Péndulo compuesto

El péndulo compuesto es un sólido en rotación, alrededor de un eje fijo perpendicular a la varilla que pasa por O

La ecuación de la dinámica de rotación se escribe

IO·α=-mgxsinθ

Donde x es la distancia entre el centro de masa y el centro de oscilación O.

IO es el momento de inercia del cuerpo respecto del eje de rotación que pasa por O.

Cuando la varilla se separa un ángulo θ de la posición de equilibrio y se suelta, sobre el sólido actúa el momento del peso, que tiene signo contrario al desplazamiento.

Expresamos la ecuación de la dinámica de rotación en forma de ecuación diferencial

d 2 θ d t 2 + mgx I O sinθ=0

Esta no es la ecuación diferencial de un Movimiento Armónico Simple. Si la amplitud es pequeña aproximamos el seno del ángulo al ángulo medido en radianes sinθ≈θ. La ecuación diferencial se escribe entonces

d 2 θ d t 2 + mgx I O θ=0

Esta es la ecuación diferencial de un M.A.S. de frecuencia angular ω y periodo P

ω 2 = mgx I O P=2π I O mgx

Por el teorema de Steiner

IO=IC+mx2=mR2+mx2

R se denomina radio de giro, para una varilla R2=l2/12, siendo l la longitud de la varilla. El periodo se escribe

P=2π R 2 + x 2 gx

Cuando se representa P en función de x. Aparecen dos curvas simétricas con respecto a la posición de centro de masas. El periodo alcanza un valor infinito para x=0, es decir, cuando coincide el centro de masa con el centro de oscilación O. La curva presenta un mínimo para un cierto valor de x que se puede calcular derivando P respecto de x e igualando a cero.

d P 2 dx =4 π 2 2g x 2 ( R 2 + x 2 )g g 2 x 2 =0 x m =R P m =2π 2R g

%péndulo compuesto de l=1 m de longitud
fplot(@(x) 2*pi*sqrt((1/12+x.^2)./(9.8*x)),[0.05,0.45])
xlim([0,0.5])
grid on
xlabel('x (m)')
ylabel('P(s)')
title('Periodo de un péndulo compuesto')

Actividades

Se mide el periodo de las oscilaciones para cada una de las posiciones del centro de oscilación.

El péndulo compuesto es una varilla de longitud l=1 m en la que se han hecho agujeros equidistantes 5 cm. El péndulo aparece oscilando en el primer agujero.

Se selecciona el centro de oscilación en el control Posición, se pulsa el botón titulado Nuevo

Ajuste no lineal

Elevando al cuadrado la fórmula del periodo P del péndulo compuesto

P 2 4 π 2 = R 2 g 1 x + 1 g x

Medimos el periodo Pi de péndulo para cada posición xi, completando una tabla con N pares de datos

x (cm) P (s)
5 2.620
10 1.936
15 1.668
20 1.568
25 1.520
30 1.512
35 1.536
40 1.576
45 1.600

MATLAB nos permite ajustar los datos experimentales del cuadrado del periodo y=P2/(4π2) para cada posición x, a la función no lineal y=a/x+bx mediante la función nlinfit

x=(5:5:45)/100;  
y=[2.620 1.936 1.668 1.568 1.520 1.512 1.536 1.576 1.600].^2/(4*pi^2); 
hold on
%representa los datos experimentales
plot(x,y,'bo','markersize',6,'markerfacecolor','b')
%modelo de función
f_ajuste =@(a,x) a(1)./x+a(2)*x;          
a0=[0.3 4];  %valor inicial de los parámetros
af=nlinfit(x,y,f_ajuste,a0)
%representa la función 
x=linspace(0.04,0.45,100);
y=f_ajuste(af,x);
plot(x,y,'r')
title('Péndulo compuesto')
xlabel('x (m)')
ylabel('P^2/(4·\pi^2)')
hold off   

El valor de a es el primer elemento del vector af y el valor de b, el segundo elemento

af =    0.0084    0.1020

Los coeficientes a y b

a= R 2 g =0.0084b= 1 g =0.102

La aceleración de la gravedad vale g=1/b=9.8 m/s2

Fuerzas en el centro de oscilación

En el centro de oscilación actúa una fuerza F desconocida que forma un ángulo φ con la dirección radial (la que une el centro de oscilación con el centro de masa)

Ya hemos deducido al principio de esta página, la ecuación de la dinámica de rotación alrededor de un eje perpendicular que pasa por el centro de oscilación

I O d 2 θ d t 2 =mgdsinθ

Tomando momentos respecto del centro de masa, la ecuación de la dinámica de rotación se escribe

I c d 2 θ d t 2 =Fsinφ·d

Ic es el momento de inercia respecto de un eje perpendicular al plano de oscilación del péndulo que pasa por el c.m.. El teorema de Steiner relaciona los dos momentos de inercia.

