Péndulo compuesto

El péndulo compuesto es un sólido en rotación, alrededor de un eje fijo perpendicular a la varilla que pasa por O

La ecuación de la dinámica de rotación se escribe

IO·α=-mgxsinθ

Donde x es la distancia entre el centro de masa y el centro de oscilación O.

IO es el momento de inercia del cuerpo respecto del eje de rotación que pasa por O.

Cuando la varilla se separa un ángulo θ de la posición de equilibrio y se suelta, sobre el sólido actúa el momento del peso, que tiene signo contrario al desplazamiento.

Expresamos la ecuación de la dinámica de rotación en forma de ecuación diferencial

d 2 θ d t 2 + mgx I O sinθ=0

Esta no es la ecuación diferencial de un Movimiento Armónico Simple. Si la amplitud es pequeña aproximamos el seno del ángulo al ángulo medido en radianes sinθ≈θ. La ecuación diferencial se escribe entonces

d 2 θ d t 2 + mgx I O θ=0

Esta es la ecuación diferencial de un M.A.S. de frecuencia angular ω y periodo P

ω 2 = mgx I O P=2π I O mgx

Por el teorema de Steiner

IO=IC+mx2=mR2+mx2

R se denomina radio de giro, para una varilla R2=l2/12, siendo l la longitud de la varilla. El periodo se escribe

P=2π R 2 + x 2 gx

Cuando se representa P en función de x. Aparecen dos curvas simétricas con respecto a la posición de centro de masas. El periodo alcanza un valor infinito para x=0, es decir, cuando coincide el centro de masa con el centro de oscilación O. La curva presenta un mínimo para un cierto valor de x que se puede calcular derivando P respecto de x e igualando a cero.

d P 2 dx =4 π 2 2g x 2 ( R 2 + x 2 )g g 2 x 2 =0 x m =R P m =2π 2R g

>>%péndulo compuesto de l=1 m de longitud
>> x=(5:0.5:45)/100;
>> y=2*pi*sqrt((1/12+x.^2)./(9.8*x));
>> plot(x,y,'r')
>> xlim([0,0.5])
>> xlabel('x (m)')
>> ylabel('P(s)')
>> title('Periodo de un péndulo compuesto')

Actividades

Se mide el periodo de las oscilaciones para cada una de las posiciones del centro de oscilación.

El péndulo compuesto es una varilla de longitud l=1 m en la que se han hecho agujeros equidistantes 5 cm. El péndulo aparece oscilando en el primer agujero.

Se selecciona el centro de oscilación en el control Posición, se pulsa el botón titulado Nuevo

Ajuste no lineal

Elevando al cuadrado la fórmula del periodo P del péndulo compuesto

P 2 4 π 2 = R 2 g 1 x + 1 g x

Medimos el periodo Pi de péndulo para cada posición xi, completando una tabla con N pares de datos

x (cm) P (s)
5 2.620
10 1.936
15 1.668
20 1.568
25 1.520
30 1.512
35 1.536
40 1.576
45 1.600

MATLAB nos permite ajustar los datos experimentales del cuadrado del periodo y=P2/(4π2) para cada posición x, a la función no lineal y=a/x+bx mediante la función nlinfit

x=(5:5:45)/100;  
y=[2.620 1.936 1.668 1.568 1.520 1.512 1.536 1.576 1.600].^2/(4*pi^2); 
hold on
%representa los datos experimentales
plot(x,y,'bo','markersize',6,'markerfacecolor','b')
%modelo de función
f_ajuste =@(a,x) a(1)./x+a(2)*x;          
a0=[0.3 4];  %valor inicial de los parámetros
af=nlinfit(x,y,f_ajuste,a0)
%representa la función 
x=linspace(0.04,0.45,100);
y=f_ajuste(af,x);
plot(x,y,'r')
title('Péndulo compuesto')
xlabel('x (m)')
ylabel('P^2/(4·\pi^2)')
hold off   

El valor de a es el primer elemento del vector af y el valor de b, el segundo elemento

af =    0.0084    0.1020

Los coeficientes a y b

a= R 2 g =0.0084b= 1 g =0.102

La aceleración de la gravedad vale g=1/b=9.8 m/s2