La forma de la Tierra
Una superficie equipotencial
Un objeto situado sobre la superficie de la Tierra a una latitud λ, describe un movimiento circular de radio x=r·cosλ tal como se muestra en la figura.
Las fuerzas que actúan sobre dicho objeto desde el punto de vista de un observador no inercial que se mueve con la Tierra son:
-
La fuerza de atracción gravitatoria, Fg que tiene dirección radial, y sentido hacia el centro de la Tierra y vale
-
La fuerza centrífuga, Fc cuya dirección es a lo largo del radio de la circunferencia que describe y hacia afuera.
siendo r la distancia entre el objeto y el centro de la Tierra, M la masa de la Tierra y G la constante de la gravitación..
Fc=mω2x
siendo ω la velocidad angular constante de rotación de la Tierra.
La resultante de ambas fuerzas es la tensión T de la cuerda que sujeta la partícula de masa m.
Fuerzas conservativas. Energías potenciales
La fuerza de atracción Fg es conservativa y su energía potencial es
De nuevo, se supone que la Tierra es aproximadamente esférica, y no se tiene en cuenta el abultamiento producido en el ecuador como consecuencia del movimiento de rotación de la Tierra.
La fuerza centrífuga depende únicamente de la distancia x al eje de rotación es por tanto, una fuerza conservativa, cuya energía potencial es
Tomando el nivel cero de la energía potencial en el eje de rotación x=0.
La energía potencial total es la suma de ambas contribuciones

La forma de la Tierra es la de una superficie equipotencial, ya que la dirección vertical o la dirección de la intensidad de la gravedad efectiva es perpendicular a la superficie equipotencial en cada punto de dicha superficie.
Sea r=b, cuando λ=π/2, la energía potencial vale Ep=-GMm/b. Así que el valor de b determina la superficie equipotencial que describe la forma de la superficie de la Tierra.
.
Sea r=a, cuando λ=0. La raíz de la ecuación cúbica determina a en función de b, G, M y ω.
Conocido b calculamos a resolviendo la ecuación cúbica.
En la siguiente tabla, se proporcionan los datos relativos a la masa en kg, periodo de rotación en horas, y los valores de los radios a (ecuatorial) y b (polar) de algunos planetas del Sistema Solar.
Planeta | Masa (kg) | Periodo (h) | b observado (m) | a observado (m) |
---|---|---|---|---|
Tierra | 0.598·1025 | 23.93 | 6.356·106 | 6.378·106 |
Marte | 0.0658·1025 | 24.62 | 3.40·106 | 3.417·106 |
Júpiter | 190·1025 | 9.9 | 66.93·106 | 71.35·106 |
Saturno | 57·1025 | 10.2 | 54.60·106 | 60.40·106 |
Urano | 9·1025 | 10.8 | 22.37·106 | 23.80·106 |
Neptuno | 10·1025 | 15.8 | 21.76·106 | 22.20·106 |
Con el dato de G=6.67·10-11 Nm2/kg2, la velocidad angular de rotación de la Tierra es
Para facilitar el cálculo en el ordenador, expresamos la distancia en unidades de 106 m. La ecuación que nos permite calcular a a partir del valor observado de b=6.356 es
a3-23594.12a+149964.23=0
Para calcular las raíces de esta ecuación cúbica sugerimos dos procedimientos:
Raíces de una ecuación cúbica
function esferoide_3 M=0.598e25; %masa de la Tierra G=6.67e-11; %constante G w=2*pi/(23.93*3600); %velocidad angular de rotación b=6.356; %semieje b en 10^6 m p1=2*G*M*1e-18/(w^2*b); p0=2*G*M*1e-18/w^2; raiz=raices_3([1,0,-p1,p0]); disp(raiz) function x = raices_3(p) Q=(p(2)*p(2)-3*p(3))/9; R=(2*p(2)^3-9*p(2)*p(3)+27*p(4))/54; x=zeros(3,1); %reserva memoria para un vector de tres elementos if (R*R)<(Q^3) tetha=acos(R/sqrt(Q^3)); x(1)=-2*sqrt(Q)*cos(tetha/3)-p(2)/3; x(2)=-2*sqrt(Q)*cos((tetha+2*pi)/3)-p(2)/3; x(3)=-2*sqrt(Q)*cos((tetha-2*pi)/3)-p(2)/3; else A=-sign(R)*nthroot(abs(R)+sqrt(R*R-Q^3),3); if A==0 B=0; else B=Q/A; end x(1)=(A+B)-p(2)/3; x(2)=-(A+B)/2-p(2)/3+(sqrt(3)*(A-B)/2)*sqrt(-1); %mejor que i x(3)=-(A+B)/2-p(2)/3-(sqrt(3)*(A-B)/2)*sqrt(-1); end end end
-156.6882 150.3213 6.3669
La raíz buscada es a=6.3669·106 m
Alternativamente, se puede utilizar la función
Procedimiento iterativo
Esta ecuación se puede transformar en esta otra equivalente
para hallar la raíz por el método de iteración partiendo de un valor inicial próximo a 6, obteniendo el valor a=6.367.
