Elektromagnetismoa

Faraday-ren legea

Espirak, eremu 
magnetiko aldakor 
batean (I)

Espirak, eremu
magnetiko aldakor
batean (II)

Faraday-ren legearen
frogapena (I)

Faraday-ren legearen 
frogapena (II)

Betatroia: partikula-
azeleragailua

Hagatxoa mugitzen
eremu magnetiko
batean zehar (I)

Hagatxoa erortzen
eremu magnetiko
batean zehar

Espira bat mugitzen
eremu magnetiko
batean zehar

Eremu magnetikoa
nola neurtu

Korronte alternoko
sorgailua

Galbanometro
balistikoa

Foucault-en
korronteak (I)

Foucault-en
korronteak (II)

Indukzio homopolarra

Disko bat, motore
eta sorgailua

Hagatxoa mugitzen
eremu magnetiko
batean zehar (II)

E eta B-ren momentu
angeluarra (I)

E eta B-ren momentu
angeluarra (II)

Mugimendua, geruza zilindrikoan karga dagoenean

Momentu angeluarra

Simulazioa

Saiakuntza

Erreferentziak

Orri honetan sistema elektromekaniko baten portaera aztertzen da, Newton-en legeak eta Faraday-ren legeak aplikatzen. Sistemaren energia eta momentu angeluarra zati biren batura da: zati bat mekanikoa eta bestea elektromagnetikoa.

Kontsidera dezagun geruza zilindriko isolatzaile bat, M masa, l luzera eta R erradioa dituena, eta bere simetria-ardatzaren inguruan aske bira dezakeena, marruskadurarik gabe. Geruza horretan, Q karga uniformeki sakabanatuta dago. Soka bat, masa arbuiagarrikoa eta luzaezina, zilindroaren inguruan harilkatzen da, eta beste muturretik m masadun bloke bat eskegita dago. Hasierako aldiunean, (t=0) m masadun blokea aske uzten da.

Ariketa honetan kalkulatu behar da, blokearen azelerazioa, energia zinetikoa, eta momentu angeluarra, blokea h altuera jaitsi den aldiunean, pausagunetik abiatu bada.

Edozein karga azeleratuk energia irradiatzen du, uhin elektromagnetiko gisa, baina suposatuko da zilindroko kargen azelerazioa behar bezain txikia dela, erradiazio bidezko energia-galera arbuiatu ahal izateko.

Kargarik gabeko mugimendua

Solidoaren dinamika aztertzen duen orrian, alegia “Errotazioaren dinamika eta energiaren balantzea” orrian, sistema mekaniko bera aztertu da, hau da, kargarik gabea, Q=0.

Ondoko irudiak erakusten ditu mugitzen ari diren gorputzak eta indarren eskema:

·        Zilindroaren errotazioarentzat, dinamikaren ekuazioa honakoa da: T·R = Ia ·        Eta blokearen translazioarentzat, dinamikaren ekuazioa hau da: mg - T = ma ·        Blokearen azelerazioa, a , eta zilindroaren ertzeko puntu baten azelerazio tangentziala, αR , berdinak dira. a = a·R

Ekuazio horietatik α azelerazio angeluarra ateratzen da:

Eta blokeak h altuera jaitsi duenean, zilindroak biratu duen angelua h/R da. Orduan, zilindroaren errotazioaren ω abiadura angeluarra,  pausagunetik abiatu bada:

Energiaren balantzea

Blokea, pausagunetik abiatuta, h altuera jaitsi duenean bere energia potentziala, mgh, bilakatu egiten da: blokearen translaziozko energia zinetikoa eta zilindroaren errotaziozko energia zinetikoa.

Blokearen v abiadura eta zilindroaren ertzeko puntu batena berdinak dira, beraz , v=ωR. Zilindroaren errotazioaren abiadura angeluarra amaieran:

Energiaren kontserbazioaz lortutako emaitza hau berau, dinamikaren ekuazioak aplikatzen ere lortu da.

