La dirección de la plomada

Debido a la rotación de la Tierra, la dirección radial no coincide con la dirección vertical, o con la dirección de la plomada, que es una cuerda de la que pende un trozo de plomo que utilizan los albañiles para comprobar la verticalidad de las paredes que construyen.

La Tierra considerada como una esfera de radio R.

Supongamos una masa puntual m que cuelga de una cuerda, situada en un lugar del hemisferio norte cuya latitud es λ. La Tierra gira sobre su eje con velocidad angular constante ω. La partícula describe una circunferencia de radio R·cos λ, siendo R el radio de la Tierra para un observador inercial

La resultante de las fuerzas que actúan sobre la partícula deberá se igual al producto de la masa por la aceleración normal a_n=ω²R·cos λ, y estará dirigida hacia el centro de la circunferencia que describe la partícula.

Las fuerzas que actúan sobre la partícula son:

• La fuerza de atracción de la Tierra, que tiene dirección radial y está dirigida hacia su centro, y cuyo módulo es

${\displaystyle F_g=G\frac{mM}{R^2}=m{g}_0}$

• La tensión T de la cuerda que sujeta a la partícula, y que forma un ángulo φ con la dirección radial, tal como se aprecia en la figura.

La partícula está en equilibrio a lo largo del eje Y.

T·sin(λ+φ)-mg₀·sinλ=0

La partícula tiene una aceleración a_n a lo largo del eje X.

Tcos(λ+φ)- mg₀·cosλ=-mω²R·cos λ

Eliminando T en el sistema de dos ecuaciones, obtenemos

${\displaystyle \tan (\lambda +\phi )=\frac{\tan \lambda }{1-\alpha }\alpha =\frac{R{\omega }^2}{g_0}=3.45·{10}^{-3}}$        (1)

donde hemos tomado R=6.37·10⁶ m, ω=2π/(23.93·60·60) rad/s, y g₀=9.81 m/s²

Después de algunas operaciones trigonométricas, despejamos el ángulo φ que forma la plomada con la dirección radial

${\displaystyle \tan \phi =\frac{\alpha \tan \lambda }{1-\alpha +{\tan }^2\lambda }}$

Como α es pequeño frente a la unidad, el ángulo φ es pequeño

${\displaystyle \phi \approx \tan \phi \approx \frac{\alpha }{2}\sin (2\lambda )}$

A la latitud correspondiente al norte de España, algo más de λ=43º, tenemos que φ=0.099º.

La forma de la Tierra

La dirección de la plomada es la misma que la de la aceleración de la gravedad efectiva g. La forma de la superficie de Tierra será tal que sea perpendicular a g en cada uno de sus puntos.

La tangente a la superficie de la Tierra en un punto de latitud λ es perpendicular a la dirección de la plomada o dirección vertical en dicho punto. Recordando que la pendiente de la tangente a una curva y=f(x) en x₀ es el valor de la derivada dy/dx de la función en dicho punto. Como vemos en la parte izquierda de la figura

${\displaystyle \tan (\lambda +\phi )=-\frac{dx}{dy}}$

En la parte derecha de la figura, tenemos que tanλ=y/x

A partir de la expresión (1), obtenemos la ecuación diferencial que describe la forma de la superficie de la Tierra

${\displaystyle \frac{dy}{dx}=-\frac{(1-\alpha )x}{y}}$

Integramos esta ecuación

(1-α)x²+y²=c

donde c es una constante de integración. Determinamos los radios ecuatorial a, y polar b teniendo en cuanta que para y=0, x=a, y para x=0, y=b.

${\displaystyle a=\sqrt{\frac{c}{1-\alpha }}b=\sqrt{c}}$

La ecuación de la superficie de la Tierra es la de una elipse

${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1}$

El aplastamiento de la Tierra es el cociente

${\displaystyle f=\frac{a-b}{a}=1-\sqrt{1-\alpha }=1.73·{10}^{-3}}$

Los valores medidos de los dos radios ecuatorial y polar de la Tierra son respectivamente.

a=6 378 137 m, b=6 356 752 m 

lo que da un aplastamiento de f=3.35·10^-3 que es aproximadamente el doble que el que hemos obtenido anteriormente.

Para explicar la discrepancia se ha de tener en cuenta que la ley de la Gravitación Universal

${\displaystyle \overrightarrow{F_g}=-G\frac{Mm}{r^2}\widehat{r}}$

se aplica a dos masas puntuales M y m separadas una distancia r, o a una distribución esférica de masa M y una partícula de masa m situada a una distancia r mayor que el radio de la esfera. En el caso de que el cuerpo sea de una forma distinta a una esfera, hay que calcular la fuerza que produce cada uno de los elementos de volumen del cuerpo extenso sobre la partícula considerada, las componentes de dichas fuerzas y la resultante.

