Movimiento del c.m. y de las partículas de un sistema (I)

Consideremos un sistema simple de partículas consistente en un muelle en posición vertical que tiene una masa M en el extremo superior y una masa m en su extremo inferior. Se supone que la masa del muelle es despreciable. Inicialmente, el muelle de constante k, está en equilibrio sujeto por la masa M tal como se muestra en la figura.

Situación inicial:

Si l es la longitud del muelle sin deformar, cuando se cuelga de su extremo inferior una masa m, la longitud del muelle se incrementa en d

mg=kd

Para analizar el problema, estableceremos el origen, en la posición inicial de la partícula de masa M, y consideraremos positivas las distancias medidas en sentido descendente.

Ecuación del movimiento de cada una de las partículas:

Cuando se libera la partícula, al cabo de un cierto tiempo t, la posición de la masa inferior m es x y el de la masa superior M es y. Aplicando las leyes de la dinámica a cada una de las partículas vamos a calcular sus posiciones x e y en función del tiempo t.

La deformación del muelle en el  instante t es l-(x-y) y la fuerza que ejerce el muelle sobre cada una de las partículas es F=(l-x+y).

Movimiento de la partícula de masa m

m d 2 x d t 2 =mg+k(lx+y)

Condiciones iniciales: para t=0 su velocidad inicial es cero dx/dt=0 y se encuentra en x=l+d

Movimiento de la partícula de masa M

M d 2 y d t 2 =Mgk(lx+y)

Condiciones iniciales: para t=0, su velocidad inicial es cero dy/dt=0 y se encuentra en el origen y=0.

Movimiento de cada una de las partículas

Conocida la ecuación del movimiento del centro de masas, y la ecuación del movimiento relativo de las dos partículas, determinamos el movimiento de cada una de las partículas.

z= mx+My m+M = m(kl+mg) k(m+M) + 1 2 g t 2 xy=l+ mg k cos(ωt)

Despejamos x e y del sistema de dos ecuaciones,

x=l+ m 2 g k( m+M ) + mMg k( m+M ) cos( ωt )+ 1 2 g t 2 y= m 2 g k( m+M ) ( 1cos( ωt ) )+ 1 2 g t 2

Comprobamos que en el instante t=0, las posiciones iniciales de las partículas son x=l+mg/k, y=0.

Creamos el siguiente script para representar la posiciones x e y de cada una de las dos partículas y del c.m. z en función del tiempo

M=1.0; %masa arriba
m=4.0;   %masa abajo 
longitud=1.0;  %longitud del muelle sin deformar
k=50;     %constante del muelle
w=sqrt(k*(M+m)/(M*m));

t=0:0.02:1.5;
%posiciones arriba y, abajo x.
y=9.8*t.^2/2+m*m*9.8*(1.0-cos(w*t))/(k*(M+m)); 
x=longitud+m*m*9.8/(k*(M+m))+9.8*t.^2/2+M*m*9.8*cos(w*t)/(k*(M+m));
z=(m*x+M*y)/(m+M);  %centro de masa

hold on
plot(t,y,'blue')
plot(t,x,'red')
plot(t,z,'black')
hold off
legend('arriba','abajo','cm','Location','northwest')

xlabel('t(s)')
ylabel('y(m)')
title('Sistema de dos partículas')
grid on

Las velocidades de las partículas se obtienen derivando x e y respecto del tiempo

dx dt =gtω Mmg k(m+M) sin(ωt) dy dt =gt+ω m 2 g k(m+M) sin(ωt)

En el instante t=0, las partículas están en reposo

Energías

Vamos a comprobar que el trabajo de las fuerzas exteriores (el peso) se invierte en modificar la energía del sistema de partículas, Wext=Uf-Ui, o bien

Wext=ΔEk+ ΔEp

Teniendo en cuanta que sin2(ωt)+ cos2(ωt)=1, vemos que se cumple la ecuación que describe el balance energético para el sistema formado por dos partículas unidas por un muelle elástico.

Levitación de la partícula inferior

Observamos que en los primeros instantes del movimiento, la partícula superior (de color azul) y el centro de masa (de color negro) se desplazan, pero la partícula inferior (de color rojo) apenas cambia su posición, parece estar suspendida durante unos instantes en el aire, tal como se puede observar en la figura.

En la ecuación que nos da la posición x de la partícula inferior, supongamos que ωt es pequeño, cos(ωt)≈1

x≈l+mg/k=l+d

La posición de la partícula inferior cambia muy poco en los primeros instantes del movimiento. En la gráfica de la posición x en función del tiempo t, que hemos representado anteriormente utilizando MATLAB, observamos un pequeño segmento horizontal de color rojo.

Actividades

Se introduce:

Se pulsa el botón titulado Nuevo.

Observamos el movimiento de cada una de las dos partículas (señalados por círculos de color azul y rojo) y la del centro de masa del sistema (en color negro).

El programa verifica los datos que introduce el usuario de modo que la deformación máxima del muelle no pueda ser mayor que su longitud inicial l.

Se muestra también como se distribuye la energía total del sistema aislado entre:

Ejemplo:

Se introduce

Calcular las posiciones de las partículas y la del centro de masa en el instante t=1 s.

ω= 50(1+4) 1·4 =7.9rad/s

Las posiciones de las partículas son

x=1.0+ 1 2 9.8· 1 2 +4·9.8 4+1·cos(7.9·1) 50(4+1) =6.52m y= 1 2 9.8· 1 2 + 4 2 ·9.8 50(4+1) ( 1cos(7.9·1) )=5.56m

Conocida la posición de las partículas de masas m=4 y M=1 kg calculamos la posición del c.m.

z= 4·6.52+1·5.56 4+1 =6.33m

La posición inicial del centro de masa es

z 0 = 4(50·1+4·9.8) 50(4+1) =1.43m

La posición del c.m. en el instante t=1 es

z=1.43+ 1 2 9.8· 1 2 =6.33m


Referencias

Glaister. Oscillations of a falling spring. Phys. Educ. V-28 (5) 1993, pp. 329-33