Elektromagnetismoa

Faraday-ren legea

Espirak, eremu 
magnetiko aldakor 
batean (I)

Espirak, eremu
magnetiko aldakor
batean (II)

Faraday-ren legearen
frogapena (I)

Faraday-ren legearen 
frogapena (II)

Betatroia: partikula-
azeleragailua

Hagatxoa mugitzen
eremu magnetiko
batean zehar (I)

Hagatxoa erortzen
eremu magnetiko
batean zehar

Espira bat mugitzen
eremu magnetiko
batean zehar

Eremu magnetikoa
nola neurtu

Korronte alternoko
sorgailua

Galbanometro
balistikoa

Foucault-en
korronteak (I)

Foucault-en
korronteak (II)

Indukzio homopolarra

Disko bat, motore
eta sorgailua

Hagatxoa mugitzen
eremu magnetiko
batean zehar (II)

E eta B-ren momentu
angeluarra (I)

E eta B-ren momentu
angeluarra (II)

Momentu angeluar mekanikoa

Eremu elektromagnetikoen momentu angeluarra

Simulazioa

Saiakuntza

Eremu elektromagnetikoen momentu angeluarraren kasu sinple bat

Erreferentziak

Feynman-ek idatzitako "Lectures on Physics" ospetsuetan, bigarren alean, 17-8-9 orrietan, paradoxa bat aipatzen da. Orri honetan paradoxa horixe azalduko da.

Fisika orokorreko testuliburuetan ez da normalean aipatzen Eremu elektromagnetikoak ere momentu angeluarra baduela. Feynman-en paradoxa oso baliagarria da eremu elektromagnetikoaren oinarrizko izaera hauxe aurkezteko, momentu angeluarra alegia.

Feynman-en paradoxa

Imajina dezagun irudian erakusten den dispositiboa: plastikozko disko zirkular bat, bere ardatzaren inguruan bira dezakeena. Ardatza diskoaren zentrotik pasatzen da, diskoaren perpendikularra da eta suposatuko dugu marruskadura arbuiagarria duela. Diskoaren erdian bobina txiki bat dago, diskoaren ardazkidea, eta bobinan zehar korronte elektriko bat zirkulatzen ari da, i, egonkorra, bateria baten eraginez. Diskoaren ertzean, eta zirkunferentzia osoan uniformeki sakabanatuta, esfera metaliko txiki batzuk daude, isolatuta elkarrengandik eta bobinatik, diskoaren materiala, plastikoa, ez eroalea delako. Esfera metalikoek, denek  q karga bera dute.

Hasieran diskoa pausagunean dago.

Demagun, solenoideko i intentsitatea gutxitu egiten dela, edozein arrazoi dela medio. Adibidez, solenoidearen hariaren materiala goi-eroalea dela oso tenperatura baxuetan, baina tenperatura muga batetik gora pasatzen bada materialaren erresistentzia hazi egiten da eta korrontea gutxiagotzen dela.

Solenoidean zehar eremu magnetikoaren fluxua gutxitzean, eremu elektrikoa induzitzen da, diskoaren perimetroaren tangentziala, eta esfera kargatuei eragingo die. Esfera kargatuek jasandako indarrek diskoa biraraziko dute.

Honen antzeko egoera bat betatroia izeneko partikula-azeleragailuan ere ematen da. Eremu magnetiko batek fluxu-aldaketa bat jasaten du denborarekiko, aldaketa honek eremu elektrikoa induzitzen du eta eremuak partikula kargatu bat azeleratzen du.

Momentu angeluarraren kontserbazio-printzipioa aplikatzen bada, hasieran sistema osoaren momentu angeluarra nulua da, beraz amaieran ere, sistema osoaren momentu angeluar totala nulua izan behar da. Ondorioz, diskoak ez luke biratu beharko korrontea eteten denean: hauxe da paradoxa.

Momentu angeluar mekanikoa

Demagun bobinaren a erradioa askoz txikiagoa dela, diskoaren R erradioa baino. Bobinak sortutako eremu magnetikoa,  r>>a puntuetan hau da:

Suposatuko dugu solenoidearen i korrontea astiro gutxitzen dela, eremu elektromagnetikoak uneoro kuasiestatikoak izan daitezen.

