Composición de dos M.A.S. de direcciones perpendiculares.

Compondremos dos M.A.S de direcciones perpendiculares dados por las ecuaciones

x= A x sin( ω x t ) y= A y sin( ω y t+δ )

Las amplitudes son Ax y Ay, las frecuencias angulares ωx y ωy, respectivamente, y δ es la diferencia de fase entre ambos movimientos.

wx=3;  %frecuencia en eje X
wy=5;  %frecuencia en el eje Y
fi=90; %desfase en grados

x=@(t) sin(wx*t);
y=@(t) sin(wy*t+fi*pi/180);
fplot(x,y,[0,2*pi]);
xlabel('x');
ylabel('y');
title('Figuras de Lissajous')
grid on

Composición

La composición de dos M.A.S. de direcciones perpendiculares se obtiene a través de la relación existente el M.A.S y el movimiento circular uniforme.

  1. El primer M.A.S. se origina proyectando el extremo del vector rotatorio Ax sobre el eje X, el segmento marcado en color rojo. Al girar con velocidad angular ωx, al cabo de un cierto tiempo t, su posición angular es ωxt. El origen de ángulos se encuentra en el punto marcado por O.
  2. El segundo M.A.S. se origina proyectando el extremo del vector rotatorio  Ay sobre el eje Y, el segmento marcado en color azul. Al girar con velocidad angular ωy, al cabo de un cierto tiempo t, su posición angular es ωyt+δ. El origen de ángulos se encuentra en el punto marcado por O y δ es la posición angular de partida en el instante t=0.

Actividades

Se introduce 

Se pulsa el botón titulado Nuevo.

Se sugieren los siguientes ejemplos:

Frecuencia (X) Frecuencia (Y) Diferencia de fase
1 1 0
1 1 90
1 1 180
1 1 270
1 2 0
1 2 90
2 1 0
2 1 90
2 3 0
2 3 90


Medida de la frecuencia y del desfase de dos señales

Las trayectorias del movimiento resultante de componer dos M.A.S. de direcciones perpendiculares se denomina figuras de Lissajous, tales trayectorias dependen de la relación de frecuencias angulares ωxy y de la diferencia de fase.

Medida del desfase entre dos señales

Componemos dos MAS de direcciones perpendiculares y de la misma frecuencia angular ω, desfasados δ . Supondremos que ambas señales tiene la misma amplitud A.

x=A·sin(ω·t)
y=A·
sin(ω·t+δ )

La trayectoria es una elipse.

La medida de la intersección de la elipse con los ejes X e Y nos permite medir el desfase δ, entre dos señales x e y.

  1. Intersección con el eje Y
  2. Cuando x=0, entonces ω ·t=0, ó π.

    y0=A·sinδ
    y0=A·sin(π)=-A·sinδ

    Si medimos en la parte positiva del eje Y, tendremos que  sin δ=y0/A

    En la pantalla del "osciloscopio" el eje X y el eje Y está dividido en 20 partes, cada división es una unidad.

    Ejemplo: en la figura, A=10, e y0=5, el desfase δ=30º, ó mejor δ=π/6

  3. Intersección con el eje X
  4. Cuando y=0, entonces ω·t=-δ , ó π-δ .

    x0=-A·sinδ
    x0=A·sin(π)=A·sinδ

    Ejemplo: en la figura, A=10, e x0=5, el desfase δ=30º, ó mejor δ=π/6

  5. Intersección con x=A el borde derecho de la pantalla del "osciloscopio"
  6. A=A·sin(ω·t) por lo que ω·t=π/2

    y1=A·sin(π/2)=A·cosδ

    Ejemplo: en la figura A=10 y y1=8.75, el desfase δ≈30º, ó mejor δ=π/6

Se obtiene la misma trayectoria con el desfase 30º y 330º y también con 150º y 210º. Pero podemos distinguir el desfase 30º de 150º, por la orientación de los ejes de la elipse.

Medida de la frecuencia

Componemos dos MAS de direcciones perpendiculares y de distinta frecuencia angular ωx, y ωy .Supondremos que ambas señales tiene la misma amplitud A y el desfase δ puede ser cualquier valor

x=A·sin(ωx·t)
y=A·
sin(ωy·t+δ)

La relación de frecuencias angulares se puede obtener a partir del número de tangentes de la trayectoria en el lado vertical y en el lado horizontal.

ω x ω y = número de tangentes en el lado vertical número de tangentes en el lado horizontal

Ejemplo: en la figura

ω x ω y = 3 2