Una máquina de Atwood gigantesca

En la figura, se muestran las fuerzas sobre cada uno de los dos cuerpos, supondremos que m1>m2. Consideramos que la aceleración de la gravedad g es constante en módulo y dirección

Aplicamos la segunda ley de Newton a cada uno de los cuerpos

m1g-T=m1a
T-m2g=m2a

Despejamos la aceleración

a= m 1 m 2 m 1 + m 2 g

La velocidad de los cuerpos cuando el primero desciende una altura h partiendo del reposo es

v= 2ah = 2 m 1 m 2 m 1 + m 2 gh

Aplicando el principio de conservación de la energía, se llega al mismo resultado. Comparamos el estado inicial y el estado final cuando el cuerpo de masa m1 desciende una altura h, y el cuerpo de masa m2 asciende la misma altura. Ponemos el nivel cero de energía potencial en la posición inicial de los dos cuerpos. Igualamos la energía inicial y la energía final.

0= m 1 gh+ m 2 gh+ 1 2 m 1 v 2 + 1 2 m 2 v 2

Una máquina de Atwood gigantesca

Si los dos cuerpos tienen la misma masa y están a la misma altura, la máquina de Atwood estará en equilibrio inestable. En cambio, si los dos cuerpos están inicialmente a distinta altura la variación de la aceleración de la gravedad con la altura hace que el cuerpo más cercano a la Tierra experimente una fuerza mayor que el cuerpo más alejado.

Siendo R=6.37·106 m el radio de la Tierra, M=5.98·1024 kg la masa de la Tierra, G=6.67·10-11 Nm2/kg2, y m es la masa de cada uno de los dos cuerpos.

Establecemos el origen en la posición de equilibrio de los dos cuerpos, cuando están a la misma altura H sobre la superficie de la Tierra. Se desplazan una distancia x los dos cuerpos, uno hacia arriba y otro hacia abajo. La fuerza que experimenta el cuerpo más cercano al suelo es

F 1 =G Mm (R+Hx) 2

y el más alejado

F 2 =G Mm (R+H+x) 2

Aplicamos la segunda ley de Newton a cada uno de los dos cuerpos

F1-T=ma
T-F2=ma

Despejamos la aceleración

a=(F1-F2)/(2m)

Teniendo en cuenta que H y x son muy pequeños frente al radio R de la Tierra, la aceleración a es proporcional al desplazamiento x.

F 1 F 2 =G Mm R 2 { ( 1+ Hx R ) 2 ( 1+ H+x R ) 2 } mg{ ( 12 Hx R ) ( 12 H+x R ) } =mg 4x R

Escribimos la ecuación del movimiento en forma de ecuación diferencial

d 2 x d t 2 2g R x=0

La solución de esta ecuación diferencial tiene la forma

x=A e kt +B e kt  k= 2g R

La velocidad de los cuerpos es

v= dx dt =k(A e kt B e kt )

Los coeficientes A y B se determinan a partir de las condiciones iniciales, en el instante t=0, el desplazamiento inicial es x=x0, y la velocidad inicial v=0. Las expresiones de la posición y velocidad de los cuerpos son

x= x 0 2 ( e kt + e kt )= x 0 ·cosh(kt) v= x 0 ·k·sinh(kt)

Tiempo que tarda uno de los cuerpos en llegar al suelo.

El cuerpo más cercano a la Tierra parte de la posición x=x0 en el instante t=0, y llega a la posición x=H en el instante t.

Despejamos el tiempo t en la ecuación H=x0·cosh(kt)

H= x 0 2 ( e kt + e kt ) e 2kt 2H x 0 e kt +1=0

Haciendo el cambio de variable z=ekt, tenemos una ecuación de segundo grado en z. La raíz que da un tiempo t positivo es

z= H x 0 + H 2 x 0 2 1 t= R 2g ln( H x 0 + H 2 x 0 2 1 )

El tiempo t depende del cociente H/x0. Se obtiene el mismo resultado cuando H=100 y x0=10, que cuando H=10 y x0=1. Siempre que se cumpla que H<<R

Balance energético

Comparamos la situación inicial con la situación en el instante t (véase la segunda figura). Aplicamos el principio de conservación de la energía

G Mm R+H x 0 G Mm R+H+ x 0 = 1 2 2 m v 2 G Mm R+Hx G Mm R+H+x

Dado el desplazamiento x calculamos la velocidad v de los cuerpos

Ejemplo

La posición de equilibrio de los dos cuerpos a la misma altura H=100 m. Se desplaza los dos cuerpos x0=10 m. Calcular el tiempo que emplea en llegar al suelo y la velocidad final de los bloques. Datos:

t= 6.37· 10 6 2·9.83 ln( 100 10 + 100 2 10 2 1 )=1703.8s v=10· 2·9.83 6.37· 10 6 senh( 2·9.83 6.37· 10 6 ·1703.8 )=0.175m/s

Aplicando el principio de conservación de la energía

6.67· 10 11 ·5.98· 10 24 ( 1 6.37· 10 6 + 1 6.37· 10 6 +200 1 6.37· 10 6 +90 1 6.37· 10 6 +110 )= 1 2 2 v 2

v=0.174795 m/s

Es muy pequeña la discrepancia entre el cálculo exacto de la velocidad y el aproximado teniendo en cuenta que H y x0 son pequeños frente al radio R de la Tierra

R=6.37e6; %radio de la Tierra
g=9.83; %aceleración de la gravedad

H=100; %altura
x0=10; %posición inicial
k=sqrt(2*g/R);
tf=sqrt(R/(2*g))*log(H/x0+sqrt(H^2/x0^2-1));

subplot(2,1,1)
x=@(t) x0*cosh(k*t);
fplot(x,[0,tf]);
grid on
xlabel('t (s)')
ylabel('x (m)')
title('Posición')
subplot(2,1,2)
v=@(t) x0*k*sinh(k*t);
fplot(v,[0,tf]);
grid on
xlabel('t (s)')
ylabel('v (m/s)')
title('Velocidad')

Actividades

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Referencias

West J. O., The Atwood machine: two special cases. The Physics Teacher Vol. 37, February 1999, pp. 83-85