Kontsidera dezagun diskoa barne duen plano infinitu osoa; plano infinitu horretan zehar eremu magnetikoaren fluxua nulua izan behar da, eremu magnetikoaren lerroak itxiak direlako. Beraz, eremu magnetikoaren fluxua baina bakarrik diskoaren azaleran zehar, eta eremu magnetikoaren fluxua gainerako azalera infinituan zehar (diskoaren azalera kenduta), berdinak dira baina aurkako zeinukoak.

Eremu magnetikoaren fluxua kalkulatzea diskoan zehar ez da erraza (y=0-tik y=R-raino), ez daukagulako B eremu magnetikoaren adierazpen matematikorik, bobinatik hurbil dauden puntuetarako ezta bobinaren barruan ere, orduan gainerako azaleran kalkulatuko dugu fluxua (y=R-tik y=∞-raino).

Bobinaren momentu dipolar magnetikoak Z ardatzaren norabidea du: m=m·k, orduan, diskoa barne duen plano infinituan (z=0) eta bobinaren a erradioa baino asko urrutiagoko puntuetan (y>>a) eremu magnetikoa honela adieraz daiteke:

Hortaz B eremu magnetikoaren fluxua R erradiodun diskoan zehar, honakoa da (kalkulua y=R-tik y=∞-raino burutzen da, baina fluxuak berdinak dira, zeinua salbu):

Eta Faraday-ren legearen arabera:

Sistema honek simetria axiala duenez, ardatzaren beraren inguruan, induzitutako E eremu elektrikoa konstantea da r erradiodun zirkunferentzietan eta zirkunferentziaren tangentea da; orduan bere zirkulazioa erraz kalkula daiteke, eta induzitutako E eremu elektrikoaren modulua kalkula daiteke: adibidez justu diskoaren ertzean, alegia r=R posizioan:

Eta noranzkoa Lenz-en legearen arabera deduzi daiteke, ondoko irudiak erakusten duen bezala:

E eremu elektrikoak q karga puntualari eragiten dion indarra:  f=qE

f indar horrek E eremuaren norabide bera du, eta noranzkoa ere bera, q karga positiboa denean, baina aurkako noranzkoa q karga negatiboa denean.

f indarrak errotazio-momentua eragiten du, diskoa birarazten duena. Q karga diskoaren perimetro osoan uniformeki sakabanatuta baldin badago, E eremu elektriko induzituak karga horri eragindako f  indarrak sortutako M momentua honakoa da:

Solido batek ardatz finko baten inguruan bira badezake, eta indar baten momentuak solidoari eragiten badio denbora-tarte batez, solidoaren momentu angeluarra aldatu egiten da.

Momentu angeluar bektoreak, L_mek, biraketa-ardatzaren norabidea du eta, hasieran diskoa pausagunean badago, amaieran bere modulua honakoa da:

Hemen m bobinaren hasierako momentu dipolar magnetikoa da (amaieran zero).

Eremu elektromagnetikoen momentu angeluarra

Paradoxa hau argitu daiteke eremu elektriko eta magnetiko estatikoek ere momentu angeluarra badutela onartuz. Eremu bi horiek eta diskoak sistema isolatua osatzen dute, eta akoplatuta daude diskoaren ertzeko kargen bitartez. Bobinaren korrontea aldatzen denean eremuetan dagoen momentu angeluarraren zati bat diskoaren momentu angeluar mekaniko bilakatzen da.

Eremu elektromagnetikoak hutsean momentu angeluarra du, eta koordenatuen jatorriarekiko honela adierazten da:

Hemen S Poynting-en bektorea da eta c argiaren abiadura hutsean.

Zenbait kalkuluren ondoren froga daiteke (baina maila jasoa dute Fisikako lehen mailako kurtso baterako) diskoak eta eremu elektromagnetikoak osatutako sistemaren momentu angeluar totala:

 L_em+L_mek=0

espero den bezala, momentu angeluarraren kontserbazio-printzipioaren arabera. Momentu angeluar elektromagnetikoaren zati bat momentu angeluar mekaniko bilakatzen da.