Para una Tierra con forma de esferoide, se desarrolla la energía potencial gravitatoria en armónicos esféricos (véase referencia 1), para calcular $\overrightarrow{g_0}$ en función de la latitud λ y el ángulo que forma con la dirección radial.

Una superficie equipotencial

Un objeto situado sobre la superficie de la Tierra a una latitud λ, describe un movimiento circular de radio x=r·cosλ tal como se muestra en la figura.

Las fuerzas que actúan sobre dicho objeto desde el punto de vista de un observador no inercial que se mueve con la Tierra son:

• La fuerza de atracción gravitatoria, F_g que tiene dirección radial, y sentido hacia el centro de la Tierra y vale

${\displaystyle F_g=G\frac{Mm}{r^2}}$

siendo r la distancia entre el objeto y el centro de la Tierra, M la masa de la Tierra y G la constante de la gravitación..

• La fuerza centrífuga, F_c cuya dirección es a lo largo del radio de la circunferencia que describe y hacia afuera.

F_c=mω²x

siendo ω la velocidad angular constante de rotación de la Tierra.

La resultante de ambas fuerzas es la tensión T de la cuerda que sujeta la partícula de masa m.

Fuerzas conservativas. Energías potenciales

La fuerza de atracción F_g es conservativa y su energía potencial es

${\displaystyle E_g=-G\frac{Mm}{r}}$

De nuevo, se supone que la Tierra es aproximadamente esférica, y no se tiene en cuenta el abultamiento producido en el ecuador como consecuencia del movimiento de rotación de la Tierra.

La fuerza centrífuga depende únicamente de la distancia x al eje de rotación es por tanto, una fuerza conservativa, cuya energía potencial es

${\displaystyle {\displaystyle \underset{0}{\overset{x}{\int }}m{\omega }^{2}x}·dx=E_c(0)-E_c(x)}$

Tomando el nivel cero de la energía potencial en el eje de rotación x=0.

${\displaystyle E_c(x)=-\frac{1}{2}m{\omega }^2{x}^2=-\frac{1}{2}m{\omega }^2{r}^2{\cos }^2\lambda }$

La energía potencial total es la suma de ambas contribuciones

${\displaystyle E_p(r)=-\frac{1}{2}m{\omega }^2{r}^2{\cos }^2\lambda -G\frac{Mm}{r}}$

La forma de la Tierra es la de una superficie equipotencial, ya que la dirección vertical o la dirección de la intensidad de la gravedad efectiva $\overrightarrow{g}$ es perpendicular a la superficie equipotencial en cada punto de dicha superficie.

Sea r=b, cuando λ=π/2, la energía potencial vale E_p=-GMm/b. Así que el valor de b determina la superficie equipotencial que describe la forma de la superficie de la Tierra.

${\displaystyle r^3{\cos }^2\lambda -\frac{2GM}{{\omega }^{2}b}r+\frac{2GM}{{\omega }^2}=0}$.

Sea r=a, cuando λ=0. La raíz de la ecuación cúbica determina a en función de b, G, M y ω.

${\displaystyle a^3-\frac{2GM}{{\omega }^{2}b}a+\frac{2GM}{{\omega }^2}=0}$

Conocido b calculamos a resolviendo la ecuación cúbica .

En la siguiente tabla, se proporcionan los datos relativos a la masa en kg, periodo de rotación en horas, y los valores de los radios a (ecuatorial) y b (polar) de algunos planetas del Sistema Solar.

Fuente: segundo artículo citado en la referencia 2

Con el dato de G=6.67·10^-11 Nm²/kg², la velocidad angular de rotación de la Tierra es

${\displaystyle \omega =\frac{2\pi }{23.93·3600}=7.293·{10}^{-5}\text{rad/s}}$

Para facilitar el cálculo en el ordenador, expresamos la distancia en unidades de 10⁶ m. La ecuación que nos permite calcular a a partir del valor observado de b=6.356 es

a³-23594.12a+149964.23=0

Para calcular las raíces de esta ecuación cúbica sugerimos dos procedimientos:

Raíces de una ecuación cúbica

x³+ax²+bx+c=0

a=0, b=-23594.12, c=149964.23

Se calcula

${\displaystyle Q=\frac{a^2-3b}{9}=7864.7R=\frac{2a^3-9ab+27c}{54}=74982.1}$

Si R²<Q³ como este es el caso, se calcula

${\displaystyle \theta =\arccos \left(\frac{R}{\sqrt{Q^3}}\right)\theta =1.46}$  

Las raíces reales de la ecuación cúbica son:

