Movimiento de caída de un satélite artificial debido al rozamiento con la atmósfera.

La atmósfera está formada por varias capas, definidas de acuerdo con la variación vertical de la temperatura:

También se suele subdividir la atmósfera en capas de acuerdo a la composición química:

La fuerza de rozamiento sobre el satélite dependerá en general, de su forma, de la densidad del aire y de la velocidad del satélite, por lo que la ecuación del movimiento resultará bastante complicada. En esta página, haremos algunas aproximaciones que nos permitirán describir de forma sencilla el movimiento del satélite.

Órbita circular

Consideremos un satélite artificial que describe una órbita circular alrededor de la Tierra de radio R. Aplicando la ecuación de la dinámica del movimiento circular uniforme tenemos que:

G Mm R 2 =m v 2 R v= GM R  

donde G=6.67·10-11 Nm2/kg2, y M=5.98·1024 kg es la masa de la Tierra y su radio es de 6370 km.

Como vemos en la figura, cuando el satélite describe una órbita circular, la velocidad es perpendicular a la dirección radial o a la dirección de la fuerza de atracción.

Por ser la fuerza de atracción conservativa, la energía del satélite artificial es constante en todos los puntos de la circunferencia que describe.

E= 1 2 m v 2 +( G Mm R )= 1 2 GMm R

La energía total E es la mitad de la energía potencial, y es negativa.

Movimiento de caída hacia la Tierra

Cuando el satélite artificial cae hacia la Tierra describe una espiral. El ángulo que forma la velocidad con la dirección radial ya no es 90º sino un ángulo 90º-φ un poco más pequeño. En otras palabras, la dirección de la velocidad está ligeramente por debajo de la dirección horizontal local. La dirección normal (perpendicular a la dirección de la velocidad) ya no coincide con la dirección radial sino que forman un ángulo φ.

En la figura, se muestran las fuerzas sobre el satélite cuando está a una distancia r del centro de la Tierra.

Descomponemos la fuerza F en la dirección de la velocidad (tangencial), y en la dirección perpendicular a la velocidad (normal).

Las ecuaciones del movimiento en la dirección tangencial y en la dirección normal son:

mat=F·sinφ-Fr
man=F
·cosφ

m dv dt =F·sinφ F r m v 2 r c =Fcosφ

Donde rc es el radio de curvatura de la trayectoria, un valor distinto al radio r de la trayectoria circular con centro en la Tierra.

Solución numérica

Planteamos las ecuaciones del movimiento en coordenadas rectangulares:

max=-F·cosθ+Fr·sin(θ+φ)
may
=-F·sinθ-Fr·cos(θ+φ)

con

x=r·cosθ    y=r·sinθ
vx
=-v·sin(θ+φvy=v·cos(θ+φ)

Las dos ecuaciones del movimiento se transforman en un sistema de dos ecuaciones diferenciales de segundo orden, que se resuelven por procedimientos numéricos, con las condiciones iniciales t=0, x=R, y=0, vx=0, vy=v0. Donde v0 es la velocidad del satélite artificial cuando describe una órbita circular inicial de radio R.

Aproximaciones

Haciendo algunas aproximaciones, la ecuación del movimiento del satélite artificial se hace más simple.

Si suponemos que el ángulo φ es pequeño y que por tanto, la componente de la velocidad v a lo largo de horizontal local es vH=v·cosφv, y que la componente radial vR es pequeña, por lo que

sinφ≈tanφ=-vR/vH

La ecuación

m v H 2 r =F=G Mm r 2

sería la de un satélite que estuviese describiendo una órbita circular de radio r con velocidad vH=v·cosφ

Simplificando m y r y a continuación, derivando con respecto a r tenemos que

2 v H d v H dr =G M r 2 = F m

La aceleración tangencial vale

a t = dv dt = dr dt dv dr = v R dv dr v R d v H dr

De estas dos últimas ecuaciones llegamos a

a t 1 2 F m v R v H 1 2 F m sinφ

Con esta aproximación, la ecuación del movimiento en la dirección tangencial

mat=F·sinφ-Fr

se escribe

1 2 Fsinφ=Fsinφ F r

El ángulo que forma el vector velocidad con la horizontal local es

sinφ= 2 F r F = 2 r 2 GM F r m

Llegamos a la siguiente conclusión paradójica

mat=Fr

La fuerza de rozamiento incrementa el módulo v de la velocidad del satélite. En realidad, es la resultante de las dos fuerzas (atracción y rozamiento) la que tiene una componente en la dirección de la velocidad del satélite, como puede fácilmente comprobarse a partir de los esquemas de esta página.

Las ecuaciones que nos permiten obtener la posición del móvil en coordenadas polares (r, θ) en función del tiempo t son:

m dv dt = F r v= v 0 + F r m t m v 2 r =G Mm r r= GM v 2 r dθ dt =vθ= v r t

Donde v0 es la velocidad del satélite artificial en la órbita circular inicial de radio R, que describe en el instante inicial t=0.

La energía inicial del satélite artificial la hemos calculado en el apartado anterior. La energía final, suponiendo de nuevo que el satélite artificial describe una órbita casi circular de radio r con velocidad v, será

E f = 1 2 m v 2 +( GMm r )= 1 2 GMm r

La energía perdida a causa del rozamiento del satélite artificial con la atmósfera es la diferencia

ΔE= E f E i = GMm 2 ( 1 R 1 r )<0

Actividades

El objetivo del programa interactivo no es el de realizar un cálculo de la posición y de la velocidad del satélite artificial, sino la de mostrar su trayectoria en forma de espiral, como aumenta su velocidad a medida que desciende.

Se introduce

Se pulsa el botón titulado Nuevo.

Se observa el movimiento del satélite alrededor de la Tierra, hasta que choca con su superficie, una circunferencia de color azul representa la órbita circular inicial.

Se proporcionan los datos del tiempo en horas, la velocidad en m/s y la altura en km sobre la superficie de la Tierra.

A la izquierda, se representa mediante barras de colores los cambios energéticos:

Ejemplo:

Introducimos los datos

Calculamos el ángulo que forma la dirección de la velocidad con la horizontal local

sinφ= 2 (6370+5000) 2 10 6 6.67· 10 11 ·5.98· 10 24 ·0.025=0.016

El ángulo φ es muy pequeño y va disminuyendo a medida que el satélite artificial se acerca a la Tierra.


Referencias

Mills B. D.. Satellite paradox. Am. J. Phys. 27 (1959) pp. 115-117

Arons. A. A F=ma analysis of the spinning skater and decaying satellite orbit. The Physics Teacher 37, March 1999, pp. 154-160