Diskoan kargak bakarrik badaude eremu elektrikoa badago, baina ez dago eremu magnetikorik eta L_em, momentu angeluar elektromagnetikoa, nulua da. Diskoan bobina bakarrik badago, eta bertatik korronte iraunkor bat zirkulatzen ari bada, baina ez badago eremu elektrikorik ere, momentu angeluarra nulua da. Soilik bi eremuak, egon badaudenean, momentu angeluar elektromagnetikoa ez da nulua.

Beste dedukzio alternatibo bat ere egin daiteke; ondoren, bobinak sortutako eremu magnetikoak q karga puntual bati eragindako indarra kalkulatuko da, karga puntuala infinitutik diskoaren ertzeraino ekartzen denean.

Demagun bobinatik i korronte geldikorra zirkulatzen ari dela eta karga puntual guztiak, hasieran, infinituan daudela. Beraz, ez dago momentu angeluarrik. Ekar ditzagun karga puntualak infinitutik diskoaren ertzeraino erradialki eta v abiadura konstanteaz.

Karga puntual bat, q, diskoaren zentrotik y distantziara dagoenean (y>>a) bobinak sortutako B eremu magnetikoaren eraginez f indar bat jasaten du.

f indarraren norabide eta noranzkoa irudiak erakusten ditu.

Karga puntuala abiadura konstanteaz mugitzeko indar hori berdindu beharko da:  f_ext= - f.  Indar horrek jatorriarekiko momentu bat sortzen du (indarraren aplikazio-puntua jatorritik y distantziara dago): r = y j

Orduan eremu elektromagnetikoak gordetzen duen momentu angeluarra:

hemen ordezkatu da v·dt = -dy.

Momentu angeluar elektromagnetikoak, L_em bektoreak, Z ardatzaren norabidea du eta v-ren independentea da, alegia, berdin dio zein abiaduraz eramaten den karga puntuala infinitutik diskoaren ertzeraino.

Oharra: q karga puntual batek, v abiaduraz mugitzen ari denean ere eremu magnetikoa sortzen du, baina eremu horrek ez du indarrik eragiten q kargarengan berarengan.

Simulazioa

Bobina bateriatik konekta eta deskonekta daiteke.

• Bateria bobinan konektatzen denean, bobinako korrontea hazi egiten da, zerotik  i₀  balio konstante bat atzematen den arte. Iragaten den  denbora teorikoki infinitua da, baina praktikan zirkuituaren t denbora-konstantearen araberakoa da.

• Bateria bobinatik deskonektatzen denean, (suposatzen da hariak konektatuta segitzen duela baina bateriarik gabe) korrontearen intentsitatea ez da bat-batean zero bilakatzen, horren ordez esponentzialki gutxitzen doa zerora iristen den arte. Hemen ere iragaten den denbora teorikoki infinitua da, baina praktikan zirkuituaren t denbora-konstantearen araberakoa da.

Bobinaren momentu magnetikoa hau da: m=i·Nπa², hemen N espira-kopurua da eta a erradioa.

Momentu magnetikoak ere intentsitatearen portaera bera du: denborarekiko aldakuntza hauxe da:

Zeinu positiboa bateria konektatzean ematen da eta negatiboa deskonektatzean.

Eta eremu elektrikoak diskoaren ertzeko kargei eragiten dien indarrak momentua sortzen du. Honela adieraz daiteke:

Errotazioaren dinamikaren ekuazioa aplikatzen bada α azelerazio angeluarraren balioa lortzen da, baldin I_c diskoaren inertzia-momentua bada:

Eta denborarekiko integratuz errotazioaren abiadura angeluarraren adierazpena ere lor daiteke:

amaierako abiadura angeluarra ω_f  = ± kτ da baina k ordezkatuz behatzen da ez duela t denbora-konstantearen menpekotasunik, eta beraz, amaierako L momentu angeluarrak ere ez:

Azken faktorea justu bobinaren momentu magnetiko maximoa da: m= i₀·Nπa² (hasierakoa deskonektatzean baina amaierakoa konektatzean).