${\displaystyle \begin{array}{l}{x}_1=-2\sqrt{Q}\cos \left(\frac{\theta }{3}\right)-\frac{a}{3}{x}_1=-156.70\\ x_2=-2\sqrt{Q}\cos \left(\frac{\theta +2\pi }{3}\right)-\frac{a}{3}{x}_2=150.3\\ x_3=-2\sqrt{Q}\cos \left(\frac{\theta -2\pi }{3}\right)-\frac{a}{3}{x}_3=6.367\end{array}}$

function x = raices_3(p)
    Q=(p(2)*p(2)-3*p(3))/9;
    R=(2*p(2)^3-9*p(2)*p(3)+27*p(4))/54;
    x=zeros(3,1); %reserva memoria para un vector de tres elementos
    if (R*R)<(Q^3)
        tetha=acos(R/sqrt(Q^3));
        x(1)=-2*sqrt(Q)*cos(tetha/3)-p(2)/3;
        x(2)=-2*sqrt(Q)*cos((tetha+2*pi)/3)-p(2)/3;
        x(3)=-2*sqrt(Q)*cos((tetha-2*pi)/3)-p(2)/3;
    else
        A=-sign(R)*nthroot(abs(R)+sqrt(R*R-Q^3),3);
        if A==0
            B=0;
        else
            B=Q/A;
        end
        x(1)=(A+B)-p(2)/3;
        x(2)=-(A+B)/2-p(2)/3+(sqrt(3)*(A-B)/2)*sqrt(-1); %mejor que i
        x(3)=-(A+B)/2-p(2)/3-(sqrt(3)*(A-B)/2)*sqrt(-1);
    end
end

>> raices_3([1,0,-23594.12,149964.23])
ans =
 -156.6882
  150.3213
    6.3669

Procedimiento iterativo

Esta ecuación se puede transformar en esta otra equivalente

${\displaystyle a=\frac{a^3+149964.23}{23594.12}}$

para hallar la raíz por el método de iteración partiendo de un valor inicial próximo a 6, obteniendo el valor a=6.367.

x0=6;
while(1)
    x1=(x0*x0*x0+149964.23)/23594.12;
    if abs(x1-x0)<0.001    
        break;
    end
    x0=x1;
end
disp(x0)

    6.3669

Aceleración de la gravedad en el polo

El cálculo de la aceleración de la gravedad en el polo producido por una distribución uniforme de masa en forma de esferoide de revolución de semiejes a y b, es un interesante ejercicio de cálculo integral, continuación del efectuado en el apartado La gravedad en el exterior de una distribución esférica y uniforme de masa

Supongamos que el punto P está en el polo Norte a lo largo del eje Z distante b del centro de la Tierra. Dividimos el elipsoide de revolución en discos (de color azul claro) de radio y variable y de espesor dz, tal como se muestra en la figura. Para calcular la fuerza que ejerce uno de estos discos sobre la unidad de masa situada en P, dividimos cada disco en anillos (en color amarillo) de radio x, de anchura dx y espesor dz.

Por simetría, como vemos en la figura, las componentes horizontales (a lo largo del eje X e Y) de la fuerza que ejercen los elementos de masa del anillo (considerados como masas puntuales, en color rojo) se anulan de dos en dos, quedando solamente la componente Z de la fuerza resultante que ejerce la masa contenida en el anillo.

Si ρ es la densidad constante y uniforme de masa. La masa contenida en el anillo es ρ(2πx·dx)dz. La fuerza resultante que ejerce la masa contenida en el anillo sobre la sobre la unidad de masa situada en P es

${\displaystyle G\frac{\rho ·2\pi x·dx·dz}{x^2+{\left(b-z\right)}^2}·\cos \alpha =G\frac{\rho ·2\pi x·dx·dz}{x^2+{\left(b-z\right)}^2}\frac{b-z}{\sqrt{x^2+{\left(b-z\right)}^2}}}$

Integramos respecto de la variable x, entre los límites 0 e y para calcular resultante de las fuerzas en P debidas a la distribución de masa contenida en el disco de radio y y de espesor dz.

