Una partícula que cae sobre un muelle elástico

Estudiamos las distintas etapas del movimiento de la partícula, para ello establecemos el origen en la posición de la plataforma en reposo, tal como se muestra en las figuras. Vamos a disponer de dos relojes uno que mide el tiempo parcial t de cada una de las etapas del movimiento y otro que mide el tiempo total tt, desde el momento en el que se libera la partícula a una altura h sobre el origen.

Caída libre x≥0

La partícula se suelta a una altura h en el instante t=0, tt=0.

La posición y velocidad de la partícula es

x=h 1 2 g t 2 v=gt

La partícula tarda en llegar al origen x=0 un tiempo t1 (instante tt=t1)  alcanzando una velocidad v1

t 1 = 2h g v 1 = 2gh

La partícula deforma el muelle, x≤0

Las fuerzas sobre la partícula son el peso y la fuerza que ejerce el muelle. La segunda ley de Newton se escribe

ma=-kx-mg

(como x≤0, –kx≥0 es positiva, tal como se muestra en la figura)

En forma de ecuación diferencial

d 2 x d t 2 + k m x=g d 2 x d t 2 + ω 2 x=g

La solución de esta ecuación diferencial es la suma de la solución de la ecuación diferencial homogénea

x1=Asin(ωt)+Bcos(ωt

donde A y B son constantes que se determinan a partir de las condiciones iniciales

La solución particular es

x2=C

introduciendo la solución particular en la ecuación diferencial determinamos el valor de la constante C.

ω2C=-g

La solución de la ecuación diferencial completa es x=x1+x2

x= g ω 2 +Asin(ωt)+Bcos(ωt) v= dx dt =Aωcos(ωt)Bωsin(ωt)

Las condiciones iniciales son las siguientes: la partícula unida al muelle elástico parte en el instante t=0 (tiempo total tt=t1) del origen x=0, con velocidad v1. Resolvemos el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas

B= g ω 2 = mg k A= 2gh ω = 2mgh k

El máximo desplazamiento de la partícula se alcanza en el instante t2 cuando v=0,

tan(ωt)= A B =- 2hk mg t 2 = m k ( πarctan( 2hk mg ) )

y vale

x m = mg k 2mgh k sin(ω t 2 )+ mg k cos(ω t 2 ) x m = mg k ( 1+ 1+ 2hk mg )

Para obtener esta expresión, se emplean las relaciones trigonométricas,

cosθ= 1 1+ tan 2 θ sinθ= tanθ 1+ tan 2 θ

como ωt2 es un ángulo del segundo cuadrante, el seno es positivo y el coseno es negativo.

El tiempo que tarda en la partícula desde que parte del origen y regresa al origen es

Tv=2t2

Comprobamos haciendo algunas operaciones, que en el instante t=2t2, la posición de la partícula es x=0 y su velocidad es 2gh

Para ello, se utilizan las relaciones trigonométricas

cos(2θ)=cos2θ-sin2θ
sin(2θ)=2cosθ·sinθ

y las dos que relacionan el seno y el coseno con la tangente,

La partícula asciende

La partícula sale del origen con velocidad 2gh  en el instante t=0, (tiempo total tt=t1+2t2)

La posición y velocidad de la partícula son

x= 2gh t 1 2 g t 2 v= 2gh gt

Alcanza la máxima altura cuando v=0 y tarda un tiempo t3 en alcanzarla

t 3 = 2h g

es decir, su posición en el instante tt=t1+2t2+t3=2t1+2t1 es x=h, la de partida

El tiempo total P (periodo de la oscilación), que emplea la partícula desde que parte hasta que llega es

P=2 2h g +2 m k ( πarctan( 2hk mg ) )

En la figura, se muestra la posición x de la partícula en función del tiempo total tt, durante un periodo T de oscilación

Energía de la partícula

La energía potencial de la partícula es

E p (x)={ mgx+ 1 2 k x 2 x0 mgxx0

La energía total de la partícula es E=mgh, se convierte en cinética cuando pasa por el origen x=0. Cuando x<0 el muelle se deforma y la velocidad v de la partícula es

mgh= 1 2 m v 2 +mgx+ 1 2 k x 2

La velocidad se hace cero en la posición, raíz de la ecuación de segundo grado en x.

x m = mg m 2 g 2 +2kmgh k = mg k ( 1+ 1+ 2kh mg )

En la figura se representa Ep(x). El segmento horizontal representa la energía total. Para la posición x, el segmento vertical AB es la energía potencial y el segmento BC es la energía cinética. La partícula se mueve en el intervalo xmxh. en el cual la energía cinética es mayor o igual a cero. Las posiciones xm y h se denominan de retorno porque la velocidad de la partícula en estos dos puntos es cero, partícula cambia el sentido de su velocidad.

La fuerza sobre la partícula es la pendiente de la recta tangente cambiada de signo. La pendiente a la derecha del origen es constante.

F= d E p (x) dx ={ mgx0 mgkxx0     

La energía potencial presenta un mínimo en el intervalo x≤0. Se trata de una posición de equilibrio estable.

xe=-mg/k

El peso se iguala a la fuerza que ejerce el muelle elástico

Ejemplo.

El bloque cae, y llega al origen x=0, en el instante tt=t1=0.452 s, alcanzando una velocidad v1=4.43 m/s.

La partícula entra en contacto con el muelle elástico. La deformación del muelle es máxima cuando la velocidad de la partícula v=0. Esto sucede en el instante tt=t1+t2

t 2 = m k ( πarctan( 2hk mg ) ) t 2 = 5 1500 ( πarctan( 2·1·1500 5·9.8 ) )=0.098s

La partícula regresa al origen en el instante tt=t1+2t2=0.648 s

La partícula vuelve a la posición inicial de partida, completando un periodo en el instante tt=2t1+2t2=1.100 s

Actividades

Se introduce

Se pulsa el botón titulado Nuevo, el programa verifica los datos introducidos (si la máxima deformación del muelle xm es inferior a 0.45 m) y si son correctos, se pulsa .

Se observa el movimiento de la partícula, en la parte izquierda y la representación gráfica de su posición x en función del tiempo t en la parte derecha.