Otros péndulos compuestos
Otros péndulos compuestos
En este apartado describimos péndulos compuestos interesantes
Varilla con masa puntual

El péndulo compuesto está formado por una varilla delgada de masa M y longitud l y una bola de pequeño diámetro de masa m que puede sujetarse a la varilla a una distancia x de su extremo O. El péndulo oscila alrededor de un eje perpendicular a la pantalla y que pasa por O
Vamos a determinar el periodo de las oscilaciones de pequeña amplitud
Donde IO es el momento de inercia del péndulo y xcm es la posición del centro de masa medida desde O
Calculamos el mínimo del periodo P o de P2
Solamente es posible la raíz positiva
Expresamos el periodo en términos de las magnitudes adimensionales x/l y m/M
El periodo del péndulo compuesto es proporcional al periodo de un péndulo simple P0 de longitud l. Representamos la función P/P0 para cuatro valores del cociente m/M=0.5, 1, 1.5, 2
hold on for mu=0.5:0.5:2 %cociente m/M f=@(x) sqrt((1/3+mu*x.^2)./(1/2+mu*x)); fplot(f,[0,1]) x_m=(-1+sqrt(1+4*mu/3))/(2*mu); plot(x_m,f(x_m),'ro','markersize',3,'markerfacecolor','r') end hold off grid on xlabel('x/l') ylabel('P/P_0') title('Periodo de un péndulo compuesto')
Un punto de color rojo, señala la posición del mínimo xm del periodo
Observamos otra particularidad, el periodo del péndulo compuesto cuando x=0 (solamente la varilla)
es igual al periodo del péndulo cuando la bola está situada a una distancia x/l=2/3 de O
Placa rectangular delgada
Consideremos una placa rectangular de masa M y lados a y b.
Hacemos oscilar a la placa alrededor de un eje perpendicular y que pasa por O. El periodo del péndulo compuesto para oscilaciones de pequeña amplitud es
En la situación a la izquierda de la figura
En la situación a la derecha de la figura
Los periodos son iguales cuando la placa es cuadrada b=a, pero hay otras posibilidades.
Representamos gráficamente P1/P0 y P2/P0 en función de r=b/a entre 0.1 y 3.
hold on f=@(x) sqrt((1+4*x.^2)./(6*x)); fplot(f,[0.1,3]) f=@(x) sqrt((4+x.^2)./6); fplot(f,[0.1,3]) x1=(3+sqrt(5))/2; plot(x1,f(x1),'ro','markersize',3,'markerfacecolor','r') x1=(3-sqrt(5))/2; plot(x1,f(x1),'ro','markersize',3,'markerfacecolor','r') plot(1,f(1),'ro','markersize',3,'markerfacecolor','r') hold off grid on xlabel('b/a') legend('1','2','Location','best') ylabel('P/P_0') title('Placa rectangular')
Observamos que el periodo P1 tiene un mínimo en r=b/a=0.5, que se obtiene derivando P1 o su cuadrado con respecto de r
Los periodos son iguales, P1=P2
Una de las raíces r=1 cuando b=a (placa cuadrada), pero hay otros dos valores
Las tres raíces se señalan mediante puntos de color rojo en la figura
Péndulo compuesto no homogéneo
Consideremos un péndulo compuesto formado por un tubo hueco largo y de pequeño radio de masa M0 y longitud L como se muestra en la figura. Se sujeta por un eje que pasa por uno de los extremos y se desplaza de la posición de equilibrio comenzando a oscilar. El periodo es
Siendo I0=M0L2/3 el momento de inercia y y0=L/2 la posición del centro de masa
Supongamos que el tubo hueco se rellena uniformemente hasta una altura h con una masa m de cierta sustancia (en color rojo). El periodo es
Donde Im es el momento de inercia de la masa m alrededor del eje de oscilación e y es la distancia del centro de masa del sistema formado por el tubo y la masa m de relleno desde el centro de oscilación.
El periodo P vale
Sea M la masa de la sustancia que rellena completamente el tubo, entonces cuando el tubo está parcialmente lleno hasta una altura h, m=M·h/L. El periodo P se expresa
El periodo P es función de los cocientes R=M/M0 y x=h/L
El periodo P presenta un máximo para cierto valor de x=h/L, que se calcula igualando la derivada primera de P respecto de x, a cero, dP/dx=0. Resultando la ecuación
R2x4-4R2x3+3R2x2-3Rx2+4Rx-R=0
Ejemplo
Sea un tubo vacío de longitud L=1 m y de masa M0=0.1402 kg. El periodo de este péndulo es 1.64 s. Se rellena completamente el tubo con madera cuya masa M=0.0816 kg, de modo que R=M/M0=0.582, el periodo es el mismo. El máximo periodo es 1.69 s, se obtiene cuando la longitud de la pieza de madera que rellena parcialmente el tubo es 0.289L
R=0.58; %cociente M/M0 L=1; %longitud f=@(x) 2*pi*sqrt(2*L/(3*9.8))*sqrt((1+3*R*x-3*R*x.^2+R*x.^3) ./(1+2*R*x-R*x.^2)); fplot(f,[0,1]) r=roots([1,-4,3*(1-1/R), 4/R,-1/R]); xMax=0; for i=1:length(r) if r(i)>0 && r(i)<1-0.001 xMax=r(i); break; end end line([xMax,xMax],[f(0),f(xMax)],'lineStyle','--') grid on xlabel('x') ylabel('P') title('periodo')