La integral es inmediata haciendo el cambio u=x²+(b-z)², du=2x·dx

${\displaystyle {\displaystyle \underset{0}{\overset{y}{\int }}G\rho ·2\pi (b-z)dz\frac{xdx}{{\left(x^2+{\left(b-z\right)}^2\right)}^{3/2}}}=\text{}G\rho ·2\pi (b-z)dz\left(\frac{1}{b-z}-\frac{1}{\sqrt{y^2+{\left(b-z\right)}^2}}\right)}$

Relacionamos la variable y y z para integrar respecto de la variable z entre los límites –b y +b. Para un elipsoide de revolución de semiejes a y b

${\displaystyle \frac{y^2}{a^2}+\frac{z^2}{b^2}=1}$

La aceleración de la gravedad g en el punto P, se obtendrá integrando

${\displaystyle \begin{array}{l}g=2\pi G\rho {\displaystyle \underset{-b}{\overset{b}{\int }}\left(1-\frac{b-z}{\sqrt{\frac{a^2}{b^2}\left(b^2-z^2\right)+{\left(b-z\right)}^2}}\right)dz}=\\ 2\pi G\rho \left\{2b-\frac{b}{\sqrt{a^2-b^2}}{\displaystyle \underset{-b}{\overset{b}{\int }}\sqrt{\frac{b-z}{z+c}}dz}\right\},c=\frac{a^{2}b+b^3}{a^2-b^2},a>b\end{array}}$

La integral de la derecha requiere más trabajo, se hace el cambio de variable

${\displaystyle \begin{array}{l}{u}^2=\frac{b-z}{c+z},dz=-2u\frac{c+b}{{\left(1+u^2\right)}^2}du\\ {\displaystyle \int \sqrt{\frac{b-z}{z+c}}dz}=-2(c+b){\displaystyle \int \frac{u^2}{{\left(1+u^2\right)}^2}}du\end{array}}$

Se hace el cambio de variable, u=tant, du=dt/cos²(2t)

${\displaystyle {\displaystyle \int \sqrt{\frac{b-z}{z+c}}}dz=-2(c+b){\displaystyle \int {\sin }^{2}t·}dt=-(c+b)\left(t-\frac{1}{2}\sin (2t)\right)}$

Teniendo en cuenta las relaciones trigonométricas

${\displaystyle \sin t=\frac{\tan t}{\sqrt{1+{\tan }^{2}t}},\cos t=\frac{1}{\sqrt{1+{\tan }^{2}t}}}$

Deshacemos los cambios de variable

${\displaystyle \begin{array}{l}{\displaystyle \int \sqrt{\frac{b-z}{z+c}}}dz=-(c+b)\left(\arctan u-\frac{u}{1+u^2}\right)=\\ -(c+b)\left(\arctan \sqrt{\frac{b-z}{z+c}}-\frac{\sqrt{b-z}\sqrt{c+z}}{c+b}\right)\end{array}}$

Evaluamos el integrando entre el límite superior b e inferior -b

${\displaystyle {\displaystyle \underset{-b}{\overset{b}{\int }}\sqrt{\frac{b-z}{z+c}}dz}=(c+b)\left(\arctan \sqrt{\frac{2b}{z+c}}-\frac{\sqrt{2b}\sqrt{c-b}}{c+b}\right)}$

La aceleración de la gravedad g en el punto P, es

${\displaystyle \begin{array}{l}g=2\pi G\rho \left\{2b-\frac{b}{\sqrt{a^2-b^2}}(c+b)\left(\arctan \sqrt{\frac{2b}{z+c}}-\frac{\sqrt{2b}\sqrt{c-b}}{c+b}\right)\right\},c=\frac{a^{2}b+b^3}{a^2-b^2}\\ =4\pi G\rho \left\{b+\frac{b{a}^2}{{\left(a^2-b^2\right)}^{3/2}}\left(\frac{b}{a^2}\sqrt{a^2-b^2}-\arctan \frac{\sqrt{a^2-b^2}}{b}\right)\right\}\end{array}}$

Consideremos un elipsoide de revolución de la misma masa M y con el mismo volumen que una esfera de radio R, a²b=R³ (más abajo, se deduce la fórmula del volumen de un elipsoide de revolución). Llamamos

${\displaystyle \begin{array}{l}{g}_0=G\frac{M}{R^2},\rho =\frac{M}{\frac{4}{3}\pi R^3}\\ f=\frac{a-b}{a}\end{array}}$

La aceleración de la gravedad g en el polo es

${\displaystyle g=3g_0{\left(1-f\right)}^{2/3}\left\{1+\frac{\left(1-f\right)}{{\left(f(2-f)\right)}^{3/2}}\left((1-f)\sqrt{f(2-f)}-\arctan \left(\frac{\sqrt{f(2-f)}}{1-f}\right)\right)\right\}}$

