El oscilador armónico bajo la acción de una fuerza de rozamiento constante, nos permite examinar una vez más, el comportamiento de la fuerza de rozamiento. La fuerza de rozamiento tiene un módulo constante, pero su sentido es contrario a la velocidad del móvil.

Consideremos un bloque de masa m unido a un muelle elástico de constante k, que desliza sobre una superficie rugosa. Los coeficientes estático y cinético son respectivamente, μ_s y μ_k, con μ=μ_s = μ_k.

El origen O se toma como la posición de equilibrio del muelle sin deformar. El bloque se suelta desde la posición x₀ a la derecha del origen con velocidad inicial cero.

Vamos a estudiar el comportamiento del sistema desde el punto de vista energético y a continuación, resolveremos las ecuaciones del movimiento.

Balance energético

El trabajo de la fuerza de rozamiento modifica la energía total (cinética más potencial del bloque).

Vamos a calcular las posiciones del bloque para las cuales, su velocidad es cero. A estas posiciones se denominan de retorno, ya que en ellas el bloque cambia el sentido de su movimiento, hasta que finalmente se para. Como la velocidad en las posiciones inicial y final son nulas, la ecuación del balance energético se escribe

${\displaystyle -{\mu }_{k}mg·\left|x_i-x_f\right|=\frac{1}{2}k{x}_f^2-\frac{1}{2}k{x}_i^2}$

Siendo x_i la posición inicial y x_f la final.

Definiremos el parámetro

${\displaystyle \alpha =\frac{\mu mg}{k{x}_0}}$

1. Posición de partida x₀

El bloque se mueve hacia la izquierda si la fuerza que ejerce el muelle kx₀ es superior a la de rozamiento μ_smg. En caso contrario, el bloque permanece en reposo. Supongamos que se cumple μ_smg≤ kx₀ o que α≤1



2. Posición x₁

La ecuación del balance energético se escribe

${\displaystyle \begin{array}{l}-{\mu }_{k}mg(x_0-x_1)=\frac{1}{2}k{x}_1^2-\frac{1}{2}k{x}_0^2\\ x_1=-x_0+2\alpha x_0\end{array}}$

• Si 1/2≤α≤1, el bloque no cruzará el origen y x₁≥0  será la posición final  

• Si α<1/2, el bloque cruzará el origen y x₁<0 será una posición de retorno

Supongamos que ocurre la segunda situación x₁<0 tal como se muestra en la figura



3. Posición x₂

El móvil parte de x₁ con velocidad inicial nula siempre que se cumpla que k|x₁|≥μ_smg,

k(x₀-2αx₀)≥ μ_smg o bien, que α≤1/3 en caso contrario, la posición x₁ será la final del bloque. Supongamos que se cumple la primera condición.

La ecuación del balance energético se escribe

${\displaystyle \begin{array}{l}-{\mu }_{k}mg\left(x_2-x_1\right)=\frac{1}{2}k{x}_2^2-\frac{1}{2}k{x}_1^2\\ x_2=-x_1-2\alpha x_0=x_0-4\alpha x_0\end{array}}$

• Si 1/4≤α≤1/3, el bloque no cruzará el origen y x₂≤0  será la posición final

• Si α<1/4, el bloque cruzará el origen y x₂>0 será una posición de retorno

Supongamos que ocurre la segunda situación x₂>0, tal como se muestra en la figura



4. Posición x₃

El móvil parte de x₂ con velocidad inicial nula siempre que se cumpla que kx₂≥μ_smg,

k(x₀-4αx₀)≥μ_smg o bien que α≤1/5, en caso contrario, la posición x₃ será la final del bloque. Supongamos que se cumple la primera condición.