x0=6; while(1) x1=(x0*x0*x0+149964.23)/23594.12; if abs(x1-x0)<0.001 break; end x0=x1; end disp(x0)
6.3669
Forma del planeta
En la segunda ecuación despejamos 2GM/ω2
Sustituimos en la primera
Conocidos los semiejes a y b, dado el ángulo 0≤λ<π/2 calculamos la raíz real de la ecuación cúbica en r
Representamos la forma del planeta calculado la abscisa x=r·cosλ y la ordenada y=r·sinλ de cada punto (color rojo)
Comparamos con la ecuacion de la elipse (color azul)
Vemos que coinciden. Calculando el primer cuadrante, extendemos la representación gráfica a los tres restantes
function esferoide_2 M=0.598e25; %masa de la Tierra G=6.67e-11; %constante G w=2*pi/(23.93*3600); %velocidad angular de rotación b=6.356; %semieje b en 10^6 m p1=2*G*M*1e-18/(w^2*b); p0=2*G*M*1e-18/w^2; raiz=roots([1,0,-p1,p0]); a=raiz(3); z=@(x) b*sqrt(1-x.^2/a^2); fp=fplot(z,[0,a]); plot(fp.XData, fp.YData, 'r', fp.XData, -fp.YData,'r', -fp.XData, fp.YData,'r', -fp.XData, -fp.YData, 'r') Th=(0:89)*pi/180; xx=zeros(1,length(Th)); yy=zeros(1,length(Th)); k=1; for th=Th p1=-a^3/((a-b)*cos(th)^2); p0=a^3*b/((a-b)*cos(th)^2); raiz=roots([1,0,p1,p0]); xx(k)=raiz(3)*cos(th); yy(k)=raiz(3)*sin(th); k=k+1; end plot(xx,yy,'b',-xx,yy,'b', xx,-yy,'b',-xx,-yy,'b') hold off grid on axis equal xlabel('x,y') ylabel('z') title('Tierra') end
Otra ecuación que describe la forma de la Tierra

La ecuación de la elipse es
Se define el coeficiente de achatamiento f
Para la Tierra a=6 378 137 m y b=6 356 752 m, lo que da un coeficiente f=3.35·10-3
La ecuación de la elipse se convierte en
Teniendo en cuenta que para la Tierra f es muy pequeño
>> syms x; >> taylor(1/sqrt(1+x^2),x) ans =(3*x^4)/8 - x^2/2 + 1 >> taylor(1/(1-x),x) ans =x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1
La definción del polinomio P2(x) de Legendre
El radio medio de la esfera equivalente, se obtiene igualando el volumen del elipsoide de revolución de semiejes a y b con el volumen de una esfera de radio Rt
La ecuación de la forma del planeta se escribe
Esta es la primera aproximación a la forma de la Tierra. La segunda ecuación, expresada en términos del polinomio de Legendre, nos será útil para calcular la energía potencial producida por un esferoide homogéneo
El semieje mayor a, se obtiene para θ=π/2 y el b, para θ=0
Comparamos la ecuación de la elipse con la expresión polar aproximada, para f=0.1 y 0.3, tomando Rt=1
Rt=1; f=0.1; r=@(th) Rt*(1-f*cos(th).^2+f/3); hold on fplot(@(th) r(th).*sin(th), @(th) r(th).*cos(th),[0,2*pi] ) a=Rt*(1+f/3); b=Rt*(1-2*f/3); z=@(x) b*sqrt(1-x.^2/a^2); fp=fplot(z,[0,a]); plot(fp.XData, fp.YData, 'r', fp.XData, -fp.YData, 'r', -fp.XData, fp.YData, 'r', -fp.XData, -fp.YData, 'r') hold off grid on axis equal xlabel('x,y') ylabel('z') title('esferoide')
Para f=0.3, hay diferencia
Para f=0.1, casi coinciden
En el caso de la Tierra a=6 378 137 m y b=6 356 752 m
a=6378137/1e6; b=6356752/1e6; %en unidades 10^6 m Rt=(a^2*b)^(1/3); %radio medio de la esfera equivalente f=(a-b)/a; %achatamiento r=@(th) Rt*(1-f*cos(th).^2+f/3); hold on fplot(@(th) r(th).*sin(th), @(th) r(th).*cos(th),[0,2*pi] ) %aproximada %circunfeencia de radio Rt fplot(@(th) Rt*sin(th), @(th) Rt*cos(th),[0,2*pi],'lineStyle','--' ) %circunfeencia de radio Rt a=Rt*(1+f/3); b=Rt*(1-2*f/3); z=@(x) b*sqrt(1-x.^2/a^2); fp=fplot(z,[0,a]); plot(fp.XData, fp.YData, 'r', fp.XData, -fp.YData, 'r', -fp.XData, fp.YData, 'r', -fp.XData, -fp.YData, 'r') %elipse hold off grid on axis equal xlabel('x,y, 10^6 m') ylabel('z, 10^6 m') title('Tierra')
La Tierra se desvía muy poco de la forma esférica. Utilizando varias veces la herramienta Zoom podremos ver la diferencia entre la circunferencia de radio Rt y la elipse de semiejes a y b
Referencias
Bolemon. Shape of the rotating planets and the Sun: A calculation for elementary mechanics. Am. J. Phys. 44 (11) November 1976, pp. 1125-1128.
William Lowrie. A Student’s Guide to Geophysical Equations. Cambridge University Press, (2011), pp. 86-90