Mugimendua, geruza zilindrikoan karga dagoenean

Eremu magnetikoa, geruza zilindrikoaren barnean

Geruza zilindrikoak Q karga du bere gainazal osoan sakabanatuta. Aldiune batean, ω abiadura angeluarra duenean, korronte elektrikoa sortzen ari da:

korronte hori geruza zilindrikoan zehar mugitzen ari da, gainazaletik, alegia  lδ sekzioa zeharkatzen du (l zilindroaren luzera da eta δ lodiera), orduan korronte-dentsitatea,  j= i / lδ.

Korronte elektriko horrek sortzen duen B eremu magnetikoa lortzeko, Ampère-ren legea aplika daiteke solenoidearen kasuan egin den antzera. Ondorengo baldintzak suposatuko dira:

• Ez dagoela eremu magnetikorik zilindroaren kanpoko aldean.
• Zilindroaren barneko eremu magnetikoa uniformea dela eta Z ardatzarekiko paraleloa.

Eremu magnetikoaren zirkulazioa ABCD bide itxian zehar hau da: B_z·x

ABCD bide itxiak inguratzen duen korrontea, x luzerakoa da, beraz xδ sekzioa zeharkatzen ari den korrontearen intentsitatea, hain zuzen: j·xδ = i·x/l.

Ampère-ren legea aplikatuz, eremu magnetikoaren modulua bakantzen da:

Energia magnetikoa

Solenoide batek bezalaxe, korronte zilindrikoak ere autoindukzioa du, eta koefizientea berdin kalkulatzen da.

Eremu magnetikoak zirkuituaren sekzioa zeharkatzen du, eta espira bakar baten antzekoa da, espira horretan i intentsitatea zirkulatzen ari denean.

Definizioz, L autoindukzio koefizientea F fluxu propioaren eta i intentsitatearen arteko zatidura da:

Eta eremu magnetikoan gordetako energia zilindroaren barnean, ω abiadura angeluarraz biratzen ari denean:

Badago beste modu bat ere energia magnetikoa lortzeko: energia magnetikoaren dentsitatea eta zilindroaren bolumena bidertuz.

Faraday-ren legea

Zilindroaren errotazioaren abiadura angeluarra ω da, eta denboran zehar aldakorra denez,  B_z eremu magnetikoa ere aldakorra da. Eremu aldakor horren fluxua sekzio zirkularrean zehar aldakorra da. Zirkunferentziak r erradioa du eta bere zentroak zilindroaren ardatzarekin kointziditzen du, irudiak erakusten duen bezalaxe. Faraday-ren legea aplikatuz:

Eremu magnetikoa Z ardatzarekiko paraleloa denez, induzitutako E eremu elektrikoa zirkunferentziaren tangentea da.

Orduan E_φ eremu elektrikoa lor daiteke, eta r=R posizioan, alegia zilindroan bertan

Higiduraren ekuazioak

Eremu horrek indarra eragiten die zilindroko kargei, eta zilindroa geldiarazteko norabidean. Geruza zilindrikoa oso estua dela suposatzen bada, indarra hau da: E_φQ. Eta indar horren momentua biraketa-ardatzarekiko (indarra bider distantzia):

M = RQE_φ

• Zilindroari eragiten, bi momentu ari dira, biak elkarren kontrako noranzkoez: sokaren tentsioak sortutakoa eta induzitutako eremu elektrikoak sortutakoa. Oraingoan zilindroaren errotazioaren dinamikaren ekuazioa hau da:

T·R + RQE_φ = Ia

• Eta blokearen translazioaren dinamikaren ekuazioa:

mg -T = ma

• Baina zilindroaren azelerazio angeluarra eta blokearen azelerazioa erlazionatuta daude:

a = a·R

Eta hortik azelerazio angeluarra bakanduz:

Ekuazio horretan agertzen den termino bat:

inertzia-momentuaren dimentsioak ditu, baina ez m masari dagokiolako, Q kargari baizik. Horregatik, inertzia-momentu elektromagnetikoa deitzen zaio, I_em.

Konparatzen badugu azelerazio angeluar hori, kargarik gabe lortzen denarekin, Q=0, txikiagoa dela ateratzen da.