Eta ω abiadura angeluarra denborarekiko integratuz, θ posizio angeluarraren adierazpena lortzen dugu: 

Diskoak abiadura angeluar uniformea atzematen duenean, ω_f=kτ , hortik aurrera errotazioa uniformea da.

Saiakuntza

Idatzi

• Denbora-konstantea, τ, dagokion laukian.
• Diskoaren erradioa, R, dagokion laukian.
• Diskoaren ertzean sakabanatuta kokatzen diren karga puntualen kopurua, Karga-kopurua laukian zenbaki bat idatzi: n .

Programa interaktiboak finkatuta dauzka ondoko balioak:

• Bobinaren momentu dipolar magnetiko maximoa: i₀·Nπa²
• Diskoaren ertzean sakabanatuta kokatzen diren partikula kargatuen q karga. Karga totala: Q=n·q
• Diskoaren inertzia-momentua: I_c

Gainera beste botoi hauek ere aukera daitezke:

• Bateria bobinarekin konektatzea edo deskonektatzea.
• Partikulen karga positiboa edo negatiboa

Hasi botoia klikatu:

Diskoa biraka hasten dela behatzen da. Pantailaren eskumako aldean, goian, t denbora eta ω errotazioaren abiadura angeluarraren balioak ematen dira, baina unitate arbitrarioetan.

Behatzen da:

• abiadura angeluarrak balio limite konstante baterantz jotzen duela.

• amaierako abiadura angeluarra karga-kopuruaren proportzionala da, n-rena alegia.

• amaierako abiadura angeluarra diskoaren R erradioaren alderantziz proportzionala da (suposatzen delako diskoaren I_c inertzia-momentua ere konstantea dela, R erradioaren independentea).

Ondoko bektoreak ere erakusten dira:

• Bobinaren m momentu dipolar magnetikoa bobinaren erdian. Bateria konektatzean handituz doa eta deskonektatzean gutxituz, intentsitatea bezalaxe.
• E, eremu elektrikoa diskoaren ertzean, alegia kargen posizioan.
• Eremu elektrikoak eragiten duen indarra karga puntualetan, positiboak direnean (gorriak) zein negatiboak direnean (urdinak).

Hobeto ulertzeko gomendagarria da:

• Lenz-en legeaz arrazoituz, E eremu elektrikoaren noranzkoa deduzitzea.
• Kargek jasandako indarrek sortutako M momentua (edo diskoak norantz biratuko duen), eta konparatu programa interaktiboak ematen duenarekin.

Eremu elektromagnetikoen momentu angeluarraren kasu sinple bat

Feynman-en paradoxaren eredua interesgarria da, baina eremu elektromagnetikoen momentu angeluarra kalkulatzea konplikatu samarra da. Ondorengo atal honetan, momentu angeluar mekanikoa, L_mek , eta momentu angeluar elektromagnetikoa, L_em, kontsideratzen dira, eta adibide sinple batean erakusten da, bi momentu angeluarren batura nulua dela edozein aldiunetan, beraz, momentu angeluarraren kontserbazio-printzipioa egiaztatzen dela.

Sistema irudian erakusten da: zilindro ardazkide bi, eroaleak, a eta b erradiodunak (a>b) eta l luzeradunak. Eskualde horretan eta zilindroen ardatzaren paralelo, B eremu magnetiko bat dago. Zilindroen estalki gisa xafla zirkular bi, eroaleak ere bai, a eta b erradiodunak eta d lodieradunak. Xaflak kable koaxial baten bitartez bateria batera konektatzen dira, goiko xafla polo negatibora eta beheko xafla polo positibora. Hasieran zilindro biak pausagunean daude eta deskargatuta: momentu angeluar totala nulua da. Orain bateria  konektatzen da irudiak erakusten duen bezala. Zilindroetako  karga handitzen doa apurka eta denbora bat iragan ondoren (teorikoki infinitu) zilindroak guztiz kargatuta geratzen dira, -Q eta +Q  konexioaren arabera.

