El péndulo interrumpido

Consideremos un péndulo simple, que consiste en una masa puntual m conectada mediante un hilo inextensible de longitud L a un punto fijo O que consideramos el origen.
Debajo del origen a una distancia l<L hay una aguja A clavada perpendicular al plano del movimiento del péndulo, cuyo diámetro es muy pequeño.
Supongamos que el péndulo se desvía un ángulo θ0 y se suelta. Describe un arco de circunferencia de radio L, cuando llega a la parte más baja de la trayectoria, el hilo choca con el obstáculo A, hace que esta trayectoria se interrumpa y la masa puntual describa un arco de circunferencia de radio r=L-l, tal como se muestra en la figura.
Aplicamos el principio de conservación de la energía entre la posición inicial, cuando el péndulo se ha desviado un ángulo θ0, y la final, cuando la masa puntual se encuentra en P cuya posición angular es θ.
Tomamos el nivel cero de la energía potencial en el punto de suspensión O
Fijamos la posición del obstáculo A
La partícula describe un arco de circunferencia vertical de radio r=L-l y centro en el obstáculo A
Oscilaciones, la posición final es θ1<π/2
La velocidad final se anula para θ<π/2
El péndulo vuelve hacia atrás y oscila con amplitudes θ0 y θ1
El valor límite de θ0 para este caso, se obtiene poniendo θ1=π/2. Para que el movimiento oscilatorio se produzca se tiene que cumplir que
Representamos θ1 en función de θ0 para tres valores de la posición del obstáculo l/L=0.25, 0.5 y 0.75
hold on for r=[0.25,0.5,0.75] th_lim=acos(r); fplot(@(x) acos((cos(x)-r)/(1-r)), [0,th_lim],'displayName',num2str(r)) end hold off grid on legend('-DynamicLegend','location','best') set(gca,'YTick',0:pi/12:pi/2) set(gca,'YTickLabel',{'0','\pi/12','\pi/6','\pi/4','\pi/3','5\pi/12','\pi/2'}) set(gca,'XTick',0:pi/12:pi/2) set(gca,'XTickLabel',{'0','\pi/12','\pi/6','\pi/4','\pi/3','5\pi/12','\pi/2'}) xlabel('\theta_0') ylabel('\theta_1') title('Angulo')
El periodo es la suma de dos semiperiodos, de un péndulo de longitud L y amplitud θ0 y de otro péndulo de longitud L-l y amplitud θ1.
Cuando los ángulos θ0 y θ1 son pequeños
Cuando la amplitud de las oscilaciones es grande el periodo es
Sea el ángulo inicial θ=π/3 (60°), la longitud del péndulo L=1 m, la posición del obstáculo l=0.4 m, lo que asegura que θ1<π/2 (90°)
th_0=pi/3; L=1; %longitud del péndulo l=0.4; %posición del obstáculo th_1=acos((L*cos(th_0)-l)/(L-l)); P=2*sqrt(L/9.8)*ellipke(sin(th_0/2)^2)+2*sqrt((L-l)/9.8)*ellipke(sin(th_1/2)^2); disp(P)
1.9624 >> pi*sqrt(L/9.8)+pi*sqrt((L-l)/9.8) ans = 1.7809
El periodo exacto, 1.9624 s, difiere del que se obtiene a partir de la aproximación de oscilaciones de pequeña amplitud, 1.7809 s.
