El problema de Euler de los tres cuerpos

Los dos cuerpos fijos en el espacio tiene masas M₁ y M₂ y están separados una distancia d. Estableceremos un Sistema de Referencia, con el origen en el primer cuerpo y el eje X es la recta que une sus centros, tal como se muestra en la figura.

Cuando la partícula se encuentra en la posición (x, y), las fuerzas de atracción que ejerce cada uno de los cuerpos sobre la pequeña partícula se muestran en la figura, sus módulos valen

$\begin{array}{l} F_{1} = G \frac{M_{1} m}{r_{1}^{2}} F_{2} = G \frac{M_{2} m}{r_{2}^{2}} \\ r_{1} = \sqrt{x^{2} + y^{2}} r_{2} = \sqrt{{(x - d)}^{2} + y^{2}} \end{array}$

Descomponemos las fuerzas. Las ecuaciones del movimiento de la partícula de masa m son:

$\begin{array}{l} m \frac{d^{2} x}{d t^{2}} = - F_{1} \frac{x}{r_{1}} - F_{2} \frac{x - d}{r_{2}} \\ m \frac{d^{2} y}{d t^{2}} = - F_{1} \frac{y}{r_{1}} - F_{2} \frac{y}{r_{2}} \end{array}$

Tenemos un sistema de dos ecuaciones diferenciales de segundo orden

$\begin{array}{l} \frac{d^{2} x}{d t^{2}} = - \frac{G M_{1}}{{(x^{2} + y^{2})}^{3 / 2}} x - \frac{G M_{2}}{{({(x - d)}^{2} + y^{2})}^{3 / 2}} (x - d) \\ \frac{d^{2} y}{d t^{2}} = - \frac{G M_{1}}{{(x^{2} + y^{2})}^{3 / 2}} y - \frac{G M_{2}}{{({(x - d)}^{2} + y^{2})}^{3 / 2}} y \end{array}$

Que se resuelven por procedimientos numéricos con las condiciones iniciales siguientes: En el instante t=0, la partícula se encuentra en la posición (x₀, y₀) y las componentes de su velocidad inicial son, (v_0x, v_0y).

Escalas

Antes de resolver el sistema de ecuaciones diferenciales por procedimientos numéricos, es conveniente prepararlas para que el ordenador no maneje números excesivamente grandes o pequeños.

Establecemos un sistema de unidades en el que la longitud se mide en unidades astronómicas, la distancia media entre el Sol y la Tierra. L=una UA=1.496·10¹¹ m y el tiempo en unidades de año, P=un año= 365.26 días=3.156·10⁷ s.

Supongamos el primer cuerpo es el Sol, M₁= 1.98·10³⁰ kg y la masa del segundo cuerpo es un múltiplo de la masa del Sol, M₂=αM₁

En el nuevo sistema de unidades x=Lx', t=P·t', la primera ecuación diferencial se escribe

$\begin{array}{l} \frac{d^{2} x^{'}}{d t'^{2}} \frac{L}{P^{2}} = - \frac{G M_{1}}{{(x'^{2} + y'^{2})}^{3 / 2}} x' \frac{L}{L^{3}} - \frac{G α M_{1}}{{({(x' - d')}^{2} + y'^{2})}^{3 / 2}} (x' - d') \frac{L}{L^{3}} \\ \frac{d^{2} x^{'}}{d t'^{2}} = - \frac{G M_{1} P^{2}}{L^{3}} (\frac{x'}{{(x'^{2} + y'^{2})}^{3 / 2}} + \frac{α (x' - d')}{{({(x' - d')}^{2} + y'^{2})}^{3 / 2}}) \end{array}$

y de forma similar la segunda ecuación diferencial.