Calculamos el cociente g/g₀ para la Tierra, f=3.35·10^-3

>> syms f;
>> y=3*(1-f)^(2/3)*(1+(1-f)*((1-f)*sqrt(f*(2-f))-atan(sqrt(f*(2-f))/(1-f)))
/(f*(2-f))^(3/2));
>> yy=subs(y,f,3.35e-3);
>> vpa(yy,10)
ans =1.000445199

Como el parámetro f=(a-b)/a es muy pequeño, hacemos un desarrollo en serie

>> taylor(y,f)
ans =(2*f)/15 - (41*f^2)/315 - (100*f^3)/567 - (2909*f^4)/18711 + 1

Los primeros términos del desarrollo en serie son

${\displaystyle \frac{g}{g_0}=1+\frac{2}{15}f+\frac{41}{315}{f}^2+\mathrm{...}}$

La aceleración de la gravedad en el polo de un cuerpo en forma de elipsoide de revolución es un poco mayor que la aceleración gravedad que correspondería a una distribución esférica y uniforme de masa

Dividimos el elipsoide en discos de radio y y de espesor dz. El volumen de cada uno de los discos es πy²dz, el volumen total es

${\displaystyle V={\displaystyle \underset{-b}{\overset{b}{\int }}\pi y^{2}dz=\pi }{\displaystyle \underset{-b}{\overset{b}{\int }}\frac{a^2}{b^2}\left(b^2-z^2\right)dz=}\frac{4}{3}\pi a^{2}b}$

Fórmula internacional de la aceleración de la gravedad (1967)

En la figura se comparan tres expresiones de la aceleración de la gravedad (Véase Gröber 2007):

• En negro, g₀= 9.798 m/s² producido por una esfera homegénea de radio R=6378.137 km (radio ecuatorial) que no gira sobre sí misma.
• En rojo, la misma esfera que gira con velcidad angular ω=7.292 115·10^-5/rad/s

g=g₀-ω²·R·cos²λ

• En azul, la fórmula que tiene en cuenta la rotación de la Tierra y que la Tierra no es una esfera perfecta

g=9.780 3126 772 ·(1+0.005 302 33 ·sin²λ-0.000 005 89· sin²2λ) m/s²

x=linspace(0,pi/2,100);
g=9.7803126772*(1+0.00530233*(sin(x)).^2-0.00000589*(sin(2*x)).^2);
hold on
plot(x*180/pi,g,'b')
gg=9.798-(2*pi/(24*3600))^2*6378137*(cos(x)).^2;
plot(x*180/pi,gg,'r')
line([0,90],[9.798,9.798],'color','k')
hold off
grid on
xlabel('\lambda')
ylabel('g(m/s^2)')
title('Aceleración de la gravedad')

En este script se calcula la aceleración de la gravedad g utilizando esta última expresión, cuando se introduce la latitud λ en grados.

Cuando nos elevamos una altura h sobre el nivel del mar hay que introducir una corrección, que disminuye el valor de g a nivel del mar.

${\displaystyle \Delta g=\frac{2g_{0}h}{R}}$

donde g₀=9.832 m/s² es la aceleración de la gravedad a nivel del mar en los polos, R=6371 km es el radio medio de la Tierra.

Δg= 3.086·10^-6 ·h m/s²

Hay otros términos correctores que tienen en cuenta si el terreno que rodea a la localidad de observación es montañoso o plano. Véase la página 831 del artículo (Nelson, 1981)

La web WolframAlfa computational knowledge engine, nos proporciona los datos de la aceleración de la gravedad y de sus componentes, en base al modelo EGM2008 12th (33 metros por encima del mar). En la imagen los datos de la aceleración de la gravedad en Bilbao

Referencias

Mohazzabi P, James M. Plumb line and the shape of the earth. Am. J. Phys. 68 (11) November 2000, pp. 1038-1041

Bolemon. Shape of the rotating planets and the Sun: A calculation for elementary mechanics. Am. J. Phys. 44 (11) November 1976, pp. 1125-1128.

Iona M. Why is g larger at the poles?. Am. J. Phys. 46 (8) August 1978, pp. 790-791.

Nelson R. A. Determination of the acceleration due to gravity with the Cenco-Behr free-fall apparatus. Am. J. Phys. 49 (9) September 1981, pp. 829-833.

Gröber S., Vetter M., Eckert B, Jodl H-J, World pendulum-a distributed remotely controlled laboratory (RCL) to measure the Earth's gravitational acceleration depending on geometrical latitude. Eur. J. Phys. 28 (2007) 603-613