Dado que θ1>θ0, la utilidad de la aproximación es más difícil de justificar
Representamos el periodo P en función de θ0 para un péndulo de longitud L=1 m, para tres valores de la posición del obstáculo l=0.25, 0.5 y 0.75
hold on for r=[0.25,0.5,0.75] th_lim=acos(r); th_1=@(x) acos((cos(x)-r)/(1-r)); f=@(x) 2*sqrt(1/9.8)*ellipke(sin(x/2).^2)+2*sqrt((1-r)/9.8)* ellipke(sin(th_1(x)/2).^2); fplot(f, [0,th_lim]) P=pi*(sqrt(1/9.8)+sqrt((1-r)/9.8)); line([0,5*pi/12],[P,P],'lineStyle','--')%aproximación end hold off grid on set(gca,'XTick',0:pi/12:pi/2) set(gca,'XTickLabel',{'0','\pi/12','\pi/6','\pi/4','\pi/3','5\pi/12','\pi/2'}) xlabel('\theta_0') ylabel('P (s)') title('Periodo')
Las líneas a trazos es la aproximación para las oscilaciones de pequeña amplitud
Tensión del hilo nula, tiro parabólico

La partícula describe un arco de circunferencia vertical de ángulo θ1 seguido de una trayectoria parabólica
Cuando θ0>arccos(l/L), entonces θ1>π/2
Calculamos la tensión del hilo cuando la partícula describe un arco de coircunferencia de centro A y radio r=L-l
Aplicamos la ecuación de la dinámica del movimiento circular uniforme
La tensión del hilo T se anula para cuando
Aplicamos el principio de conservación de la energía para calcular v2
A partir de esta posición angular, la partícula describe una trayectoria parabólica

Situamos el origen en la posición del obstáculo A, y los ejes como se indica en la figura. La posición de partida de la partícula es
Las componentes vx y vy de la velocidad
La ecuación de la trayectoria es
Alcanza la altura máxima cuando vy=0
Se puede demostrar que la partícula atada al hilo pasa por el punto más alto de la trayectoria parabólica, es decir,
La trayectoria parabólica termina, cuando la distancia de la partícula al origen A es r, se cumple entonces que x2+y2=r2
Rotaciones
La partícula describe la circunferencia vertical de radio r completa una y otra vez, suponiendo que el diámetro del obstáculo es muy pequeño, en la práctica describe una espiral, véase la página titulada Movimiento de una partícula atada a una cuerda que se enrolla en un cilindro horizontal (I)
La partícula de masa m describirá una circunferencia vertical de radio r con centro en A, si la tensión T en el punto más alto θ=π, el mayor o igual a cero
La situación límite se produce cuando T=0, en el punto más alto, θ=π
Aplicamos el principio de conservación de la energía, para calcular la velocidad v
La partícula describirá una circunferencia vertical de radio r alrededor de A si
Fijamos la desviación inicial θ0 del péndulo
Fijamos la desviación inicial del péndulo θ0=π/2. Sujetamos la partícula y ponemos el pendulo de longitud L en horizontal y lo soltamos
Rotaciones
La partícula describe una circunferencia vertical si
Oscilaciones
No hay oscilaciones ya que la partícula no se detiene para θ<π/2. Aplicando el principio de conservación de la energía para θ0=π/2
El ángulo θ1 no existe o es mayor que π/2
Tiro parabólico
Describe un tiro parabólico, para los otros casos, l/L<3/5. El tiro parabólico comienza en la psición angular θ2 con velocidad v2
El alcance horizontal del proyectil es x, cuando y=0
Para que impacte en el obstáculo A, x=0
Llamamos u=2l/(3r)
Llamamos x=u2.
Resolvemos la ecuación en x utilizando la función
>> f=@(x) x*(sqrt(1-x)+sqrt(3-x))-sqrt(1-x); >> x0=fzero(f,[0,1]) x0 = 0.3333 >> sqrt(x0) ans = 0.5774
Alternativamente, aislando y eliminando las raíces cuadradas, llegamos a una ecuación cúbica
Confirmamos por sustitución que x=1/3, es una raíz de la ecuación cúbica. Asimismo, empleando la función
>> syms x; >> solve(12*x^3-7*x^2-2*x+1) ans = 1/3 1/8 - 17^(1/2)/8 17^(1/2)/8 + 1/8
De las tres raíces, la segunda es negativa y la tercera, comprobamos por sustitución que no es raíz de la ecuación
Solamente es válida la primera raíz, x=u2=1/3. Despejamos l/L
El tiro parabólico comienza en la posición angular θ2 con velocidad v2
