Movimiento relativo de dos cuerpos en órbitas alrededor de la Tierra (I)

Movimiento circular de la nave espacial alrededor de la Tierra

Aplicamos la ecuación de la dinámica del movimiento circular, para calcular la velocidad de la nave espacial de masa m que describe un movimiento circular de radio r0.

m v 0 2 r 0 =G Mm r 0 2 v 0 = GM r 0

donde G=6.67·10-11 Nm2/kg2, y M=5.98·1024 kg es la masa de la Tierra y R=6.37·106 m es su radio.

Ejemplo

Supongamos que la nave espacial describe una órbita circular a una altura de 4000 km por encima de la superficie de la Tierra r0=6.37·106+4.0·106 =10.37·106 m

v 0 = GM r 0 v 0 = 6.67· 10 11 ·5.98· 10 24 10.37· 10 6 =6202m/s

El tiempo que tarda en dar una vuelta es

P0=2πr0/v0=10506 s

Movimiento del cuerpo que está a una cierta altura sobre la nave espacial

Consideremos primero, el caso más simple, el movimiento de un cuerpo que está a una distancia h de la nave espacial medida a lo largo de la dirección radial y que en el instante inicial, tiene su misma velocidad. Se suelta el cuerpo y comprobamos que ambos se mueven en órbitas distintas.

Vamos a considerar dos casos que h sea positiva, la altura del cuerpo sea mayor que el de la nave espacial, y que h sea negativa, la altura del cuerpo sea menor que la de la nave espacial.

La constancia del momento angular y de la energía del cuerpo nos permiten calcular la distancia máxima o mínima r2 y su velocidad v2, conocidas la distancia mínima o máxima r1=r0+h y su velocidad v1=v0.

m v 1 r 1 sin90=m v 2 r 2 sin90 1 2 m v 1 2 +( G Mm r 1 )= 1 2 m v 2 2 +( G Mm r 2 )

Despejamos v2 y r2

v 2 = 2GM r 1 v 1 v 1 r 2 = r 1 v 1 v 2

El semieje mayor de la elipse es a=(r1+r2)/2 y el periodo P, o tiempo que tarda el cuerpo en dar una vuelta completa es

P 2 = 4 π 2 GM a 3

En la figura, vemos la trayectoria seguida por un cuerpo sujeto a la nave espacial y que se suelta en el instante inicial con la misma velocidad v0 que lleva la nave. En la figura de la izquierda, la altura del objeto es menor que el de la nave espacial, h<0, el cuerpo va por delante de la nave. En la figura de la derecha, la altura del objeto es mayor que el de la nave espacial, h>0, el cuerpo va por detrás de la nave.

Ejemplo

Posición relativa del cuerpo respecto de la nave espacial

La posición del cuerpo respecto del Sistema de Referencia Inercial situado en el centro de la Tierra es

x=r·cos(θ)
y=r·
sin(θ)

donde r y θ son funciones del tiempo t

La posición del cuerpo visto por un astronauta que viaja en la nave espacial o bien, respecto del Sistema de Referencia no Inercial OX’Y’ es

x’=r·cos(θ-ωt)-r0
y’=r·
sin(θ-ωt)

siendo ω=v0/r0 la velocidad angular de rotación constante de la nave espacial y r0 el radio de su órbita.

En el Sistema de Referencia no Inercial el eje X' es la dirección radial, y el eje Y' es la dirección tangente a la circunferencia de radio r0. Si x'>0 el cuerpo está por encima de la nave espacial, y si x'<0 el cuerpo está por debajo. Si y'>0 el cuerpo se mueve por delante y si y'<0 el cuerpo se mueve detrás de la nave espacial.

En la figura, el cuerpo tiene inicialmente, una altura mayor que la nave espacial. Desde el punto de vista del astronauta, el cuerpo va por detrás de la nave espacial y su distancia se va agrandando con el paso del tiempo en la dirección tangencial Y'. La flecha roja indica la dirección y sentido del movimiento de la nave.

Actividades

Se introduce

Se pulsa el botón titulado Nuevo

En la parte izquierda, se representa el movimiento de los dos cuerpos alrededor de la Tierra:

A la derecha, se representa la trayectoria seguida por el cuerpo vista por un astronauta que viaja en la nave espacial.

Las distancias tanto en el eje horizontal Y' como en el vertical X' están expresadas en km.

Para poder ver adecuadamente la trayectoria, se puede elegir la escala en el control titulado Escala y a continuación, se pulsa el botón titulado Nuevo.


Movimiento de un cuerpo que se lanza desde la nave espacial

Supongamos que un cuerpo de pequeña masa se lanza desde una nave espacial con velocidad relativa u y haciendo un ángulo α respecto del eje X' (dirección radial).

La velocidad v del cuerpo y su dirección φ respecto al Sistema Inercial de Referencia situado en el centro de la Tierra, se calculan sumando los vectores v=u+v0 de la figura. Sus componentes son:

vx=u·cosα
vy=v0+u
·sinα

El módulo de la velocidad resultante v y su dirección φ son:

v= u 2 + v 0 2 +2u v 0 sinα tanφ= v 0 +usinα ucosα

La ecuación de la trayectoria del cuerpo de masa m está determinada por la energía y el momento angular

L=m r 0 vsinφ E= 1 2 m v 2 GMm r 0

La trayectoria es independiente de la masa m del cuerpo y es una elipse si E<0, cuyo semieje mayor está girado un cierto ángulo que se calcula poniendo r=r0 en la ecuación de la trayectoria y despejando el ángulo θ.

Ejemplo:

Sea r0=6.37·106+4.0·106, (4000 km de altura sobre la superficie de la Tierra)

Actividades

Se introduce

Se pulsa el botón titulado Nuevo

En la parte izquierda, se representa el movimiento de los dos cuerpos alrededor de la Tierra:

A la derecha, se representa la trayectoria seguida por el cuerpo vista por un astronauta que viaja en la nave espacial.

Las distancias tanto en el eje horizontal Y' como en el vertical X' están expresadas en km.

Para poder ver adecuadamente la trayectoria, se puede elegir la escala en el control de selección titulado Escala, y a continuación se pulsa el botón titulado Nuevo.