Oscilador amortiguado por una fuerza de módulo constante

Plano horizontal

El oscilador armónico bajo la acción de una fuerza de rozamiento constante, nos permite examinar una vez más, el comportamiento de la fuerza de rozamiento. La fuerza de rozamiento tiene un módulo constante, pero su sentido es contrario a la velocidad del móvil.

Consideremos un bloque de masa m unido a un muelle elástico de constante k, que desliza sobre una superficie rugosa. Los coeficientes estático y cinético son respectivamente, μs y μk, con μ=μs = μk.

El origen O se toma como la posición de equilibrio del muelle sin deformar. El bloque se suelta desde la posición x0 a la derecha del origen con velocidad inicial cero.

Vamos a estudiar el comportamiento del sistema desde el punto de vista energético y a continuación, resolveremos las ecuaciones del movimiento.

Balance energético

El trabajo de la fuerza de rozamiento modifica la energía total (cinética más potencial del bloque).

Vamos a calcular las posiciones del bloque para las cuales, su velocidad es cero. A estas posiciones se denominan de retorno, ya que en ellas el bloque cambia el sentido de su movimiento, hasta que finalmente se para. Como la velocidad en las posiciones inicial y final son nulas, la ecuación del balance energético se escribe

μmg·| x i x f |= 1 2 k x f 2 1 2 k x i 2

Siendo xi la posición inicial y x la final.

Definiremos el parámetro

α= μmg k x 0

  1. Posición de partida x0

  2. El bloque se mueve hacia la izquierda si la fuerza que ejerce el muelle kx0 es superior a la de rozamiento μmg. En caso contrario, el bloque permanece en reposo. Supongamos que se cumple μmg≤ kx0 o que α≤1

  3. Posición x1

  4. La ecuación del balance energético se escribe

    μmg( x 0 x 1 )= 1 2 k x 1 2 1 2 k x 0 2 x 1 = x 0 +2α x 0

    Supongamos que ocurre la segunda situación x1<0 tal como se muestra en la figura

  5. Posición x2

  6. El móvil parte de x1 con velocidad inicial nula siempre que se cumpla que k|x1| μmg,

    k(x0-2αx0)≥ μmg o bien, que α≤1/3 en caso contrario, la posición x1 será la final del bloque. Supongamos que se cumple la primera condición.

    La ecuación del balance energético se escribe

    μ k mg( x 2 x 1 )= 1 2 k x 2 2 1 2 k x 1 2 x 2 = x 1 2α x 0 = x 0 4α x 0

    Supongamos que ocurre la segunda situación x2>0, tal como se muestra en la figura

  7. Posición x3

  8. El móvil parte de x2 con velocidad inicial nula siempre que se cumpla que kx2 μmg,

    k(x0-4αx0)≥ μmg o bien que α≤1/5, en caso contrario, la posición x3 será la final del bloque. Supongamos que se cumple la primera condición.

    La ecuación del balance energético se escribe

    μmg( x 2 x 3 )= 1 2 k x 3 2 1 2 k x 2 2 x 3 = x 2 +2α x 0 = x 0 +6α x 0

    Si x3 está en el mismo lado que x2, x3 será la posición final del bloque.

En general.

En general, tendremos que

xn=(-1)n(1-2)x0

Dado el valor de α, el bloque se detiene en la posición xn tal que

1 2α n 1+α 2α

Ejemplo:

El parámetro

α= μmg k x 0 = 0.7·1·9.8 50·0.7 =0.196

Comprobamos

1 2α n 1+α 2α 2.55n3.05

se cumple para n=3.

Utilizamos MATLAB para calcular estas posiciones

>> k=50; m=1; mu=0.7; g=9.8;
>> x0=0.7;
>> alfa=mu*m*g/(k*x0)
alfa =    0.1960
>> N=floor((1+alfa)/(2*alfa))
N =     3
>> n=1:N;
>> x=((-1).^n).*(1-2*n*alfa)*x0
x =   -0.4256    0.1512    0.1232

Balance energético

El espacio recorrido por el bloque hasta que se para en la posición x3 es

s3=x0+2|x1|+2x2+|x3| = x0+2(x0-2αx0)+2(x0-4αx0)+(x0-6αx0)

En general,

s n = x 0 + i=1 n1 2| x i | +| x n |=2n x 0 2(n1)nα x 0 2nα x 0 =2n x 0 (1nα)

ya que la suma de n-1 números pares es (n-1)n

El trabajo de la fuerza de rozamiento es

Wr=-μmg·sn=- μmg (1-nα)·(2n·x0)

