En la figura, se muestran las fuerzas sobre cada uno de los dos cuerpos, supondremos que m₁>m₂. Consideramos que la aceleración de la gravedad g es constante en módulo y dirección

Aplicamos la segunda ley de Newton a cada uno de los cuerpos

m₁g-T=m₁a
T-m₂g=m₂a

Despejamos la aceleración

${\displaystyle a=\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}g}$

La velocidad de los cuerpos cuando el primero desciende una altura h partiendo del reposo es

${\displaystyle v=\sqrt{2ah}=\sqrt{2\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}gh}}$

Aplicando el principio de conservación de la energía, se llega al mismo resultado. Comparamos el estado inicial y el estado final cuando el cuerpo de masa m₁ desciende una altura h, y el cuerpo de masa m₂ asciende la misma altura. Ponemos el nivel cero de energía potencial en la posición inicial de los dos cuerpos. Igualamos la energía inicial y la energía final.

${\displaystyle 0=-m_{1}gh+m_{2}gh+\frac{1}{2}{m}_1{v}^2+\frac{1}{2}{m}_2{v}^2}$

Una máquina de Atwood gigantesca

Si los dos cuerpos tienen la misma masa y están a la misma altura, la máquina de Atwood estará en equilibrio inestable. En cambio, si los dos cuerpos están inicialmente a distinta altura la variación de la aceleración de la gravedad con la altura hace que el cuerpo más cercano a la Tierra experimente una fuerza mayor que el cuerpo más alejado.

Siendo R=6.37·10⁶ m el radio de la Tierra, M=5.98·10²⁴ kg la masa de la Tierra, G=6.67·10^-11 Nm²/kg², y m es la masa de cada uno de los dos cuerpos.

Establecemos el origen en la posición de equilibrio de los dos cuerpos, cuando están a la misma altura H sobre la superficie de la Tierra. Se desplazan una distancia x los dos cuerpos, uno hacia arriba y otro hacia abajo. La fuerza que experimenta el cuerpo más cercano al suelo es

${\displaystyle F_1=G\frac{Mm}{{(R+H-x)}^2}}$

y el más alejado

${\displaystyle F_2=G\frac{Mm}{{(R+H+x)}^2}}$

Aplicamos la segunda ley de Newton a cada uno de los dos cuerpos

F₁-T=ma
T-F₂=ma

Despejamos la aceleración

a=(F₁-F₂)/(2m)

Teniendo en cuenta que H y x son muy pequeños frente al radio R de la Tierra, la aceleración a es proporcional al desplazamiento x.

$$\begin{gathered} {\displaystyle F_1-F_2=G\frac{Mm}{R^2}\left\{{\left(1+\frac{H-x}{R}\right)}^{-2}-{\left(1+\frac{H+x}{R}\right)}^{-2}\right\} \\ \approx mg\left\{\left(1-2\frac{H-x}{R}\right)-\left(1-2\frac{H+x}{R}\right)\right\}=mg\frac{4x}{R}} \end{gathered}$$

Escribimos la ecuación del movimiento en forma de ecuación diferencial

${\displaystyle \frac{d^{2}x}{d{t}^2}-\frac{2g}{R}x=0}$

La solución de esta ecuación diferencial tiene la forma

${\displaystyle x=A{e}^{kt}+B{e}^{-kt}k=\sqrt{\frac{2g}{R}}}$

La velocidad de los cuerpos es

${\displaystyle v=\frac{dx}{dt}=k(A{e}^{kt}-B{e}^{-kt})}$

Los coeficientes A y B se determinan a partir de las condiciones iniciales, en el instante t=0, el desplazamiento inicial es x=x₀, y la velocidad inicial v=0. Las expresiones de la posición y velocidad de los cuerpos son

${\displaystyle \begin{array}{l}x=\frac{x_0}{2}(e^{kt}+e^{-kt})=x_0·\cosh (kt)\\ v=x_0·k·\text{sinh}(kt)\end{array}}$

Tiempo que tarda uno de los cuerpos en llegar al suelo.

El cuerpo más cercano a la Tierra parte de la posición x=x₀ en el instante t=0, y llega a la posición x=H en el instante t.

