El muelle elástico

Un muelle ejerce una fuerza F sobre una partícula de masa m que es proporcional al desplazamiento x y de sentido contrario a éste.
El desplazamiento x se mide desde la posición O de equilibrio en la que el muelle se encuentra sin deformar. Cuando el muelle está comprimido (x<0) ejerce una fuerza sobre la partícula dirigida hacia la derecha. Cuando el muelle está estirado (x>0) el muelle ejerce una fuerza hacia la izquierda.
Si estiramos o comprimimos el muelle de constante k solidario con una partícula de masa m y lo soltamos veremos que el muelle empieza a oscilar. A partir de la medida del periodo de dichas oscilaciones, determinamos la constante elástica del muelle.
Aplicamos la segunda ley de Newton al sistema formado por la partícula de masa m y el muelle de constante k.
ma=-kx
Expresado en forma de ecuación diferencial
Esta es la ecuación de un MAS de frecuencia angular
ω 2=k/m y periodo
La posición x de la partícula viene dada en función del tiempo t por al ecuación
x=A·sin(ω·t+φ)
donde A y φ se determinan a partir de las condiciones iniciales: posición inicial y velocidad inicial de la partícula.
La velocidad v de la partícula se obtiene derivando x respecto del tiempo
v=A·ω·cos(ω·t+φ)
La aceleración a se obtiene derivando la velocidad v respecto del tiempo
a=-A·ω2·sin(ω·t+φ)=-ω 2·x
Llegamos de este modo a la ecuación del movimiento de la partícula.
Conservación de la energía
La fuerza que ejerce un muelle F=-kx es conservativa y la expresión de la energía potencial es
La energía mecánica es la suma de la energía cinética y potencial.
Sustituyendo x y v por sus expresiones en función del tiempo t llegamos a la conclusión de que la energía mecánica es constante e independiente del tiempo.
Medida de la constante del muelle

De la fórmula del periodo P obtenemos la siguiente relación lineal
En un sistema de ejes:
- P2/(4π2) en el eje vertical,
- la masa m en el eje horizontal,
se calcula y traza la recta que mejor ajusta a los datos y cuya pendiente es la inversa de la constante k del muelle.

En una experiencia se han medido los periodos P de un muelle cuya masa m en su extremo iba cambiando. A partir de estos datos, se le pide calcular su constante k
m(g) | P(s) |
---|---|
50 | 0.7 |
100 | 0.9 |
150 | 1.2 |
200 | 1.4 |
250 | 1.6 |
>> x=[50 100 150 200 250]/1000; >> y=[0.7 0.9 1.2 1.4 1.6].^2/(4*pi^2); >> plot(x,y,'ro','markersize',4,'markerfacecolor','r') >> xlabel('m (kg)') >> ylabel('P^2/(4\pi^2)') >> title('Oscilaciones de una masa unida a un muelle')
En la ventana gráfica de MATLAB elegimos Tools/Basic fitting, activamos la casilla linear y obtenemos para la pendiente de la recta que mejor ajusta a los datos experimentales p1=0.26799. Por tanto, la constante k=1/p1=3.73 N/m
Actividades
Pulsamos el botón titulado Nuevo
Colgamos del extremo libre del muelle una de 50 g, arrastrándolas con el puntero del ratón. Pulsamos el botón titulado ►. El sistema formado por la masa y el muelle comienza a oscilar.
Pulsamos el botón titulado Nuevo, colgamos del extremo libre del muelle dos pesas de 50 g, pulsamos el botón titulado ► y así, sucesivamente...