La ecuación del balance energético se escribe

${\displaystyle \begin{array}{l}-{\mu }_{k}mg\left(x_2-x_3\right)=\frac{1}{2}k{x}_3^2-\frac{1}{2}k{x}_2^2\\ x_3=-x_2+2\alpha x_0=-x_0+6\alpha x_0\end{array}}$

• Si 1/6≤α≤1/5, el bloque no cruzará el origen y x₃≥0  será la posición final

• Si α<1/6, el bloque cruzará el origen y x₃<0 será una posición de retorno



Si x₃ está en el mismo lado que x₂, x₃ será la posición final del bloque.

En general.

En general, tendremos que

x_n=(-1)ⁿ(1-2nα)x₀

• Si $\frac{1}{2n}\le \alpha \le \frac{1}{2n-1}$ , el bloque no cruzará el origen y x_n será la posición final

• Si $\alpha <\frac{1}{2n}$ , el bloque cruzará el origen y x_n será una posición de retorno

Dado el valor de α, el bloque se detiene en la posición x_n tal que

${\displaystyle \frac{1}{2\alpha }\le n\le \frac{1+\alpha }{2\alpha }}$

Ejemplo:

• Sea k =50, m=1, μ=μ_k=μ_s=0.7,

• La posición de partida x₀=0.7 con velocidad inicial nula

El parámetro

${\displaystyle \alpha =\frac{\mu mg}{k{x}_0}=\frac{0.7·1·9.8}{50·0.7}=0.196}$

• Verificamos que el bloque no está en reposo kx₀≥ μ_smg, 50·0.7>0.7·1·9.8

Calculamos la posición x₁

x₁=-x₀+2αx₀=-0.7+2·0.1372·0.7=-0.4256

que está a la izquierda del origen.

• Verificamos que k|x₁|≥ μ_smg, 50·0.4256>0.7·1·9.8

Calculamos la posición x₂

x₂=x₀-4αx₀=0.1512

que está a la derecha del origen.

• Verificamos que kx₂≥ μ_smg, 50·0.1512>0.7·1·9.8

Calculamos la posición x₃

x₃=-x₀+6αx₀=0.1232

Como x₃ está a la derecha del origen, es la posición final del bloque en reposo

Comprobamos

${\displaystyle \frac{1}{2\alpha }\le n\le \frac{1+\alpha }{2\alpha }2.55\le n\le 3.05}$

se cumple para n=3.

Utilizamos MATLAB para calcular estas posiciones

>> k=50; m=1; mu=0.7; g=9.8;
>> x0=0.7;
>> alfa=mu*m*g/(k*x0)
alfa =    0.1960
>> N=floor((1+alfa)/(2*alfa))
N =     3
>> n=1:N;
>> x=((-1).^n).*(1-2*n*alfa)*x0
x =   -0.4256    0.1512    0.1232

Balance energético

El espacio recorrido por el bloque hasta que se para en la posición x₃ es

s₃=x₀+2|x₁|+2x₂+|x₃| = x₀+2(x₀-2αx₀)+2(x₀-4αx₀)+(x₀-6αx₀)

En general,

${\displaystyle s_n=x_0+{\displaystyle \sum _{i=1}^{n-1}2\left|x_i\right|}+\left|x_n\right|=2n{x}_0-2(n-1)n\alpha x_0-2n\alpha x_0=2n{x}_0(1-n\alpha )}$

ya que la suma de n-1 números pares es (n-1)n

El trabajo de la fuerza de rozamiento es

W_r=-μ_kmg·s_n=- μ_kmg (1-nα)·(2n·x₀)

La variación de energía potencial del bloque unido al muelle es

${\displaystyle \begin{array}{l}\Delta E=\frac{1}{2}k{x}_n^2-\frac{1}{2}k{x}_0^2=\frac{1}{2}k{\left(x_0-2n\alpha x_0\right)}^2-\frac{1}{2}k{x}_0^2=\\ \frac{1}{2}\frac{{\mu }_{k}mg}{\alpha x_0}(x_0^2-4n\alpha x_0^2+4n^2{\alpha }^2{x}_0^2-x_0^2)=-{\mu }_{k}mg(1-n\alpha )(2n{x}_0)\end{array}}$