Eta zilindroaren ω abiadura angeluarra, blokeak h altuera jaitsi duenean, eta pausagunetik abiatuta:

Energiaren balantzea

Blokeak, pausagunetik abiatuta h altuera jaitsi duenean, bere energia potentzial osoa, mgh, bilakatu egin da: blokearen translazioaren energia zinetikoa, zilindroaren errotazioaren energia zinetikoa, eta gainerako energia, ΔE, zilindroaren barruan sortzen den eremu magnetikoaren energia da, ondoren frogatuko dugun bezalaxe:

Kalkula dezagun lehenik gainerako energia:

Lehenago lortu den ω abiadura angeluarraren adierazpenetik, mgh bakan daiteke eta azken ekuazio horretan ordezkatu:

Eta inertzia-momentu elektromagnetikoaren I_em balioa ordezkatuz:

Blokearen energia potentzial osoa, mgh, bilakatu egin da hiru zatitan: blokearen translazioaren energia zinetikoa, zilindroaren errotazioaren energia zinetikoa, eta gainerako energia, geruza zilindrikoko kargek mugitzean, zilindroaren barruan sortzen duten eremu magnetikoaren energia E_B .

Orduan energiaren kontserbazio-printzipioa honela idazten da orokorrean (Q≠0)

Momentu angeluarra

Hasierako aldiunean, t=0, sistema osoa pausagunean dago, bai zilindroa zein blokea, beraz momentu angeluarra nulua da.

Denbora iragan ondoren, t aldiunean, blokea h altuera jaitsi da eta v abiadura du, zilindroak errotazioa ω abiadura angeluarraz eta zilindroaren barnean eremu magnetiko uniforme bat dago, B_z.

Sistemaren momentu angeluarra kalkulatzeko, L_sis , bulkada angeluarraren definizioa aplika daiteke, m masadun blokeak sokatik tiraka zilindroari aplikatzen diona:

Eta orduan sistema osoaren momentu angeluarra, L_sis, bi zatitan bana daiteke:

• momentu angeluar mekanikoa: L_mek= (I+mR²) ω
• eta momentu angeluar elektromagnetikoa:  L_em= I_em ω

Eremu elektromagnetikoaren momentu angeluarra

Eremu elektromagnetikoaren momentu angeluarraren adierazpena hutsean koordenatuen jatorriarekiko hau da:

Hemen S Poynting-en bektorea da eta c argiaren abiadura hutsean.

Eremu magnetikoa, B

Zilindro kargatuak errotatzerakoan eremu magnetikoa sortzen du bere barnean, B_z .Eremu magnetiko hau errotazio ardatzaren paraleloa da eta lehen kalkulatu dugu. Hala ere, zilindrotik kanpo eremu magnetikoa oso txikia da (nulua da, zilindroaren luzera infinitua bada) baina ez da erabat zero.

Eremu elektrikoa, E

Zilindro kargatuak ere eremu elektrikoa sortzen du, eta Gauss-en legea aplikatuz lortzen da.

Demagun geruza zilindriko kargatu bat, l luzera, R erradioa eta Q karga dituena. Gauss-en legea aplikatzeko ondoko urratsak burutu behar dira:

1. Karga-distribuzioaren simetrian oinarrituz, eremu elektrikoaren norabidea asmatu.

Kasu honetan, simetria zilindrikoa denez eremu elektrikoa erradiala da, zilindroaren ardatzarekiko perpendikularra.

2. Aukeratu gainazal itxi bat fluxua kalkulatzeko:

Har dezagun gainazal itxitzat, beste zilindro bat: l luzera eta r erradioduna.

Eremu elektriko bektorea, E, gainazal bektorearekiko paraleloa da, dS-rekiko alegia, eta eremuaren modulua berdina da gainazalaren puntu guztietan, beraz:

Eremu elektrikoaren fluxua zilindroaren estalkietan nulua da, irudiak erakusten duen bezala, E eta S elkarrekiko perpendikularrak direlako

Beraz fluxu totala:  E·2p rl

3. Gainazal itxiaren (beltzaren) barneko karga kalkulatu:

	r<R eskualdea Karga osoa geruza zilindrikoan dagoenez, (irudian gorria), orduan  r<R eskualdean ez dago batere kargarik. Beraz, Gauss aplikatuz: E=0.
	r>R eskualdea Gainazal itxiaren (beltzaren) barnean inguratutako karga, justu zilindro kargatuaren Q karga osoa da (gorria). Hortaz:

Eremu elektrikoa eta eremu magnetikoa, E eta B, biak ezagunak direnean momentu angeluar elektromagnetikoaren kalkulua burutu daiteke. Hemen ez da kalkulua erakusten, baina emaitza hau da:  L_em=I_em·ω, lehen kalkulatutako bera.