Actividades
El programa interactivo resuelve la ecuación del movimiento en la dirección tangencial por procedimientos numéricos
donde r=L para el péndulo y r=L-l para el péndulo interrumpido
Las condiciones iniciales son las siguientes
Para el péndulo de longitud L
Para el péndulo de longitud L-l
El péndulo se desvía θ0 y se suelta
Tarda un tiempo P1/4 en alcanzar la parte más baja de la trayectoria circular de radio L centrada en O. En este instante, el hilo choca con el obtáculo A y se interrumpe su trayectoria circular de radio L centrada en O
El péndulo parte en el instante P1/4 de la posición θ=0 con velocidad angular
donde P1 es el periodo del péndulo de longitud L
A partir de ese instante P1/4, pueden ocurrir los distintos casos que ya se han descrito
Oscilaciones
Tiro parabólico
Rotaciones
El péndulo de longitud L-l describe media oscilación de amplitud θ1 empleando un tiempo P2/2. Como la energía se conserva, la velocidad es v en la parte más baja de la trayectoria θ=0. La velocidad angular es dθ/dt=-v/L, esta es la velocidad inicial para el péndulo de longitud L, que describe un cuarto de oscilación durante un tiempo P1/4 y así, sucesivamente, hasta que el usuario detiene la animación
Cuando la tensión del hilo se anula, T=0, en la posición θ2, la partícua de masa m describe una trayectoria parabólica, hasta que su distancia al centro A se hace igual a r=L-l. En este instante, la animación se detiene
El péndulo de longitud L-l describe trayectorias circulares del mismo radio cuyo centro es el obstáculo A, hasta que el usuario detiene la animación
Se introduce
- La posición l del obstáculo A por debajo del centro de oscilación O
- La desviación inicial θ0 del péndulo
- Se ha fijado la longitud del péndulo en L= 1 m
Se pulsa el botón titulado Nuevo
Observamos las distintas etapas del movimiento del péndulo interrumpido
Ejemplos
Sea l=0.7 m
Oscilaciones
Desviamos el péndulo θ0=40° menor que arccos(l/L)=45.6° y lo soltamos
El péndulo oscila, entre los ángulos θ0=40° y θ1
Con un periodo
Con un periodo P=(P1+P2)/2=1.65 s
th_0=40*pi/180; L=1; %longitud del péndulo l=0.7; %posición obstáculo th_1=acos((L*cos(th_0)-l)/(L-l)); P=2*sqrt(L/9.8)*ellipke(sin(th_0/2)^2)+2*sqrt((L-l)/9.8)* ellipke(sin(th_1/2)^2); disp(P)
1.6546
Tiro parabólico
Desviamos el péndulo θ0=60° mayor que arccos(l/L)=45.6° y menor que arccos(5l/(2L)-3/2)=75.5° y lo soltamos
El péndulo de longitud L-l=0.3 m describe un arco de circunferencia vertical cuyo centro es el obstáculo A, hasta la posición angular θ2
En esta posición comienza la trayectoria parabólica de ángulo de tiro π-θ2
Rotaciones
Desviamos el péndulo θ0=80° mayor que arccos(5l/(2L)-3/2)=75.5° y lo soltamos
El péndulo describe circunferencias verticales de radio r=L-l centradadas en el obstáculo A. Supondremos que el obstáculo tiene un diámetro muy pequeño. En la práctica, al enrollarse el hilo en el obstáculo, la partícula describe una espiral
Fijamos la desviación inicial del péndulo θ0=90°
Oscilaciones
Rotaciones
Tiro parabólico
El ángulo θ1 no existe o es mayor que 90°. No hay oscilaciones para este ejemplo
Si l/L>0.6 (3/5), hay rotaciones
Si l/L≤0.6 (3/5), por ejemplo l=0.55 m, la tensión se anula para el ángulo
A partir de esta posición, la partícula describe una trayectoria parabólica, hasta que su distancia al centro sea r=L-l
Comprobamos que la partícula impacta en el obstáculo A cuando l=0.4641 m
Referencias
Physics Challenge for Teachers and Students. For want of a nail...Solution to the December 2022 Challenge, The Physics Teacher, Vol. 60, December 2022, pp. 797
Physics Challenge for Teachers and Students. The pin and the pendulum. Solution to November 2012 Challenge, The Physics Teacher, Vol. 50, 2012.
Francisco Jose Torcal-Milla. Oscillation period of the truncated simple pendulum. Phys. Educ. 58 (2023) 025014