Ambas cantidades coinciden W_r=ΔE

Ecuaciones del movimiento

Cuando el bloque se mueve hacia la izquierda (v<0), la ecuación del movimiento es

ma=-kx+ μ_kmg,

Cuando el bloque se mueve hacia la derecha (v>0), la ecuación del movimiento es

ma=-kx- μ_kmg,

Escribimos las ecuaciones del movimiento en forma de ecuación diferencial

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{d^{2}x}{d{t}^2}+\frac{k}{m}x={\mu }_{k}g\frac{dx}{dt}<0\\ \frac{d^{2}x}{d{t}^2}+\frac{k}{m}x=-{\mu }_{k}g\frac{dx}{dt}>0\end{array}}$

Las ecuaciones del movimiento nos recuerdan la ecuación diferencial de un MAS, pero además tiene un término adicional ±μ_kg

La solución de la ecuación diferencial es la suma de la homogénea (la ecuación de un MAS) más una constante C. Introduciendo la solución particular (la constante C)  en la ecuación diferencial

(k/m)C=±μ_kg, C=±μ_kmg/k=±αx₀

La solución completa de cada una de las ecuaciones diferenciales es

${\displaystyle \begin{array}{l}x=A\cos (\omega t)+B\sin (\omega t)+\alpha x_{0}v<0\\ x=A\cos (\omega t)+B\sin (\omega t)-\alpha x_{0}v>0\end{array}}$

como puede comprobarse por simple sustitución

La velocidad del bloque en ambos casos es

${\displaystyle v=\frac{dx}{dt}=-A\omega \sin (\omega t)+B\omega \cos (\omega t),\omega =\sqrt{\frac{k}{m}}}$

Las constantes A y B se determina a partir de las condiciones iniciales

1. Posición de partida x₀

El bloque se mueve hacia la izquierda (v<0) si la fuerza que ejerce el muelle kx₀ es superior a la de rozamiento μ_smg. En caso contrario, el bloque permanece en reposo

Supongamos que se cumple kx₀≥μ_smg.

Las condiciones iniciales son: en el instante t=0, la velocidad v=0, y la posición es x=x₀.

x₀=A₁+αx₀
0=B₁ω

La posición del bloque en función del tiempo se escribe

x=A₁cos(ωt)+αx₀, la amplitud es A₁=x₀-αx₀.
x=(x₀-αx₀)cos(ωt)+αx₀

El bloque se para momentáneamente en la posición x₁ cuando v=0

${\displaystyle v=\frac{dx}{dt}=-A_1\omega ·\text{sin}(\omega t)}$

La velocidad se anula en el instante t, cuando ωt=π. La posición del bloque en este instante es

x₁=-(x₀-αx₀)+αx₀ =-x₀+2αx₀

que es el mismo resultado que hemos obtenido en el apartado anterior

2. Movimiento hacia la derecha v>0

El bloque se mueve hacia la derecha (v>0) siempre que se cumpla que k|x₁|≥ μ_smg . En caso contrario, el bloque permanece en reposo. Supongamos que se cumple esta condición

Las condiciones iniciales son: en el instante ωt=π, la velocidad v=0 y la posición es x₁.

x₁=A₂cos(π)-αx₀
0=B₂ω·cos(π)

La posición del bloque en función del tiempo se escribe

x=A₂cos(ωt)-αx₀, la amplitud es A₂=-x₁-αx₀=x₀-3αx₀
x=(x₀-3αx₀)cos(ωt)-αx₀

El bloque se para momentáneamente en la posición x₂ cuando v=0

${\displaystyle v=\frac{dx}{dt}=-A_2\omega ·\text{sin}(\omega t)}$

La velocidad se anula en el instante t, cuando ωt=2π. La posición del bloque en este instante es

x₂=A₂-αx₀ =x₀-4αx₀

que es el mismo resultado que hemos obtenido en el apartado anterior

Se continúa el proceso hasta que el bloque se detiene

Resumen

El bloque tarda el mismo tiempo en describir cada una de las oscilaciones. Su periodo es

${\displaystyle P=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}}$

• En la primera semioscilación v<0, la posición del bloque en función del tiempo es

x=(x₀-αx₀)cos(ωt)+αx₀,  . 

