Movimiento vertical de un cohete

Consideremos un cohete que en el instante t, tiene una masa m que lleva una velocidad v respecto a un Sistema de Referencia Inercial (por ejemplo, la Tierra).

En el instante t+Δt, una masa Δμ de combustible se expulsa con una velocidad constante –u relativa al cohete, como consecuencia la velocidad de la masa restante (m-Δμ) del cohete se incrementa en v+Δv.

En el instante t, el cohete de masa m lleva una velocidad v. El momento lineal es

p(t)=mv

En el instante t+Δt

El momento lineal en este instante es

p(t+Δt)=(m-Δμ)(v+Δv)+ Δμ(–u+ v)

El cambio de momento lineal entre los instantes t y t+Δt es

Δp= p(t+Δt)- p(t)=m·Δv- Δμ-Δμ·Δv

En el límite cuando Δt→0

dp dt =m dv dt u dμ dt

El cambio de momento lineal se debe a la acción de las fuerzas exteriores al sistema (la fuerza de atracción gravitatoria, que apunta en sentido contrario al momento lineal).

dp dt =mg

Por otra parte, la masa M del sistema formado por el cohete m y el combustible expulsado μ es constante M=μ+m, por lo que dμ+dm=0. La masa del cohete disminuye en dm y aumenta la masa del combustible expulsado en la misma cantidad.

La ecuación del movimiento del cohete se escribe

mg=m dv dt +u dm dt

Suponemos que la cantidad de combustible quemado en la unidad de tiempo, D, es constante, D=-dm/dt. La masa m del cohete en el instante t valdrá m=m0-D·t. Donde m0 es la suma de la carga útil más el combustible inicial, y D·t es el combustible quemado al cabo de un cierto tiempo t.

m dv dt =uDmg

Un cohete puede considerarse una partícula de masa variable m sometida a dos fuerzas de la misma dirección pero de sentidos contrarios: el empuje de los gases uD y el peso mg.

Escribimos la ecuación

dv dt =g+u D m 0 Dt

Que se puede integrar de forma inmediata

v 0 v dv = 0 t ( g+u D m 0 Dt ) dt

obteniéndose la expresión de la velocidad en función del tiempo

v= v 0 gt+u·ln m 0 m 0 Dt

Volviendo a integrar

x x 0 = 0 t v·dt

Se obtiene la posición x del móvil en cualquier instante t.

x= x 0 + v 0 t 1 2 g t 2 +utln m 0 + u D [ ( m 0 Dt )ln( m 0 Dt )+Dt m 0 ln m 0 ]

Ejemplos

El empuje es mayor que peso

Se considera despreciable la masa del recipiente que contiene el combustible

  1. Fuerzas sobre el cohete
  2. Masa total del cohete=carga útil+combustible

    m0=2.0+1.0=3.0 kg

    El peso del cohete m0·g (29.4 N) es menor que el empuje u·D (100 N)

  3. Tiempo que tarda en agotarse el combustible
  4. Como hay 1.0 kg de combustible que se queman a razón de 0.1 kg/s. Luego, el combustible se agota en el instante t0= 10 s.

  5. Velocidad máxima alcanzada por el cohete
  6. v=9.8·t+uln m 0 m 0 Dt v=9.8·10+1000ln( 3 31 )=307m/s

  7. Altura que alcanza hasta que se agota el combustible
  8. x= 1 2 g t 2 +utln m 0 + u D [ ( m 0 Dt )ln( m 0 Dt )+Dt m 0 ln m 0 ] x=4.9· 10 2 +1000·10·ln3+ 1000 0.1 [ 2ln2+13ln3 ]=1400m

  9. Una vez que ha agotado el combustible, el cohete prosigue su movimiento hasta que alcanza la máxima altura. Las ecuaciones del movimiento son
  10. v= v 0 g(t t 0 ) x= x 0 + v 0 (t t 0 ) 1 2 g ( t t 0 ) 2

    Donde x0, v0 es la posición, velocidad del cohete en el instante t0 en el que se ha agotado el combustible.

    La altura máxima se alcanza cuando v=0, en el instante t=41.4 s. La posición del cohete en dicho instante es x=6223 m.

