\sin }^2\gamma }{r^2}-G\frac{M}{r^2}\right)\widehat{r}+\left(\frac{1}{2}\frac{GM\sin \gamma \cos \gamma }{r^2}\right)\widehat{\theta }}$

El vector desplazamiento (en coordendas polares)

${\displaystyle \overrightarrow{dr}=dr·\widehat{r}+rd\theta ·\widehat{\theta }}$

Efectuamos el producto escalar e integramos para calcular el trabajo (por unidad de masa)

${\displaystyle \begin{array}{l}W={\displaystyle \underset{A}{\overset{B}{\int }}\frac{\overrightarrow{F}}{m}\overrightarrow{dr}}={\displaystyle \underset{A}{\overset{B}{\int }}\left\{\left(\frac{1}{2}\frac{GM{\sin }^2\gamma }{r^2}-G\frac{M}{r^2}\right)dr+\frac{1}{2}\frac{GM\sin \gamma \cos \gamma }{r^2}r·d\theta \right\}}=\\ GM\left(1-\frac{1}{2}{\sin }^2\gamma \right){\displaystyle \underset{r_0}{\overset{r}{\int }}-\frac{dr}{r^2}}+\frac{1}{2}GM\sin \gamma \cos \gamma {\displaystyle \underset{0}{\overset{\theta }{\int }}\frac{d\theta }{r_0\exp \left(\theta ·\tan \gamma \right)}}=\\ GM\left(1-\frac{1}{2}{\sin }^2\gamma \right)\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{r_0}\right)-\frac{1}{2}GM\sin \gamma \cos \gamma \frac{1}{\tan \gamma }\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{r_0}\right)=\\ GM\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{r_0}\right)\left(1-\frac{1}{2}{\sin }^2\gamma -\frac{1}{2}{\cos }^2\gamma \right)=\frac{1}{2}GM\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{r_0}\right)\end{array}}$

La variación de energía cinética (por unidad de masa) es

${\displaystyle \Delta E_k=\frac{1}{2}\frac{GM}{r}-\frac{1}{2}\frac{GM}{r_0}=\frac{1}{2}GM\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{r_0}\right)}$

Tiempo de viaje

El tiempo de viaje T a un planeta que dista r₁ del Sol partiendo de r₀ es

${\displaystyle T=\frac{2\left(r_1^{3/2}-r_0^{3/2}\right)}{3\sqrt{GM}\sin \gamma }}$

Dado el tiempo de viaje T entre dos posiciones r₁ y r₀ calculamos γ, tal como veremos en el ejemplo más abajo

Las ecuaciones paramétricas (en función del tiempo t) de la trayectoria son

${\displaystyle \begin{array}{l}r=r_0{\left\{1+\left({\left(\frac{r_1}{r_0}\right)}^{3/2}-1\right)\frac{t}{T}\right\}}^{2/3}\hfill \\ \theta =\frac{2}{3\tan \gamma }\ln \left\{1+\left({\left(\frac{r_1}{r_0}\right)}^{3/2}-1\right)\frac{t}{T}\right\}\hfill \end{array}}$

Cuando llega a la posicíon final r=r₁

${\displaystyle {\theta }_1=\frac{1}{\tan \gamma }\ln \left(\frac{r}{r_0}\right)}$

Ejemplo

• La Tierra describe una órbita aproximadamente circular alrededor del Sol de radio r₀=1.0 UA=1.496·10¹¹ m.

• Marte describe una órbita aproximadamente circular alrededor del Sol de radio r₁=1.524 UA=2.280·10¹¹ m.

• La masa del Sol es M=1.98·10³⁰ kg

• La constante G=6.67·10^-11 Nm²/kg²

Si queremos que el viaje de la nave espacial entre la Tierra y Marte se realice en T=3 años=36 meses=1080 días. De la fórmula del tiempo T de viaje, obtenemos el valor del ángulo γ=1.8172º.