Simulazioa

Sistema erreal batean inertzia-momentu elektromagnetikoa, I_em , oso txikia izaten da, μ₀=4π·10^-7, oso txikia delako. Gainera geruza zilindriko batean metatu daitekeen karga-dentsitatea luzera unitateko ere ezin da nahi bezain handia izan, airean 5·10^-5 C/m, baino txikiagoa zilindroaren erradioa 30 cm bada.

Inertzia-momentu elektromagnetikoa, I_em , Q kargaren karratuaren proportzionala da eta, ondorengo simulazioan, proportzionaltasun-konstantea hitzarmenez erabaki da,  I_em ez dadin oso txikia izan eta horrela inertzia-momentu mekanikoarekin konparagarria izan dadin: I_mek=mR²+I.

Saiakuntza:

Idatzi beharrekoa:

• Blokearen masa, m, gramotan, dagokion laukian.
• Zilindroaren masa, M, gramotan, dagokion laukian.
• Karga izeneko laukian, zilindroaren gainazalean zehar sakabanatuta dagoena.

Hasi botoia klikatu.

• Blokearen translazioa eta zilindroaren errotazio mugimendua ikusten da.
• Kolore gorriko puntuez zilindroaren gainazaleko kargak adierazten dira, uniformeki sakabanatuta. Erlojuaren orratzen alde mugitzen dira, korrontea adieraziz.
• Kolore urdinez eremu magnetikoa adierazten da, kasu honetan barrurantz denez (eskumako eskuaren erregelaren arabera) gezi batez adierazten da.

Applet-aren ezkerreko aldean erakusten da, tarta itxurako diagrama batean, energia nola banatzen den, alegia blokearen hasierako energia potentziala (grisa) nola bilakatzen den:

• blokearen translazioaren energia zinetikoa (gorria).
• Zilindroaren errotazioarena (arrosa).
• Zilindroaren barnean induzitzen diren eremu magnetikoari dagokion energia elektromagnetikoa (urdina).

Adibidea:

Geruza zilindrikoaren inertzia-momentua:  I=MR²

Inertzia-momentu elektromagnetikoa  I_em= k·Q²·R².  Proportzionaltasun-konstantea finkoa hautatu da: k=1/64.

Azelerazio angeluarra, zilindroaren R erradioaren menpekoa da, eta finkoa hartu da: R=30 cm.

Errotazioaren amaierako abiadura angeluarra: ω

Baldin  m=0.3 kg,  M=0.2 kg, Q =3 karga-unitate, h=1.0 m, R=0.3 m,

• Azelerazio angeluarra  α=4.59 rad/s²
• Abiadura angeluarra amaieran ω=10.09 rad/s

Energia:

• Blokearen translazioaren energia zinetikoa: E₁=1.38 J
• Zilindroaren errotazioaren energia zinetikoa: E₂=0.92 J
• Energia elektromagnetikoa: E₃=0.64 J

Energia totala hau da: E=E₁+E₂+E₃=2.94 J,  hain zuzen blokearen energia potentziala hasieran: E=mgh=0.3·9.8·1.0=2.94 J

Ohar bedi, zenbat eta handiagoa izan Q karga, txikiagoa izango dela ω abiadura angeluarra amaieran. Energia elektromagnetikoa handiagoa izango da eta energia zinetikoa txikiagoa.

Momentu angeluarra:

• Momentu angeluar mekanikoa: L_mek= (mR²+MR²)· ω= 0.454 kg·m²/s
• Momentu angeluar elektromagnetikoa: L_em= I_em· ω= 0.128 kg·m²/s
• Sistema osoaren momentu angeluar totala: L_sis =L_em + L_mek = 0.582 kg·m²/s

Blokeak h=1.0 m altuera jaisten tardatzen duen denbora, pausagunetik abiatuta:  t=0.66 s

Eta kanpo indarraren bulkada angeluarra (blokearen pisuarena) mgR·t=0.582 kg·m²/s