El péndulo simple

Ecuaciones del movimiento

Si la partícula se desplaza a una posición θ0 (ángulo que hace el hilo con la vertical) y luego se suelta, el péndulo comienza a oscilar.

El péndulo describe una trayectoria circular, un arco de una circunferencia de radio l. Estudiaremos su movimiento en la dirección tangencial y en la dirección normal.

Las fuerzas que actúan sobre la partícula de masa m son dos

Descomponemos el peso en la acción simultánea de dos componentes, mg·sinθ  en la dirección tangencial y mg·cosθ en la dirección radial.

Ecuación del movimiento en la dirección radial

La aceleración de la partícula es an=v2/l dirigida radialmente hacia el centro de su trayectoria circular.

La segunda ley de Newton se escribe

man=T-mg·cosθ

Conocido el valor de la velocidad v en la posición angular θ determinamos la tensión T del hilo, (véase el apartado conservación de la energía)

La tensión T del hilo es máxima, cuando el péndulo pasa por la posición de equilibrio, T=mg+mv2/l

Es mínima, en los extremos de su trayectoria cuando la velocidad es cero, T=mgcosθ0

Ecuación del movimiento en la dirección tangencial

La aceleración de la partícula es at=dv/dt.

La segunda ley de Newton se escribe

mat=-mg·sinθ

La relación entre la aceleración tangencial at y la aceleración angular α es at=α·l. La ecuación del movimiento se escribe en forma de ecuación diferencial

d 2 θ d t 2 + g l sinθ=0

Solución numérica

Escribimos la ecuación diferencial del movimiento en términos de la variable adimensional τ=t/P0. Donde P0 es el periodo del las oscilaciones cuando la amplitud es pequeña (véase más abajo)

P 0 =2π l g d 2 θ d t 2 +4 π 2 sinθ=0

Utilizamos el procedimiento ode45 de MATLAB para integrar la ecuación duferencial de segundo orden con las siguientes condiciones iniciales τ=0, θ0=π/6, dθ/dτ=0.

En la aproximación de oscilaciones de pequeña amplitud, el péndulo parte en el instante t=0 de la posición θ0=π/6, con velocidad inicial dθ/dτ=0. Por lo que la amplitud es π/6 y la fase inicial π/2. La ecuación del Movimiento Armónico Simple es θ=(π/6)·sin(2πτ+π/2)

x0=zeros(1,2);
x0(1)=pi/6;
x0(2)=0;
f=@(t,x) [x(2);-4*pi^2*sin(x(1))]; 
tspan=[0 3];
[t,x]=ode45(f,tspan,x0);

xx=(pi/6)*sin(2*pi*t+pi/2); 

plot(t,x(:,1),'b',t,xx,'r')
grid on
xlabel('t/P_0')
ylabel('\theta');
title('Posición angular en función del tiempo')

Conservación de la energía

En la posición θ=θ0 el péndulo solamente tiene energía potencial, que se transforma en energía cinética cuando el péndulo pasa por la posición de equilibrio.

Comparemos dos posiciones del péndulo:

En la posición extrema θ=θ0, la energía es solamente potencial.

E=mg(l-l·cosθ0)

En la posición θ, la energía del péndulo es parte cinética y la otra parte potencial

E= 1 2 m v 2 +mg(llcosθ)

La energía se conserva

v2=2gl(cosθ-cosθ0)

La tensión de la cuerda en función del ángulo θ es

T=mg(3cosθ-2cosθ0)

La tensión de la cuerda no es constante, sino que varía con la posición angular θ. Su valor máximo se alcanza cuando θ=0, el péndulo pasa por la posición de equilibrio (la velocidad es máxima). Su valor mínimo, cuando θ=θ0 (la velocidad es nula).

>> ang=0:1:60;
>> t=3*cos(ang*pi/180)-2*cos(ang(end)*pi/180);
>> plot(ang,t,'r');
>> xlabel('\theta')
>> ylabel('T/mg')
>> title('Tensión de la cuerda')

Oscilaciones de pequeña amplitud

Cuando el ángulo θ es pequeño entonces, sinθ ≈ θ. La ecuación diferencial que describe las oscilaciones del péndulo se escribe

d 2 θ d t 2 + g l θ=0

Cuya solución es

θ=θ0·sin(ωt+φ)

Donde θ0 es la amplitud, frecuencia angular ω2=g/l y periodo P=2π/ω

La amplitud θ0 y la fase inicial φ se determinan a partir de las condiciones iniciales. El periodo del péndulo es

P 0 =2π l g

Experiencia de laboratorio

En una experiencia se han medido los periodos P de péndulos simples de longitud l. A partir de estos datos, se le pide calcular la aceleración de la gravedad g

l(cm) P(s)
23 1.01
31 1.14
39 1.29
53 1.49
65 1.62

En un sistema de ejes, se representa:

se calcula y traza la recta que mejor ajusta a los datos y cuya pendiente es la inversa de la la aceleración de la gravedad g.

P 0 2 4 π 2 =( 1 g )l

>> x=[23 31 39 53 65]/100;
>> y=[1.01 1.14 1.29 1.49 1.62].^2/(4*pi^2);
>> plot(x,y,'ro','markersize',4,'markerfacecolor','r')
>> xlabel('l (m)')
>> ylabel('P^2/(4\pi^2)')
>> title('Oscilaciones de un péndulo simple')

En la ventana gráfica de MATLAB elegimos Tools/Basic fitting, activamos la casilla linear y obtenemos para la pendiente de la recta que mejor ajusta a los datos experimentales p1=0.098468. Por tanto, la aceleración de la gravedad es g=1/p1=10.1 m/s2