El desplazamiento angular de la nave espacial es θ₁=13.2819 rad=761º

M=1.98e30; %masa del Sol
r0=1.496e11; %radio de la órbita de la Tierra (1 UA)
G=6.67e-11; %constante
r1=1.524*r0; %Marte (1.524 UA)
T=1080*24*60*60; %tiempo de viaje 3 años
gamma=asin(2*(r1^(3/2)-r0^(3/2))/(3*T*sqrt(G*M)));
r=@(t) (1+((r1/r0)^(3/2)-1)*t/T).^(2/3);
th=@(t) 2*log(1+((r1/r0)^(3/2)-1)*t/T)/(3*tan(gamma));
fplot(@(t) r(t).*cos(th(t)),@(t) r(t).*sin(th(t)),[0,T])
grid on
axis equal
hold off
xlabel('x (UA)')
ylabel('y (UA)')
title('Trayectoria Tierra-Marte')

El ángulo γ es positivo, el empuje de la nave espacial F tiene el mismo sentido que la velocidad, que disminuye a medida que se incrementa la distancia radial. La posición angular final θ₁ es

>> gamma*180/pi
ans =    1.8172
>> th(T)
ans =   13.2819

También es posible el viaje a los planetas interiores como Venus, cambiamos la línea de código r1=0.723*r0;, obtenemos la siguiente trayectoria

El ángulo γ es negativo, el empuje de la nave espacial F se opone a la velocidad, que se incrementa a medida que disminuye la distancia radial

>> gamma*180/pi
ans =   -0.7940

Viaje de la Tierra a Marte

Aplicando la ecuación de la dinámica del movimiento circular uniforme calculamos la velocidad angular de Marte en su órbita circular alrededor del Sol.

${\displaystyle G\frac{Mm}{r_M^2}=m{\omega }_M^2{r}_M}$

ω_M=1.055·10^-7 rad/s=0.5225º/día

Cálculos similares se realizan para obtener la velocidad angular de la Tierra ω_T en su órbita circular alrededor del Sol.

Si la posición inicial (en el instante t=0) del planeta Marte es φ_0M, su posición cuando llega la nave espacial a las proximidades de su órbita circular, al cabo de un tiempo T es

φ_M=φ_0M+ω_MT

La nave espacial parte de la Tierra en el instante t=0, cuando su posición es φ_0T

Para llegar a la órbita de Marte, la nave se desplaza un ángulo θ₁. Su posición angular final será φ_0T+ θ₁

Para que la posición de la nave espacial y de Marte coincidan se tiene que cumplir la igualdad

φ_0T+ θ₁=φ_0M+ω_MT

La diferencia entre las posiciones angulares de la Tierra y de Marte en el momento del lanzamiento de la nave espacial (t=0) deberá ser de

φ_0T - φ_0M =ω_MT- θ₁
φ_0T - φ_0M =0.5225·1080-761=-196.6º

En la figura, se muestra las posiciones de la Tierra y Marte en el momento de partida de la nave espacial para un viaje de 3 años.

Actividades

Se introduce

• El tiempo de viaje de la nave espacial entre la Tierra y Marte, en meses (30 días), en el control titulado Tiempo.

Se pulsa el botón titulado Nuevo, para establecer la posición inicial angular de los planetas, dados por dos números aleatorios comprendidos entre 0 y 360. A continuación, se pulsa ► para que comiencen a moverse describiendo órbitas circulares.

Se calcula el intervalo angular (φ_0T - φ_0M) entre las posiciones de la Tierra y de Marte en el momento de la partida de la nave espacial, tal como se ha hecho en el ejemplo.

Se pulsa el botón pausa ||, para parar el movimiento y el botón paso a paso >|, para examinar las posiciones angulares de los planetas y acercarnos a la posición de lanzamiento.

Se pulsa el botón titulado Lanza.

Si la nave no llega a Marte, se pulsa el botón titulado Lanza y se vuelve a intentar

En la parte derecha, se nos proporciona los valores del tiempo (en días), la posición angular y la velocidad de los tres cuerpos: la nave espacial, la Tierra y Marte.

Observamos que la nave espacial parte de las proximidades de la Tierra con su misma velocidad orbital y llega a las proximidades de Marte con su misma velocidad orbital. 

Referencias

Bacon R. H. Logarithmic spiral: An ideal trajectory for interplanetary vehicle with engines of low sustained thrust. Am. J. Phys. 27 (1959), pp. 164-165.