>> xMax xMax = 0.2894 >> f(xMax) ans = 1.6919
Péndulo simple, péndulo compuesto
En el laboratorio utilizamos una cuerda sujeta por un extremo y por el otro, unida a una esfera acero inoxidable de pequeño radio como modelo de péndulo simple para calcular la aceleración de la gravedad. En este apartado, se compara el periodo de un péndulo compuesto que consta de una varilla de longitud L unida a una esfera de radio R con el periodo de un péndulo simple de longitud L+R

Sea el péndulo compuesto que consta de una varilla de longitud L que puede girar sin rozamiento por el extremo O y por el otro, está unida a una esfera de radio R
La densidad de la varilla es ρv, la sección es circular de radio r, su masa es mv=ρv(πr2L)
La densidad de la esfera ρ, su masa me=ρ(4πr3/3)
El periodo de las oscilaciones de un péndulo compuesto en la aproximación de amplitud pequeña es
donde m=mv+me. El periodo de un péndulo simple de la misma longitud l=L+R es
El momento de inercia vale
λ es la densidad lineal de la varilla
La distancia b del centro de masa al punto de suspensión O es
El periodo del péndulo compuesto es
Vamos a determinar la longitud de la varilla L, que hace que el periodo del péndulo simple de longitud L+R se igual al periodo de este péndulo compuesto, Ps=Pc
Simplificamos y llegamos a una ecuación cúbica en L
La ecuación cúbica puede tener tres raíces reales o una real y dos complejas conjugadas, dependiendo de Q y K
La condición para que tenga una única raíz real es
Como c es un número negativo
Recordamos que R es el radio de la esfera y ρ su densidad. r es el radio de la sección de la varilla y ρv su densidad
Consideremos una experiencia de laboratorio de medida del periodo de las oscilaciones para pequeñas amplitudes
- Hilo de algodón, densidad ρv=1.54 g/cm3, sección circular de radio r=0.5 mm
- Esfera de acero inoxidable de densidad ρ=7.96 g/cm3 y radio R=1 cm
Este péndulo cumple sobradamente la condición
320>0.1935
El cociente
Para L=0
Cuando la longitud del hilo se hace grande L→∞
Representamos el cociente Pc/Ps en función de L, señalando el valor L que hace que ambos periodos sean iguales L=0.1782, la raíz real de la ecuación cúbica
function simple_compuesto rho=7960; %densidad de la esfera R=0.01; %radio de la esfera rho_v=1540; %densidad del algodón r=0.5e-3; %radio de la varilla lambda=pi*r^2*rho_v; c=-16*pi*R^5*rho/(5*lambda); raiz=raices_3([1,3*R,0,c]); disp(real(raiz(1))) P=@(x) sqrt((lambda*x.^3/3+(2*R^2/5+(x+R).^2)*rho*4*pi*R^3/3)./ (lambda*x.^2/2+rho*4*pi*R^3*(x+R)/3))./sqrt(x+R); hold on fplot(P,[0,1.5]) plot(real(raiz(1)),1,'ro','markersize',3,'markerfacecolor','r') hold off grid on xlabel('L') ylabel('P_c/P_s') title('Péndulo simple y compuesto') function x = raices_3(p) Q=(p(2)*p(2)-3*p(3))/9; K=(2*p(2)^3-9*p(2)*p(3)+27*p(4))/54; x=zeros(3,1); %reserva memoria para un vector de tres elementos if K^2<Q^3 tetha=acos(K/sqrt(Q^3)); x(1)=-2*sqrt(Q)*cos(tetha/3)-p(2)/3; x(2)=-2*sqrt(Q)*cos((tetha+2*pi)/3)-p(2)/3; x(3)=-2*sqrt(Q)*cos((tetha-2*pi)/3)-p(2)/3; else A=-sign(K)*nthroot(abs(K)+sqrt(K^2-Q^3),3); if A==0 B=0; else B=Q/A; end x(1)=(A+B)-p(2)/3; x(2)=-(A+B)/2-p(2)/3+(sqrt(3)*(A-B)/2)*sqrt(-1); %mejor que i x(3)=-(A+B)/2-p(2)/3-(sqrt(3)*(A-B)/2)*sqrt(-1); end end end
0.1782
En esta otra gráfica, observamos el caso habitual, la longitud L de la varilla es mucho mayor que el radio de la esfera R, entonces
rho=7960; %densidad de la esfera R=0.01; %radio de la esfera rho_v=1540; %densidad del algodón r=0.5e-3; %radio de la varilla lambda=pi*r^2*rho_v; c=-16*pi*R^5*rho/(5*lambda); raiz=raices_3([1,3*R,0,c]); disp(real(raiz(1))) P=@(x) sqrt((lambda*x.^3/3+(2*R^2/5+(x+R).^2)*rho*4*pi*R^3/3)./ (lambda*x.^2/2+rho*4*pi*R^3*(x+R)/3))./sqrt(x+R); fplot(P,[0,1000]) line([0,1000],[sqrt(2/3),sqrt(2/3)],'lineStyle','--') grid on ylim([0.8,1.25]) xlabel('L') ylabel('P_c/P_s') title('Péndulo simple y compuesto')
Referencias
Kettler J. E. A variable mass physical pendulum, Am. J. Phys. 63 (11) November 1995, pp. 1049-1051
Tim H Richardson, Stuart A Brittle. Physical pendulum experiments to enhance the understanding of moments of inertia and simple harmonic motion. Physics Education, 47 (5) 2012, pp. 537-544
Ira M. Freeman. Rectangular plate pendulum Am. J. Phys. 22 (4) April 1954, pp. 157-158
E L Fulton, T J Gay. Does a physical pendulum ever act like a simple pendulum?. Eur. J. Phys. 45 (2024) 025001