Como L es el semieje mayor de la órbita de la Tierra alrededor del Sol, P es el periodo o tiempo que tarda en dar una vuelta completa y M₁ es la masa del Sol. Por la tercera ley de Kepler, el término

$\frac{G M_{1} P^{2}}{L^{3}} = 4 π^{2}$

Volviendo a la notación previa: x e y para la posición y t para el tiempo en el nuevo sistema de unidades. El sistema de ecuaciones diferenciales se escribe

$\begin{array}{l} \frac{d^{2} x}{d t^{2}} = - 4 π^{2} (\frac{x}{{(x^{2} + y^{2})}^{3 / 2}} + \frac{α (x - d)}{{({(x - d)}^{2} + y^{2})}^{3 / 2}}) \\ \frac{d^{2} y}{d t^{2}} = - 4 π^{2} (\frac{y}{{(x^{2} + y^{2})}^{3 / 2}} + \frac{α y}{{({(x - d)}^{2} + y^{2})}^{3 / 2}}) \end{array}$

Principio de conservación de la energía

La energía total de la partícula es una constante del movimiento.

La energía de la partícula de masa m en el instante inicial t=0 es

$\begin{array}{l} E_{0} = \frac{1}{2} m v_{0}^{2} - \frac{G m M_{1}}{r_{1}} - \frac{G m M_{2}}{r_{2}} \\ E_{0} = \frac{1}{2} m (v_{0 x}^{2} + v_{0 y}^{2}) - \frac{G m M_{1}}{\sqrt{x_{0}^{2} + y_{0}^{2}}} - \frac{G m M_{2}}{\sqrt{{(x_{0} - d)}^{2} + y_{0}^{2}}} \end{array}$

Cuando E₀<0 la partícula permanece confinada en el espacio que rodea a los dos cuerpos. Cuando E₀≥0 la partícula escapa al infinito

La energía de la partícula en el instante t es igual a

$E = \frac{1}{2} m (v_{x}^{2} + v_{y}^{2}) - \frac{G m M_{1}}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} - \frac{G m M_{2}}{\sqrt{{(x - d)}^{2} + y^{2}}}$

En el nuevo sistema de unidades establecido, las magnitudes velocidad y posición están relacionadas del siguiente modo:

v=v’·L/P, x=x’·L, y=y’·L, d=d’·L

$\begin{array}{l} \frac{E}{m} = \frac{1}{2} v'^{2} \frac{L^{2}}{P^{2}} - \frac{G M_{1}}{L} (\frac{1}{\sqrt{x'^{2} + y'^{2}}} + \frac{α}{\sqrt{{(x' - d')}^{2} + y'^{2}}}) \\ \frac{E}{m} = \frac{1}{2} v'^{2} \frac{L^{2}}{P^{2}} - \frac{4 π^{2} L^{2}}{P^{2}} (\frac{1}{\sqrt{x'^{2} + y'^{2}}} + \frac{α}{\sqrt{{(x' - d')}^{2} + y'^{2}}}) \\ e^{'} = \frac{E}{m} \frac{P^{2}}{L^{2}} = \frac{1}{2} v'^{2} - 4 π^{2} (\frac{1}{\sqrt{x'^{2} + y'^{2}}} + \frac{α}{\sqrt{{(x' - d')}^{2} + y'^{2}}}) \end{array}$

Volviendo a la notación previa. Definimos una nueva energía e por unidad de masa en este sistema de unidades

$e = \frac{1}{2} (v_{x}^{2} + v_{y}^{2}) - 4 π^{2} (\frac{1}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} + \frac{α}{\sqrt{{(x - d)}^{2} + y^{2}}})$

Se evalúa el cociente

$| \frac{e - e_{0}}{e_{0}} | \cdot 100$

que denominaremos tanto por ciento de error.