La variación de energía potencial del bloque unido al muelle es

ΔE= 1 2 k x n 2 1 2 k x 0 2 = 1 2 k ( x 0 2nα x 0 ) 2 1 2 k x 0 2 = 1 2 μmg α x 0 ( x 0 2 4nα x 0 2 +4 n 2 α 2 x 0 2 x 0 2 )=μmg(1nα)(2n x 0 )

Ambas cantidades coinciden WrE

Ecuaciones del movimiento

Cuando el bloque se mueve hacia la izquierda (v<0), la ecuación del movimiento es

ma=-kx+ μmg,

Cuando el bloque se mueve hacia la derecha (v>0), la ecuación del movimiento es

ma=-kx- μmg,

Escribimos las ecuaciones del movimiento en forma de ecuación diferencial

d 2 x d t 2 + k m x=μg dx dt <0 d 2 x d t 2 + k m x=μg dx dt >0

Las ecuaciones del movimiento nos recuerdan la ecuación diferencial de un MAS, pero además tiene un término adicional ±μkg

La solución de la ecuación diferencial es la suma de la homogénea (la ecuación de un MAS) más una constante C. Introduciendo la solución particular (la constante C)  en la ecuación diferencial

(k/m)Cμkg, Cμkmg/k=±αx0

La solución completa de cada una de las ecuaciones diferenciales es

x=Acos( ωt+φ )+α x 0 v<0  x=Acos( ωt+φ )α x 0 v>0

como puede comprobarse por simple sustitución

La velocidad del bloque en ambos casos es

v= dx dt =Aω·sin(ωt+φ)ω= k m

Las constantes A y φ se determina a partir de las condiciones iniciales

  1. Posición de partida x0

  2. El bloque se mueve hacia la izquierda (v<0) si la fuerza que ejerce el muelle kx0 es superior a la de rozamiento μmg. En caso contrario, el bloque permanece en reposo

    Supongamos que se cumple kx0 μmg.

    Las condiciones iniciales son: en el instante t=0, la velocidad v=0, y la posición es x=x0.

    x0=A1cosφ+αx0
    0=A1ω·sinφ

    La posición del bloque en función del tiempo se escribe

    x=A1cos(ωt)+αx0, la amplitud es A1=x0-αx0.
    x
    =(x0-αx0)cos(ωt)+αx0

    El bloque se para momentáneamente en la posición x1 cuando v=0

    v= dx dt = A 1 ω·sin(ωt)

    La velocidad se anula en el instante t, cuando ωt=π. La posición del bloque en este instante es

    x1=-(x0-αx0)+αx0 =-x0+2αx0

    que es el mismo resultado que hemos obtenido en el apartado anterior

  3. Movimiento hacia la derecha v>0

  4. El bloque se mueve hacia la derecha (v>0) siempre que se cumpla que k|x1| μmg . En caso contrario, el bloque permanece en reposo. Supongamos que se cumple esta condición

    Las condiciones iniciales son: en el instante ωt=π, la velocidad v=0 y la posición es x1.

    x1=A2cos(π)-αx0
    0=A2ω·sin(π)

    La posición del bloque en función del tiempo se escribe

    x=A2cos(ωt)-αx0, la amplitud es A2=-x1-αx0=x0-3αx0
    x
    =(x0-3αx0)cos(ωt)-αx0

    El bloque se para momentáneamente en la posición x2 cuando v=0

    v= dx dt = A 2 ω·sin(ωt)

    La velocidad se anula en el instante t, cuando ωt=2π. La posición del bloque en este instante es

    x2=A2-αx0 =x0-4αx0

    que es el mismo resultado que hemos obtenido en el apartado anterior

    Se continúa el proceso hasta que el bloque se detiene

Resumen

El bloque tarda el mismo tiempo en describir cada una de las oscilaciones. Su periodo es

P=2π m k

El bloque describe un MAS cuya  amplitud permanece constante durante cada semiperiodo de la oscilación.

La amplitud disminuye una cantidad constante 2αx0 entre dos semiperiodos consecutivos.

Los desplazamientos se sitúan entre un par de líneas rectas con pendiente ±4αx0/P (lo que puede compararse con las envolventes exponenciales en el caso del rozamiento viscoso)

La velocidad del bloque se hace cero en los instantes tn=n·π/ω   n=1, 2, 3,..