El empuje es menor que peso

Se considera despreciable la masa del recipiente que contiene el combustible

  1. Fuerzas sobre el cohete

  2. El peso del cohete (2.0+9.0)·9.8=107.8 N es mayor que el empuje u·D=1000·0.1=100 N

    Se va quemando el combustible sin que se mueva el cohete hasta el momento en el que el peso se iguala al empuje.

    (c+9)·9.8=100

    Cuando el combustible c=1.204 kg el cohete empieza a elevarse. Se han desperdiciado 2-1.204=0.796 kg de combustible.

  3. Masa inicial del cohete al despegue

  4. m0=1.204+9.0=10.204 kg

  5. Tiempo que tarda en agotarse el combustible

  6. Como hay 1.204 kg de combustible que se queman a razón de 0.1 kg/s. Luego, el combustible se agota en 12.04 s.

  7. Velocidad máxima alcanzada por el cohete

  8. v=9.8·t+uln m 0 m 0 Dt v=9.8·12.04+1000ln( 10.204 9 )=7.56 m/s

  9. Altura que alcanza hasta que se agota el combustible

  10. x= 1 2 g t 2 +utln m 0 + u D [ ( m 0 Dt )ln( m 0 Dt )+Dt m 0 ln m 0 ] x=4.9· 12.04 2 +1000·10.204·ln10.204+ 1000 0.1 [ 9ln9+0.1·12.0410.204ln10.204 ]=29.62m

  11. Tiempo que tarda en alcanzar la máxima altura

  12. 0=7.56-9.8(t-12.04)
    t=12.8 s

    Posición del cohete en dicho instante

    x=29.62+7.56·0.77-4.9·0.772=32.5 m

u=1000; %velocidad de escape de los gases (respecto al cohete)
combustible=1; %combustible
carga=2;  %carga útil
m0=carga+combustible; %masa total
D=0.1; %kg de combustible quemado por segundo
t0=combustible/D; %tiempo hasta que se agota el combustible
v0=-9.8*t0+u*log(m0/(m0-D*t0)); %velocidad final
x0=-4.9*t0^2+u*t0*log(m0)+u*((m0-D*t0)*log(m0-D*t0)+D*t0-m0*log(m0))/D;
fprintf('Velocidad final %4.1f, posición final %5.1f\n',v0,x0);
t1=v0/9.8;  %hasta que alcanza la máxima altura
 
figure
hold on
t=0:0.05:t0;
v=-9.8*t+u*log(m0./(m0-D*t));
plot(t,v,'b')
t=0:0.05:t1;
v=v0-9.8*t;
plot(t+t0,v,'r')
hold off
grid on
xlabel('t(s)')
ylabel('v(m/s)')
title('Velocidad')
 
figure
hold on
t=0:0.05:t0;
x=-4.9*t.^2+u*t*log(m0)+u*((m0-D*t).*log(m0-D*t)+D*t-m0*log(m0))/D;
plot(t,x,'b')
t=0:0.05:t1;
x=x0+v0*t-4.9*t.^2;
plot(t+t0,x,'r')
hold off
grid on
xlabel('t(s)')
ylabel('x(m)')
title('Posición')

Velocidad final 307.5, posición final 1400.7

Actividades

Se introduce:

Se pulsa el botón titulado Nuevo

Al lado del cohete, dos flechas, se dibujan las fuerzas sobre el cohete: en color rojo el empuje y en color azul el peso. El empuje permanece constante, el peso va disminuyendo a medida que se va quemando el combustible.

Si el peso inicial del cohete (carga útil más combustible) m0·g es mayor que el empuje proporcionado por la expulsión de los gases u·D, el cohete quema el combustible sin despegar, hasta el momento en el que el peso se hace igual o menor que el empuje.

Una vez que despega, el cohete agota el combustible en el instante t, cociente entre la masa combustible y el combustible quemado por segundo.

La velocidad que alcanza el cohete cuando agota el combustible se obtiene mediante la fórmula

v=9.8·t+uln m 0 m 0 Dt

donde m0 es la masa del cohete al despegar y t es el tiempo desde que despega hasta que agota el combustible. Después, el cohete continúa ascendiendo hasta que su velocidad se hace cero.