Ejemplos

Sea

El parámetro α=M₂/M₁, donde M₁ es la masa del Sol
La distancia d entre los dos cuerpos fijos.
La posición inicial (x₀, y₀)
La velocidad inicial (v_0x, v_0y)

Ejemplo 1

Los dos cuerpos tienen la misma masa, α=1.0
La distancia fija entre los dos cuerpos, d=2.1,
Posición inicial, x₀=1, y₀=0
Velocidad inicial v_0x=0, v_0y=2π

x0=zeros(1,4);
alpha=1; 
d=2.1;
x0(1)=1;  %abscisa x0
x0(2)=0;  %vx_0, velocidad inicial X
x0(3)=0; %ordenada y0
x0(4)=6.28; %vy_0, velocidad inicial Y
tspan=[0,2];
e0=(x0(2)^2+x0(4)^2)/2-4*pi^2*(1/sqrt(x0(1)^2+x0(3)^2)
+alpha/sqrt((x0(1)-d)^2+x0(3)^2));
fg=@(t,x)[x(2);-4*pi^2*(x(1)/(x(1)^2+x(3)^2)^(3/2)
+alpha*(x(1)-d)/((x(1)-d)^2+x(3)^2)^(3/2)); x(4);
-4*pi^2*(x(3)/(x(1)^2+x(3)^2)^(3/2)
+alpha*x(3)/((x(1)-d)^2+x(3)^2)^(3/2))];
[t,x]=ode45(fg,tspan,x0);
hold on
plot(x(:,1),x(:,3)) 
ef=(x(end,2)^2+x(end,4)^2)/2-4*pi^2*(1/sqrt(x(end,1)^2
+x(end,3)^2)+alpha/sqrt((x(end,1)-d)^2+x(end,3)^2));
fprintf('Variación de energía %1.3f\n', 100*abs((ef-e0)/e0));
xlabel('x')
ylabel('y')
grid on
axis equal
title('Problema de Euler de los tres cuerpos')

Variación de energía 9.111

Ejemplo 2

Los dos cuerpos tienen la misma masa, α=1.0
La distancia fija entre los dos cuerpos, d=0.2,
Posición inicial, x₀=1, y₀=0
Velocidad inicial v_0x=0, v_0y=2π

Ejemplo 3

Los dos cuerpos tienen la misma masa, α=1.0
La distancia fija entre los dos cuerpos, d=3.0,
Posición inicial, x₀=1.5, y₀=0
Velocidad inicial v_0x=3, v_0y=3

Actividades

Cuando la partícula está cerca de uno de los dos cuerpos, la aceleración es grande (los cambios de velocidad son grandes) y para resolver el sistema de ecuaciones diferenciales por procedimientos numéricos, es preciso elegir un paso pequeño. Cuando la partícula está alejada de los cuerpos, la aceleración es pequeña el paso puede ser más grande, sin que se introduzca un error significativo en los cálculos

El programa interactivo, nos da dos opciones:

Paso variable, el programa interactivo calcula el paso de integración más adecuado
Paso fijo, que es el más adecuado para el ejemplo 2

Se introduce

El parámetro α=M₂/M₁, donde M₁ es la masa del Sol, en el control titulado C. masas.
La distancia d entre los dos cuerpos fijos, en el control titulado Distancia.
La posición inicial (x₀, y₀), en los dos controles titulados Posición
La velocidad inicial (v_0x, v_0y), en los dos controles titulados Velocidad
El paso fijo si este control está habilitado

Se pulsa el botón titulado Nuevo

Se observa la trayectoria de la partícula de masa m. En la parte derecha, se proporcionan los datos de su posición (x, y) y de su velocidad (v_x, v_y) en cada instante t.

En la parte inferior derecha, se muestra en color rojo el tanto por ciento de error. Cuando es mayor que la unidad el programa interactivo se detiene. Como podemos comprobar, los mayores porcentajes de error se obtienen cuando la partícula pasa muy cerca de alguno de los dos cuerpos fijos.

Nota: Se ha de advertir al lector, que como el paso de integración de las ecuaciones diferenciales del movimiento es variable, la velocidad del punto que representa la partícula en el programa interactivo, no se corresponde con la velocidad real de la partícula.

Posición X: Y:
Velocidad X: Y:
C. masas: Distancia:

Referencias

Wild W. J. Euler's three-body problem. Am. J. Phys. 48(4) April 1980, pp. 297-301