Compondremos dos M.A.S de direcciones perpendiculares dados por las ecuaciones

${\displaystyle \begin{array}{l}x=A_x\sin \left({\omega }_{x}t\right)\\ y=A_y\sin \left({\omega }_{y}t+\delta \right)\end{array}}$

Las amplitudes son A_x y A_y, las frecuencias angulares ω_x y ω_y, respectivamente, y δ es la diferencia de fase entre ambos movimientos. En la representación gráfica, las filas son ω_x/ω_y=1/1, 1/2, 1/3, 2/3, 3/4, 3/5, para la diferencia de fase δ=0, π/4 y π/2 (columnas)

wx=3;  %frecuencia en eje X
wy=5;  %frecuencia en el eje Y
subplot(1,3,1)
delta=0; %desfase
fplot(@(t) sin(wx*t), @(t) sin(wy*t+delta), [0,2*pi]) 
axis square
subplot(1,3,2)
delta=pi/4;
fplot(@(t) sin(wx*t), @(t) sin(wy*t+delta), [0,2*pi]) 
axis square
subplot(1,3,3)
delta=pi/2;
fplot(@(t) sin(wx*t), @(t) sin(wy*t+delta), [0,2*pi]) 
axis square

Composición

La composición de dos M.A.S. de direcciones perpendiculares se obtiene a través de la relación existente el M.A.S y el movimiento circular uniforme.

1. El primer M.A.S. se origina proyectando el extremo del vector rotatorio A_x sobre el eje X, el segmento marcado en color rojo. Al girar con velocidad angular ω_x, al cabo de un cierto tiempo t, su posición angular es ω_xt. El origen de ángulos se encuentra en el punto marcado por O.

2. El segundo M.A.S. se origina proyectando el extremo del vector rotatorio  A_y sobre el eje Y, el segmento marcado en color azul. Al girar con velocidad angular ω_y, al cabo de un cierto tiempo t, su posición angular es ω_yt+δ. El origen de ángulos se encuentra en el punto marcado por O y δ es la posición angular de partida en el instante t=0.

Actividades

Se introduce 

• la frecuencia angular del primer M.A.S. (eje X), en el control titulado Frecuencia angular X
• la frecuencia angular del segundo M.A.S. (eje Y), en el control titulado Frecuencia angular Y
• la diferencia de fase (en grados) entre los dos M.A.S, en el control titulado Diferencia de fase

Se pulsa el botón titulado Nuevo.

Se sugieren los siguientes ejemplos:

Otra forma de ver las figuras de Lissajous, similar a la que se observa en un osciloscopio

Figuras de Lissajous no periódicas

Componemos dos MAS con amplitudes A_x=1, A_y=1, frecuencias angulares, ω_x=π, ω_y=1 con los desfases, δ=0, π/4 y π/2

wx=pi;  %frecuencia en eje X
wy=1;  %frecuencia en el eje Y
subplot(1,3,1)
delta=0; %desfase
fplot(@(t) sin(wx*t), @(t) sin(wy*t+delta), [0,10*pi]) 
axis square
subplot(1,3,2)
delta=pi/4;
fplot(@(t) sin(wx*t), @(t) sin(wy*t+delta), [0,10*pi]) 
axis square
subplot(1,3,3)
delta=pi/2;
fplot(@(t) sin(wx*t), @(t) sin(wy*t+delta), [0,10*pi]) 
axis square

Figuras de Lissajous tridimensionales

Componemos tres MAS con amplitudes A_x=1, A_y=1, A_z=1, frecuencias angulares, ω_x=5, ω_y=3, ω_z=4 con los desfases, δ_y=0, δ_z=0

wx=5;  %frecuencia en eje X
wy=3;  %frecuencia en el eje Y
wz=4;  %frecuencia en el eje Z
delta_y=0; %desfase
delta_z=0; %desfase
t=0:0.02:2*pi;
x=sin(wx*t);
y=sin(wy*t+delta_y);
z=sin(wz*t+delta_z);
plot3(x,y,z)
grid on
axis equal
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z')
title('Figuras de Lissajous')

Medida de la frecuencia y del desfase de dos señales

Las trayectorias del movimiento resultante de componer dos M.A.S. de direcciones perpendiculares se denomina figuras de Lissajous, tales trayectorias dependen de la relación de frecuencias angulares ω_x/ω_y y de la diferencia de fase.

Medida del desfase entre dos señales

Componemos dos MAS de direcciones perpendiculares y de la misma frecuencia angular ω, desfasados δ . Supondremos que ambas señales tiene la misma amplitud A.

x=A·sin(ω·t)
y=A·sin(ω·t+δ )

La trayectoria es una elipse.

