Conservación del momento lineal

Como se ha mencionado en la introducción a esta página y como se muestra en la figura, la velocidad de los gases expulsados respecto del observador terrestre es constante e igual a u₀. La velocidad de salida de los gases para el observador situado en el cohete vale u₀+v, si la velocidad del cohete es v.

La conservación del momento lineal aplicada al sistema aislado formado por el cohete (de masa m y velocidad v) y los gases expulsados hasta el instante t, (masa m₀-m y velocidad u₀) es

mv-(m₀-m)u₀=0

La ecuación del movimiento del cohete es muy simple

${\displaystyle v=\frac{m_0-m}{m}{u}_0=\frac{Dt}{m_0-Dt}{u}_0}$

Siendo D la masa de combustible quemado en la unidad de tiempo.

Integrando, obtenemos la posición del cohete en función del tiempo (hay que integrar dos veces por partes)

${\displaystyle x={\displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int }}v·dt}=\frac{u_0}{D}\left[m_0\ln \frac{m_0}{m_0-Dt}-Dt\right]}$

Balance energético

Energía cinética del cohete

${\displaystyle E_c=\frac{1}{2}m{v}^2=\frac{1}{2}\left(m_0-Dt\right)v^2}$

Energía cinética de los gases expulsados desde el instante t=0, al instante t.

${\displaystyle E_g=\frac{1}{2}Dt·u_0^2}$

Energía cinética total del sistema aislado formado por el cohete y los gases

${\displaystyle E_c+E_g=\frac{1}{2}Dt\frac{m_0}{m_0-Dt}{u}_0^2}$

Rendimiento

${\displaystyle \eta =\frac{E_c}{E_c+E_g}=\frac{Dt}{m_0}}$

El rendimiento del cohete es grande, siempre que la masa final o carga útil que transporta m=m₀-Dt (masa inicial menos combustible quemado) sea pequeña comparada con la masa inicial m₀.

Ejemplo

• Combustible total en el cohete 9000 kg
• Carga útil que transporta 800 kg
• Combustible quemado por segundo D=1000 kg/s
• Velocidad inicial de salida de los gases u₀=2000 m/s
• Masa del recipiente que contiene el combustible 5% de la masa del combustible

Masa total del cohete=carga útil+combustible+masa del recipiente

m₀=800+9000+0.05·9000=10250 kg

1. Tiempo que tarda en agotarse el combustible

Como hay 9000 kg de combustible que se queman a razón de 1000 kg/s. Luego, el combustible se agota en 9 s.

2. Velocidad máxima alcanzada por el cohete

${\displaystyle v=\frac{Dt}{m_0-Dt}{u}_0=\frac{1000·9}{10250-1000·9}=14400\text{m/s}}$

3. En un cohete normal, la velocidad de salida de los gases respecto del cohete es constante (recta de color azul). En un cohete perfecto, el motor impulsor ha de estar diseñado de modo que la velocidad v+u₀ de salida de los gases respecto del cohete (curva de color rojo) tiene que aumentar con el tiempo en la forma indicada en la figura



4. Rendimiento cuando se ha agotado todo el combustible

${\displaystyle \eta =\frac{Dt}{m_0}=\frac{1000·9}{10250}=87.8\%}$

5. Desplazamiento al cabo de 9 s.

${\displaystyle \begin{array}{l}=\frac{u_0}{D}\left[m_0\ln \frac{m_0}{m_0-Dt}-Dt\right]\\ x=\frac{2000}{1000}\left[10250·\ln \left(\frac{10250}{10250-9000}\right)-9000\right]=25135\text{m}\end{array}}$

u=2000; %velocidad de escape de los gases (respecto al cohete)
combustible=9000; %combustible
carga=800;  %carga útil
m0=carga+1.05*combustible; %masa total
D=1000; %kg de combustible quemado por segundo
t0=combustible/D; %tiempo hasta que se agota el combustible
v0=u*D*t0/(m0-D*t0);  %velocidad final
x0=(u/D)*(m0*log(m0/(m0-D*t0))-D*t0);
fprintf('Velocidad final %4.1f, posición final %5.1f\n',v0,x0);
 
figure
t=0:0.05:t0;
v=u*D*t./(m0-D*t);
plot(t,v)
grid on
xlabel('t(s)')
ylabel('v(m/s)')
title('Velocidad')
 
figure
x=(u/D)*(m0*log(m0./(m0-D*t))-D*t);
plot(t,x)
grid on
xlabel('t(s)')
ylabel('x(m)')
title('Posición')

Velocidad final 14400.0, posición final 25134.8

Actividades

Se introduce.

• El combustible c, en el control titulado Combustible total en el cohete
• La carga útil que transporta, en el control titulado Carga útil
• La cantidad D de combustible que se quema por segundo, en el control titulado Combustible quemado por seg.
• La velocidad inicial de salida de los gases se ha fijado en u=2000 m/s
• La masa del recipiente que contiene el combustible se ha fijado en el 5% de la masa del combustible

Se pulsa el botón titulado Nuevo

Se simula un cohete perfecto, de modo que la velocidad de salida de los gases siempre es constante para el observador terrestre pero crece en el sistema de referencia del cohete a medida que éste se acelera.

En la cola del cohete se dibuja una flecha que señala la fuerza de empuje u·D=(u₀+v)·D. El empuje va aumentando a medida que aumenta la velocidad de salida de los gases u₀+v en el Sistema de Referencia en el cohete.

El cohete que estudiaremos, expulsará una cantidad constante D de combustible en la unidad de tiempo

Se sugiere al lector que compare el comportamiento de dos cohetes con la misma carga, la misma cantidad de combustible y el mismo valor para el parámetro D (combustible quemado por segundo).

• Cuando la velocidad de salida de los gases es constante en el sistema de referencia del cohete. Cohete normal
• Cuando la velocidad de salida de los gases es constante en el sistema de referencia terrestre (cohete perfecto)

Referencias

Gowdy, R.H. The physics of perfect rockets. Am. J. Phys. 63 (3) March 1995, pp. 229-232.