Despejamos el tiempo t en la ecuación H=x₀·cosh(kt)

${\displaystyle \begin{array}{l}H=\frac{x_0}{2}(e^{kt}+e^{-kt})\\ e^{2kt}-\frac{2H}{x_0}{e}^{kt}+1=0\end{array}}$

Haciendo el cambio de variable z=e^kt, tenemos una ecuación de segundo grado en z. La raíz que da un tiempo t positivo es

${\displaystyle \begin{array}{l}z=\frac{H}{x_0}+\sqrt{\frac{H^2}{x_0^2}-1}\\ t=\sqrt{\frac{R}{2g}}\ln \left(\frac{H}{x_0}+\sqrt{\frac{H^2}{x_0^2}-1}\right)\end{array}}$

El tiempo t depende del cociente H/x₀. Se obtiene el mismo resultado cuando H=100 y x₀=10, que cuando H=10 y x₀=1. Siempre que se cumpla que H<<R

Balance energético

Comparamos la situación inicial con la situación en el instante t (véase la segunda figura). Aplicamos el principio de conservación de la energía

${\displaystyle -G\frac{Mm}{R+H-x_0}-G\frac{Mm}{R+H+x_0}=\frac{1}{2}2m{v}^2-G\frac{Mm}{R+H-x}-G\frac{Mm}{R+H+x}}$

Dado el desplazamiento x calculamos la velocidad v de los cuerpos

Ejemplo

La posición de equilibrio de los dos cuerpos a la misma altura H=100 m. Se desplaza los dos cuerpos x₀=10 m. Calcular el tiempo que emplea en llegar al suelo y la velocidad final de los bloques. Datos:

• Radio de la Tierra, R=6.37·10⁶ m
• Masa de la Tierra M=5.98·10²⁴ kg
• Constante G=6.67·10^-11 Nm²/kg²
• Aceleración de la gravedad en la superficie de la Tierra g=GM/R²=9.83 m/s²

${\displaystyle \begin{array}{l}t=\sqrt{\frac{6.37·{10}^6}{2·9.83}}\ln \left(\frac{100}{10}+\sqrt{\frac{{100}^2}{{10}^2}-1}\right)=1703.8\text{s}\\ v=\text{10·}\sqrt{\frac{2·9.83}{6.37·{10}^6}}\text{sinh}\left(\sqrt{\frac{2·9.83}{6.37·{10}^6}}·1703.8\right)=0.175\text{m/s}\end{array}}$

Aplicando el principio de conservación de la energía

$$\begin{gathered} {\displaystyle 6.67·{10}^{-11}·5.98·{10}^{24}\left(\frac{1}{6.37·{10}^6}+\frac{1}{6.37·{10}^6+200}-\frac{1}{6.37·{10}^6+90} \\ -\frac{1}{6.37·{10}^6+110}\right)=\frac{1}{2}2v^2} \end{gathered}$$

v=0.174795 m/s

Es muy pequeña la discrepancia entre el cálculo exacto de la velocidad y el aproximado teniendo en cuenta que H y x₀ son pequeños frente al radio R de la Tierra

R=6.37e6; %radio de la Tierra
g=9.83; %aceleración de la gravedad

H=100; %altura
x0=10; %posición inicial
k=sqrt(2*g/R);
tf=sqrt(R/(2*g))*log(H/x0+sqrt(H^2/x0^2-1));

subplot(2,1,1)
x=@(t) x0*cosh(k*t);
fplot(x,[0,tf]);
grid on
xlabel('t (s)')
ylabel('x (m)')
title('Posición')
subplot(2,1,2)
v=@(t) x0*k*sinh(k*t);
fplot(v,[0,tf]);
grid on
xlabel('t (s)')
ylabel('v (m/s)')
title('Velocidad')

Actividades

Se introduce

• El desplazamiento inicial x₀, en el control titulado Desplazamiento inicial.

• Se ha fijado la altura inicial de equilibrio de los dos cuerpos en H=100 m

Se pulsa el botón titulado Nuevo

Referencias

West J. O., The Atwood machine: two special cases. The Physics Teacher Vol. 37, February 1999, pp. 83-85