• En la segunda semioscilación v>0, la posición del bloque en función del tiempo es

x=(x₀-3αx₀)cos(ωt)-αx₀

• En la semioscilación n, la posición y la velocidad del bloque en función del tiempo es

x=x₀(1-(2n-1)α)cos(ωt)-(-1)ⁿαx₀
v=-x₀(1-(2n-1)α)ωsin(ωt)

El bloque describe un MAS cuya  amplitud permanece constante durante cada semiperiodo de la oscilación.

La amplitud disminuye una cantidad constante 2αx₀ entre dos semiperiodos consecutivos.

Los desplazamientos se sitúan entre un par de líneas rectas con pendiente ±4αx₀/P (lo que puede compararse con las envolventes exponenciales en el caso del rozamiento viscoso)

La velocidad del bloque se hace cero en los instantes t_n=n·π/ω   n=1, 2, 3,..

El siguiente script de MATLAB, representa la posición del bloque en función del tiempo

k=50; m=1; mu=0.7; g=9.8; 
x0=0.7; %posición inicial
alfa=mu*m*g/(k*x0);
N=floor((1+alfa)/(2*alfa)); %número de semiperiodos
w=sqrt(k/m); %frecuencia angular
t=linspace(0,pi/w,50); 
hold on
for n=1:N %una gráfica por cada semiperiodo
    x=x0*(1-(2*n-1)*alfa)*cos(w*t)-(-1)^n*alfa*x0; %posición
    plot(t,x,'r')
    t=t+pi/w;
end
hold off
grid on
xlabel('t')
ylabel('x')
title('oscilaciones amortiguadas')

Representamos la velocidad del bloque en función del tiempo

k=50; m=1; mu=0.7; g=9.8; 
x0=0.7; %posición inicial
alfa=mu*m*g/(k*x0);
N=floor((1+alfa)/(2*alfa)); %número de semiperiodos
w=sqrt(k/m); %frecuencia angular
t=linspace(0,pi/w,50); 
hold on
for n=1:N %una gráfica por cada semiperiodo
     v=-x0*(1-(2*n-1)*alfa)*w*sin(w*t); %velocidad
    plot(t,v,'b')
    t=t+pi/w;
end
hold off
grid on
xlabel('t')
ylabel('v')
title('Oscilaciones amortiguadas')

Ejemplo:

• Sea k =50, m=1, μ=μ_k=μ_s=0.7

La frecuencia angular ω=7.07 rad/s, y el periodo P=0.89 s

• La posición de partida x₀=0.7 con velocidad inicial nula

1. Verificamos que el bloque no permanece en reposo kx₀≥μ_smg, 50·0.7>0.7·1·9.8

La amplitud de la primera semioscilación es A₁=x₀-αx₀ =0.5628

El bloque se mueve hacia la izquierda (v<0). La posición del bloque en función del tiempo t es

x=0.5628·cos(7.07·t)+0.1372

La velocidad del bloque es

v=-0.5628·7.07·sin(7.07·t)

La velocidad se hace nuevamente cero, en el instante ωt=π, t=0.44

Calculamos la posición x₁ en este instante, x₁=-0.5628+0.1372=-0.4256

que está a la izquierda del origen.

2. Verificamos que k|x₁|≥μ_smg, 50·0.4256>0.7·1·9.8, el bloque se mueve hacia la derecha

La amplitud de la segunda semioscilación es

A₂=A₁-2αx₀ =0.2884

El bloque se mueve hacia la derecha (v>0). La posición del bloque en función del tiempo t es

x=0.2884·cos(7.07·t)-0.1372

La velocidad del bloque es

v=-0.2884·7.07·sin(7.07·t)

La velocidad se hace nuevamente cero, en el instante ωt=2π, t=0.89

Calculamos la posición x₂ en este instante, x₂=0.2884-0.1372=0.1512

que está a la derecha del origen.