Momentu angeluar mekanikoa

Zilindroak kargatzen ari diren bitartean, t aldiunean, kableetatik zirkulatzen ari da korrontea:  i(t).

Eremu magnetikoak indarra eragiten du xafletatik zirkulatzen duen korronte erradialetan, beheko xafla zirkularrean zentrotik ertzera erradialki zirkulatzen ari da eta goiko xaflan alderantziz, alegia ertzetik zentrora.

Hau da B eremu magnetikoak egindako indarra  i intentsitatedun korronte-elementu bati:

Korronte-dentsitate bektoreak, J-k, u_t bektore unitarioaren norabide eta noranzkoa ditu, eta honela definitzen da:

Orduan eremu magnetikoak i intentsitateko korronteari egiten dion F indarra J-ren menpe ere berridatz daiteke, alegia korronte-dentsitate bektorearen menpe:

Eta indar horren momentua errotazio ardatzarekiko:

Adibidez, beheko xaflatik sartzen ari den i intentsitatea erradialki zabaltzen da eraztunetan, baina eraztunen r erradioa gero eta zabalagoa da, beraz, korronte-dentsitatea hau da: J=i/(2πrd). Korronte-dentsitate bektorea erradiala da eta zentrotik kanporantz beheko xaflan, baina ertzetik zentrorantz goiko xaflan.

Irudietan adierazten da, beheko xaflan M momentuak duen norabide eta noranzkoa. Goiko xaflarentzat momentua berdina da baina justu aurkakoa.

Momentuaren modulua kalkulatzeko, har dezagun r eta r+dr bitarteko eraztuna (irudian horia) eta d altuera duena. Bere bolumena beraz, dV=2πrdr·d. Orduan eremu magnetikoak i korronteari egindako indarraren M_b momentua beheko xaflan:

Goiko xaflan antzeko kalkulua burutzen da eta M_a kalkulatzen da:

Hortaz momentu totala hau da M=M_a-M_b=iB(a²-b²)/2.

M-ren norabidea errotazio-ardatzaren bera da, eta a>b baldin bada noranzko positiboa du (gorantz), bestela negatiboa.

Orduan pausagunetik abiatuta, momentu angeluar mekanikoa amaieran, L_mek:

Hemen Q eroale zilindrikoen amaierako karga da (ikus bedi kondentsadore baten karga)

Eremu elektromagnetikoaren momentu angeluarra

Gauss-en legea aplikatuz, bi eroale zilindriko ardazkidek sortutako eremu elektrikoa lehenago kalkulatuta dago. Adibide horretan zilindroek Q karga dute, elkarren aurkakoa, l luzera eta a eta b erradioak dituzte.

Baldin r<b orduan E=0 Baldin r>a orduan E=0 Eta bien arteko tartean, b<r<a eremua E=Q/(2πrlε0) Eroale zilindriko bien tartean eremu bi daude: Eremu elektrikoa erradiala eta zilindroaren ardatzaren perpendikularra. Eremu magnetikoa zilindroaren ardatzaren paraleloa.

Poynting-en bektorearen modulua S=E×B/μ₀ honakoa da:

Irudiak erakusten du S bektorearen norabide eta noranzkoa: r erradiodun zirkuluaren tangentea eta erlojuaren orratzen alde.

Momentu angeluar elektromagnetikoa:

Kontutan izan ondoko baldintzak: integrazio bolumena zilindro bat da, l luzeraduna eta a eta b erradioen bitartekoa. bolumen elementua beraz, dV=2πrl·dr. Argiaren abiadura hutsean c, eta 1/c²=ε₀·μ₀.

Momentu angeluar elektromagnetikoaren modulua, L_em:

Bere norabidea zilindroaren ardatzarena da eta noranzkoa negatiboa (beherantz).

Beraz, honela egiaztatzen da momentu angeluarraren kontserbazio printzipioa: Lmek+Lem=0 Multzo osoaren momentu angeluar totala nulua da, eta multzoa osatzen dute zilindro ardazkide biek, xafla zirkular biak eta eremu elektromagnetikoak.