El muelle elástico

Un muelle ejerce una fuerza F sobre una partícula de masa m que es proporcional al desplazamiento x y de sentido contrario a éste.

El desplazamiento x se mide desde la posición O de equilibrio en la que el muelle se encuentra sin deformar. Cuando el muelle está comprimido (x<0) ejerce una fuerza sobre la partícula dirigida hacia la derecha. Cuando el muelle está estirado (x>0) el muelle ejerce una fuerza hacia la izquierda.

Si estiramos o comprimimos el muelle de constante k solidario con una partícula de masa m y lo soltamos veremos que el muelle empieza a oscilar. A partir de la medida del periodo de dichas oscilaciones, determinamos la constante elástica del muelle.

Aplicamos la segunda ley de Newton al sistema formado por la partícula de masa m y el muelle de constante k.

ma=-kx

Expresado en forma de ecuación diferencial

$\frac{d^{2} x}{d t^{2}} + \frac{k}{m} x = 0$

Esta es la ecuación de un MAS de frecuencia angular

ω ²=k/m y periodo

$P = 2 π \sqrt{\frac{m}{k}}$

La posición x de la partícula viene dada en función del tiempo t por al ecuación

x=A·sin(ω·t+φ)

donde A y φ se determinan a partir de las condiciones iniciales: posición inicial y velocidad inicial de la partícula.

La velocidad v de la partícula se obtiene derivando x respecto del tiempo

v=A·ω·cos(ω·t+φ)

La aceleración a se obtiene derivando la velocidad v respecto del tiempo

a=-A·ω²·sin(ω·t+φ)=-ω ²·x

Llegamos de este modo a la ecuación del movimiento de la partícula.

Conservación de la energía

La fuerza que ejerce un muelle F=-kx es conservativa y la expresión de la energía potencial es

$E_{p} = \frac{1}{2} k x^{2}$

La energía mecánica es la suma de la energía cinética y potencial.

$E = \frac{1}{2} m v^{2} + \frac{1}{2} k x^{2} = \frac{1}{2} k A^{2}$

Sustituyendo x y v por sus expresiones en función del tiempo t llegamos a la conclusión de que la energía mecánica es constante e independiente del tiempo.

Medida de la constante del muelle

De la fórmula del periodo P obtenemos la siguiente relación lineal

$\frac{P^{2}}{4 π^{2}} = (\frac{1}{k}) m$

En un sistema de ejes:

P²/(4π²) en el eje vertical,
la masa m en el eje horizontal,

se calcula y traza la recta que mejor ajusta a los datos y cuya pendiente es la inversa de la constante k del muelle.

En una experiencia se han medido los periodos P de un muelle cuya masa m en su extremo iba cambiando. A partir de estos datos, se le pide calcular su constante k

m(g)	P(s)
50	0.7
100	0.9
150	1.2
200	1.4
250	1.6

>> x=[50 100 150 200 250]/1000;
>> y=[0.7 0.9 1.2 1.4 1.6].^2/(4*pi^2);
>> plot(x,y,'ro','markersize',4,'markerfacecolor','r')
>> xlabel('m (kg)')
>> ylabel('P^2/(4\pi^2)')
>> title('Oscilaciones de una masa unida a un muelle')

En la ventana gráfica de MATLAB elegimos Tools/Basic fitting, activamos la casilla linear y obtenemos para la pendiente de la recta que mejor ajusta a los datos experimentales p1=0.26799. Por tanto, la constante k=1/p1=3.73 N/m

Actividades

Pulsamos el botón titulado Nuevo

Colgamos del extremo libre del muelle una de 50 g, arrastrándolas con el puntero del ratón. Pulsamos el botón titulado ►. El sistema formado por la masa y el muelle comienza a oscilar.

Pulsamos el botón titulado Nuevo, colgamos del extremo libre del muelle dos pesas de 50 g, pulsamos el botón titulado ► y así, sucesivamente...