I O = I c +m d 2

Aplicamos la ecuación de la dinámica del movimiento circular uniforme, para describir el movimiento en la dirección radial, de forma similar al péndulo simple

m ( dθ dt ) 2 d=Fcosφmgcosθ

Tomando el nivel cero de energía potencial en el centro de oscilación, el principio de conservación de la energía se escribe

mgdcos θ 0 = 1 2 I O ( dθ dt ) 2 mgdcosθ

Despejamos las componentes, Fcosφ y Fsinφ

Fsinφ= I c I c +m d 2 mgsinθ Fcosφ= mg I c +m d 2 { ( I c +3m d 2 )cosθ2m d 2 cos θ 0 }

En el péndulo simple, solamente tenemos componente en la dirección radial, la tensión de la cuerda

Las componentes rectangulares de la fuerza F en el centro de oscilación son

La componente Fx es similar al péndulo simple salvo el factor de escala que multiplica al peso mg. La componente Fy es similar al péndulo simple salvo el factor de escala que multiplica al peso y el término adicional Ic/(md2)

El lector interesado, puede estudiar en detalle estas funciones, máximos, mínimos y los puntos de corte con el eje horizontal, es decir, los ángulos para los cuales la componente Fx se anula

Péndulo compuesto no homogéneo

Consideremos un péndulo compuesto formado por un tubo hueco largo y de pequeño radio de masa M0 y longitud L como se muestra en la figura. Se sujeta por un eje que pasa por uno de los extremos y se desplaza de la  posición de equilibrio comenzando a oscilar. El periodo es

P 0 =2π I 0 M 0 g y 0

Siendo I0=M0L2/3 el momento de inercia y y0=L/2 la posición del centro de masa

P 0 =2π 2L 3g

Supongamos que el tubo hueco se rellena uniformemente hasta una altura h con una masa m de cierta sustancia (en color rojo). El periodo es

P=2π I 0 + I m ( M 0 +m)gy

Donde Im es el momento de inercia de la masa m alrededor del eje de oscilación e y es la distancia del centro de masa del sistema formado por el tubo y la masa m de relleno desde el centro de oscilación.

y= M 0 (L/2)+m(Lh/2) M 0 +m I m = 1 12 m h 2 +m ( L h 2 ) 2

El periodo P vale

P=2π M 0 L 2 3 +m L 2 mLh+m h 2 3 g( M 0 L 2 +mLm h 2 )

Sea M la masa de la sustancia que rellena completamente el tubo, entonces cuando el tubo está parcialmente lleno hasta una altura hm=M·h/L. El periodo P se expresa

P=2π 2L 3g 1+3 M M 0 ( h L )3 M M 0 ( h L ) 2 + M M 0 ( h L ) 3 1+2 M M 0 ( h L ) M M 0 ( h L ) 2

El periodo P es función de los cocientes R=M/M0 y x=h/L

P=2π 2L 3g 1+3Rx3R x 2 +R x 3 1+2RxR x 2

El periodo P presenta un máximo para cierto valor de x=h/L, que se calcula igualando la derivada primera de P respecto de x, a cero, dP/dx=0. Resultando la ecuación

R2x4-4R2x3+3R2x2-3Rx2+4Rx-R=0

Ejemplo

Sea un tubo vacío de longitud L=1 m y de masa M0=0.1402 kg. El periodo de este péndulo es 1.64 s. Se rellena completamente el tubo con madera cuya masa M=0.0816 kg, de modo que R=M/M0=0.582, el periodo es el mismo. El máximo periodo es 1.69 s, se obtiene cuando la longitud de la pieza de madera que rellena parcialmente el tubo es 0.289L

R=0.58; %cociente M/M0
L=1; %longitud
f=@(x) 2*pi*sqrt(2*L/(3*9.8))*sqrt((1+3*R*x-3*R*x.^2+R*x.^3)
./(1+2*R*x-R*x.^2));
fplot(f,[0,1])
r=roots([1,-4,3*(1-1/R), 4/R,-1/R]);
xMax=0;
for i=1:length(r)
    if r(i)>0 && r(i)<1-0.001
       xMax=r(i);
       break;
    end
end
line([xMax,xMax],[f(0),f(xMax)],'lineStyle','--')
grid on
xlabel('x')
ylabel('P')
title('periodo')

>> xMax
xMax =    0.2894
>> f(xMax)
ans =    1.6919

Referencias

Apartado, 'Péndulo compuesto no homogéneo'

Kettler J. E. A variable mass physical pendulum, Am. J. Phys. 63 (11) November 1995, pp. 1049-1051

Apartado, 'Fuerzas en el centro de oscilación'

Peter F Hinrichsen. Compound pendulum pivot force. Eur. J. Phys. 42 (2021) 025001