El siguiente script de MATLAB, representa la posición del bloque en función del tiempo

k=50; m=1; mu=0.7; g=9.8; 
x0=0.7; %posición inicial
alfa=mu*m*g/(k*x0);
N=floor((1+alfa)/(2*alfa)); %número de semiperiodos
w=sqrt(k/m); %frecuencia angular
t=linspace(0,pi/w,50); 
hold on
for n=1:N %una gráfica por cada semiperiodo
    x=x0*(1-(2*n-1)*alfa)*cos(w*t)-(-1)^n*alfa*x0;
    plot(t,x,'r')
    t=t+pi/w;
end
hold off
grid on
xlabel('t')
ylabel('x')
title('oscilaciones amortiguadas')

Ejemplo:

La frecuencia angular ω=7.07 rad/s, y el periodo P=0.89 s

  1. Verificamos que el bloque no permanece en reposo kx0 μmg, 50·0.7>0.8·1·9.8

  2. La amplitud de la primera semioscilación es A1=x0-αx0 =0.5628

    El bloque se mueve hacia la izquierda (v<0). La posición del bloque en función del tiempo t es

    x=0.5628·cos(7.07·t)+0.1372

    La velocidad del bloque es

    v=-0.5628·7.07·sin(7.07·t)

    La velocidad se hace nuevamente cero, en el instante ωt=π, t=0.44

    Calculamos la posición x1 en este instante, x1=-0.5628+0.1372=-0.4256

    que está a la izquierda del origen.

  3. Verificamos que k|x1|≥ μmg, 50·0.4256>0.7·1·9.8, el bloque se mueve hacia la derecha

  4. La amplitud de la segunda semioscilación es

    A2=A1-2αx0 =0.2884

    El bloque se mueve hacia la derecha (v>0). La posición del bloque en función del tiempo t es

    x=0.2884·cos(7.07·t)-0.1372

    La velocidad del bloque es

    v=-0.2884·7.07·sin(7.07·t)

    La velocidad se hace nuevamente cero, en el instante ωt=2π, t=0.89

    Calculamos la posición x2 en este instante, x2=0.2884-0.1372=0.1512

    que está a la derecha del origen.

  5. Verificamos que kx2 μmg, 50·0.1512>0.7·1·9.8. El bloque se mueve hacia la izquierda (v<0)

  6. La amplitud de la tercera semioscilación es

    A3=A2-2αx0=0.014

    El bloque se mueve hacia la izquierda (v<0). La posición del bloque en función del tiempo t es

    x=0.014·cos(7.07·t)+0.1372

    La velocidad del bloque es

    v=-0.014·7.07·sin(7.07·t)

    La velocidad se hace nuevamente cero, en el instante ωt=3π, t=1.33

    Calculamos la posición x3 en este instante, x3=-0.014+0.1372=0.1232

    que está a la derecha del origen.

    Como x3 está a la derecha del origen, es la posición final del bloque en reposo

Solución numérica

Expresamos la ecuación diferencial que describe el movimiento del bloque de la siguiente forma utilizando de la función sgn, que en MATLAB se denomina sign.

sgn(x)={ 1x<0 1x>0 0x=0 d 2 x d t 2 +μgsgn( dx dt )+ ω 0 2 x=0

Resolvemos la ecuación diferencial mediante ode45 con los siguientes valores de los parámetros:

k =50, m=1, μ=0.3

Posición inicial x0=0.7, velocidad inicial v0=0.

k=50; m=1; mu=0.3; %cambiar el coeficiente de rozamiento mu
x0=0.7; %posición inicial
alfa=mu*m*g/(k*x0);
N=floor((1+alfa)/(2*alfa)); %número de semiperiodos
w0=sqrt(k/m); %frecuencia angular

f=@(t,x) [x(2);-mu*9.8*sign(x(2))-w0*w0*x(1)]; 
tspan=[0 N*pi/w];
x_0=[x0 0]; %condiciones iniciales [posición, velocidad]
[t,x]=ode45(f,tspan,x_0);
plot(t,x(:,1),'r')
grid on
xlabel('t')
ylabel('x');
title('oscilador amortiguado')

Actividades

Se introduce

Se pulsa el botón titulado Nuevo

Se observa el movimiento del bloque entre los puntos de retorno, hasta que se para.

Se representa la posición del bloque en función del tiempo.

En la parte superior derecha, se proporcionan los datos de

En la parte izquierda, se representa la energía del bloque en forma de diagrama de barras.

vemos como la energía total disminuye continuamente a causa del trabajo de las fuerzas de rozamiento.



Referencias

Lapidus I. R., Motion of a harmonic oscillator with sliding friction. Am. J. Phys. 38 (1970) pp. 1360-1361

Marchewka A, Abbott D., Beichner R., Oscillator damped by a constant-magnitude friction force. Am. J. Phys. 72 (4) April 2004, pp. 477-483