Un cohete de dos fases

Reparto óptimo de combustible entre las dos fases

La masa inicial m0 es la suma de la carga útil, más el combustible y más la masa de los recipientes que contienen el combustible. Para calcular esta última cantidad, se ha supuesto que los recipientes metálicos tiene una masa que es el factor r multiplicado por la masa de combustible. Donde r es del orden del 5% ó 0.05.

masa inicial m0  =carga útil+(1+r) · combustible total.

La cantidad de combustible en la primera fase c0 es igual al producto del combustible total, por el tanto por ciento y dividido por cien.

combustible en la primera fase c0 =combustible total · tanto por ciento/100;

Una vez que ha transcurrido un tiempo t0 igual al cociente entre el combustible en la primera fase c0 y la cantidad D que se quema por segundo, t0=c0/D se alcanza una velocidad máxima v0

v 0 =uln m 0 m 0 c 0

El cohete se desprende de la primera fase disminuyendo la masa inicial del cohete m0 en una cantidad igual a la suma de la masa del combustible quemado c0 y la masa del recipiente que lo contiene

masa inicial al encenderse la segunda fase m1=carga útil+(1+r) · c1

Siendo c1 la masa de combustible de la segunda fase, que es igual a la masa del combustible total menos la masa de combustible de la primera fase c0 ya quemado.

combustible en la segunda fase c1 =combustible total - combustible en la primera fase c0

En el instante t1 se agota el combustible de la segunda fase, es igual al cociente entre la masa de combustible total y la cantidad D que se quema por segundo

t1=combustible total/D.

Cuando se agota el combustible, el cohete alcanza la velocidad máxima v1, continuando con la misma velocidad ya que no actúan fuerzas sobre el mismo.

v 1 = v 0 +uln m 1 m 1 c 1

u=2000; %velocidad de escape de los gases (respecto al cohete)
combustible=9000; %combustible
carga=800;  %carga útil
m0=carga+1.05*combustible; %masa total
D=1000; %kg de combustible quemado por segundo
tf=combustible/D; %tiempo hasta que se agota el combustible
p=0:0.01:1;  %proporción de combustible en la primera fase
c0=p*combustible; %combustible en la primera fase
c1=combustible-c0; %combustible en la segunda fase
%masa del cohete (cuando se ha desprendido la primera fase)
m1=carga+1.05*c1; 
vf=u*log(m0./(m0-c0))+u*log(m1./(m1-c1)); %velocidad final del cohete
plot(p,vf)
grid on
xlabel('p');
ylabel('v_f(m/s)')
title('Proporción de combustible en la primera fase')

Posición y velocidad del cohete en función del tiempo

Velocidad y posición del cohete en la primera etapa

Masa inicial del cohete, m0=M+(1+rc.

Donde M es la carga útil y c es el combustible total

El combustible en la primera fase c0=c·p

La velocidad y posición del cohete en el instante t

v=uln m 0 m 0 Dt x=utln m 0 + u D ( ( m 0 Dt )ln( m 0 Dt )+Dt m 0 ln m 0 )

El combustible de la primera fase se agota en el instante t0=c0/D, en ese momento la posición x0 y velocidad v0 del cohete en este instante son, respectivamente

v 0 =uln m 0 m 0 c 0 x 0 =u c 0 D ln m 0 + u D ( ( m 0 c 0 )ln( m 0 c 0 )+ c 0 m 0 ln m 0 )

Velocidad y posición del cohete en la segunda etapa

Agotado el combustible de la primera fase queda c1=c-c0. La masa inicial del cohete es ahora m1=M+(1+rc1

La velocidad y posición del cohete en el instante t>t0 es

v= v 0 +uln m 1 m 1 D(t t 0 ) x= x 0 + v 0 (t t 0 )+u(t t 0 )ln m 1 + u D ( ( m 1 D(t t 0 ) )ln( m 1 D(t t 0 ) )+D(t t 0 ) m 1 ln m 1 )

El combustible se agota en el instante t=t0+c1/D=c/D

La velocidad final y la posición del cohete son, respectivamente

v 1 = v 0 +uln m 1 m 1 c 1 x 1 = x 0 + v 0 c 1 D +u c 1 D ln m 1 + u D ( ( m 1 c 1 )ln( m 1 c 1 )+ c 1 m 1 ln m 1 )

Ejemplo
u=2000; %velocidad de escape de los gases (respecto al cohete)
combustible=9000; %combustible
c0=0.7*combustible;  %combustible en la primera fase
c1=combustible-c0; %combustible en la segunda fase
carga=800;  %carga útil
m0=carga+1.05*combustible; %masa inicial de la primara fase
m1=carga+1.05*c1; %masa inicial cuando empieza la segunda fase
D=1000; %kg de combustible quemado por segundo
t0=c0/D; %tiempo que tarda en agotarse el combustible de la primera fase
t1=c1/D; %tiempo que tarda en agotarse el combustible de la segunda fase
v0=u*log(m0/(m0-D*t0)); %velocidad final en la primera fase
%posición final primera fase
x0=u*t0*log(m0)+u*((m0-D*t0).*log(m0-D*t0)+D*t0-m0*log(m0))/D; 
v1=v0+u*log(m1/(m1-D*t1)); %velocidad final
%posición final
x1=x0+v0*t1+u*t1*log(m1)+u*((m1-D*t1).*log(m1-D*t1)+D*t1-m1*log(m1))/D; 
fprintf('Velocidad final %4.1f, posición final %5.1f en la 
primera fase\n',v0,x0);
fprintf('Velocidad final %4.1f, posición final %5.1f en la 
segunda fase\n',v1,x1);
 
figure
hold on
t=0:0.05:t0;
v=u*log(m0./(m0-D*t));
plot(t,v,'b');
t=0:0.05:t1;
v=v0+u*log(m1./(m1-D*t));
plot(t0,v(1),'ro','markersize',4,'markerfacecolor','r')
plot(t+t0,v,'r')
hold off
grid on
xlabel('t(s)')
ylabel('v(m/s)')
title('Velocidad')
 
figure
hold on
t=0:0.05:t0;
x=u*t*log(m0)+u*((m0-D*t).*log(m0-D*t)+D*t-m0*log(m0))/D;
plot(t,x,'b')
t=0:0.05:t1;
x=x0+v0*t+u*t*log(m1)+u*((m1-D*t).*log(m1-D*t)+D*t-m1*log(m1))/D;
plot(t0,x(1),'ro','markersize',4,'markerfacecolor','r')
plot(t+t0,x,'r')
hold off
grid on
xlabel('t(s)')
ylabel('x(m)')
title('Posición')

Velocidad final 1907.1, posición final 5066.9 en la primera fase
Velocidad final 4622.8, posición final 13077.0 en la segunda fase

Actividades

Se introduce

Se pulsa el botón titulado Nuevo y a continuación, Empieza

Ahora se tratará de comprobar, que un cohete de dos fases que transporta la misma cantidad de combustible y la misma carga útil, es más ventajoso que el mismo cohete de una sola fase.

En segundo lugar, se tratará de investigar la dependencia de la velocidad final del cohete con el reparto de combustible total entre las dos fases. Manteniendo fijas la cantidad total de combustible y la carga útil, se tratará de modificar el tanto por ciento de combustible en la primera fase y anotar la velocidad final una vez agotado todo el combustible de la segunda fase. Comprobar la distribución óptima de combustible, aquella que da lugar a una mayor velocidad final, completando una tabla como la siguiente.

Tanto por ciento Velocidad al desprenderse la primera fase Velocidad final al agotarse el combustible de la segunda fase
10    
20    
30    
40    
50    
60    
70    
80    
90