La medida de la intersección de la elipse con los ejes X e Y nos permite medir el desfase δ, entre dos señales x e y.

1. Intersección con el eje Y

Cuando x=0, entonces ω·t=0, ó π.

y₀=A·sinδ
y₀=A·sin(π+δ )=-A·sinδ

Si medimos en la parte positiva del eje Y, tendremos que sin δ=y₀/A

En la pantalla del "osciloscopio" el eje X y el eje Y está dividido en 20 partes, cada división es una unidad.

Ejemplo: en la figura, A=10, e y₀=5, el desfase δ=30º, ó mejor δ=π/6

2. Intersección con el eje X

Cuando y=0, entonces ω·t=-δ , ó π-δ .

x₀=-A·sinδ
x₀=A·sin(π-δ )=A·sinδ

Ejemplo: en la figura, A=10, e x₀=5, el desfase δ=30º, ó mejor δ=π/6

3. Intersección con x=A el borde derecho de la pantalla del "osciloscopio"

A=A·sin(ω·t) por lo que ω·t=π/2

y₁=A·sin(π/2+δ)=A·cosδ

Ejemplo: en la figura A=10 y y₁=8.75, el desfase δ≈30º, ó mejor δ=π/6

Se obtiene la misma trayectoria con el desfase 30º y 330º y también con 150º y 210º. Pero podemos distinguir el desfase 30º de 150º, por la orientación de los ejes de la elipse.

Medida de la frecuencia

Componemos dos MAS de direcciones perpendiculares y de distinta frecuencia angular ω_x, y ω_y .Supondremos que ambas señales tiene la misma amplitud A y el desfase δ puede ser cualquier valor

x=A·sin(ω_x·t)
y=A·sin(ω_y·t+δ)

La relación de frecuencias angulares se puede obtener a partir del número de tangentes de la trayectoria en el lado vertical y en el lado horizontal.

${\displaystyle \frac{{\omega }_x}{{\omega }_y}=\frac{\text{número de tangentes en el lado vertical}}{\text{número de tangentes en el lado horizontal}}}$

Ejemplo: en la figura

${\displaystyle \frac{{\omega }_x}{{\omega }_y}=\frac{3}{2}}$

Composición de funciones periódicas

No solamente la función seno o coseno es periódica, podemos crear nuestras funciones periódicas tal como se describe en la página titulada Otras funciones

En este apartado, vamos de representar las figuras de Lissajous que se obtendrían con otras funciones periódicas distintas de las armónicas

Consideremos la función f(x) definida en el intervalo (-L_x, L_x), la hacemos periódica de periodo 2L_x denominando a esta función F_x(x)

Consideremos otra función g(x) definida en el intervalo (-L_y, L_y), la hacemos periódica de periodo 2L_y denominando a esta función F_y(x)

Vamos a ver cual es el resultado de la composición de las dos funciones periódicas F_x(x) y F_y(x+δ). Donde δ es el desfase

En la representación gráfica, las filas son L_x=m/n=1/1, 1/2, 1/3, 2/3, 3/4, 3/5, L_y=1. La diferencia de fase δ= 0, 1/4, 1/2 (columnas)

m=3; %mumerador 
n=5; %denominador
L=m/n; %función periódica 2L por el ejeX
g=@(x) (heaviside(x+L)-heaviside(x)).*(L+x)+(heaviside(x)-heaviside(x-L)).*(L-x);
fX=@(x) g(x-round(x/(2*L))*2*L);

L=1; %función periódica 2L por el eje Y
g=@(x) (heaviside(x+L)-heaviside(x)).*(L+x)+(heaviside(x)-heaviside(x-L)).*(L-x);

subplot(1,3,1)
delta=0; %desfase
fY=@(x) g(x+delta-round((x+delta)/(2*L))*2*L);
fplot(fX, fY,  [-m,m]) 
axis square
subplot(1,3,2)
delta=L/4;
fY=@(x) g(x+delta-round((x+delta)/(2*L))*2*L);
fplot(fX, fY,  [-m,m]) 
axis square
subplot(1,3,3)
delta=L/2;
fY=@(x) g(x+delta-round((x+delta)/(2*L))*2*L);
fplot(fX, fY,  [-m,m]) 
axis square

Referencias

J. Flemming, A. Hornes. Lissajous-like figures with triangular and square waves. Revista Brasileira de Ensino de Física, v. 35, n. 3, 3702 (2013). https://www.scielo.br/j/rbef/i/2013.v35n3/

Deyvid W da M Pastana, Manuel E Rodrigues. Using Mathematica software to graph Lissajous figures. Eur. J. Phys. 42 (2021) 065802