3. Verificamos que kx₂≥μ_smg, 50·0.1512>0.7·1·9.8. El bloque se mueve hacia la izquierda (v<0)

La amplitud de la tercera semioscilación es

A₃=A₂-2αx₀=0.014

El bloque se mueve hacia la izquierda (v<0). La posición del bloque en función del tiempo t es

x=0.014·cos(7.07·t)+0.1372

La velocidad del bloque es

v=-0.014·7.07·sin(7.07·t)

La velocidad se hace nuevamente cero, en el instante ωt=3π, t=1.33

Calculamos la posición x₃ en este instante, x₃=-0.014+0.1372=0.1232

que está a la derecha del origen.

Como x₃ está a la derecha del origen, es la posición final del bloque en reposo

Solución numérica

Expresamos la ecuación diferencial que describe el movimiento del bloque de la siguiente forma utilizando de la función sgn, que en MATLAB se denomina sign.

${\displaystyle \begin{array}{l}\mathrm{sgn}(x)=\{\begin{array}{l}-1x<0\\ 1x>0\\ 0x=0\end{array}\\ \frac{d^{2}x}{d{t}^2}+{\mu }_{k}g\mathrm{sgn}\left(\frac{dx}{dt}\right)+{\omega }_0^{2}x=0\end{array}}$

Resolvemos la ecuación diferencial mediante ode45 con los siguientes valores de los parámetros:

k =50, m=1, μ=0.3

Posición inicial x₀=0.7, velocidad inicial v₀=0.

k=50; m=1; mu=0.3; %cambiar el coeficiente de rozamiento mu
x0=0.7; %posición inicial
alfa=mu*m*g/(k*x0);
N=floor((1+alfa)/(2*alfa)); %número de semiperiodos
w0=sqrt(k/m); %frecuencia angular

f=@(t,x) [x(2);-mu*9.8*sign(x(2))-w0*w0*x(1)]; 
tspan=[0 N*pi/w];
x_0=[x0 0]; %condiciones iniciales [posición, velocidad]
[t,x]=ode45(f,tspan,x_0);
plot(t,x(:,1),'r')
grid on
xlabel('t')
ylabel('x');
title('oscilador amortiguado')

Actividades

Se introduce

• El coeficiente de rozamiento μ en el control titulado Coef. rozamiento
• La constante elástica k del muelle o cuadrado de la frecuencia angular ω₀, en el control titulado Constante elástica.
• La posición inicial del bloque en el control titulado Posición inicial
• La masa del bloque se ha fijado en m=1.0 kg

Se pulsa el botón titulado Nuevo

Se observa el movimiento del bloque entre los puntos de retorno, hasta que se para.

Se representa la posición del bloque en función del tiempo.

• Una flecha de color rojo, representa la fuerza que ejerce el muelle
• Una flecha de color azul, representa la fuerza de rozamiento.

En la parte superior derecha, se proporcionan los datos de

• El tiempo
• La posición del bloque
• La velocidad del bloque
• La energía del bloque (cinética más potencial)

En la parte izquierda, se representa la energía del bloque en forma de diagrama de barras.

• En color rojo, la energía potencial elástica
• En color azul, la energía cinética

vemos como la energía total disminuye continuamente a causa del trabajo de las fuerzas de rozamiento.

Referencias

Lapidus I. R., Motion of a harmonic oscillator with sliding friction. Am. J. Phys. 38 (1970) pp. 1360-1361

Marchewka A, Abbott D., Beichner R., Oscillator damped by a constant-magnitude friction force. Am. J. Phys. 72 (4) April 2004, pp. 477-483