El viaje más rápido a través de un túnel por el interior de la Tierra

En la página titulada, La aceleración de la gravedad en el interior y en el exterior de una distribución esférica y uniforme de masa, calculamos la aceleración de la gravedad g en un punto P situado a una distancia r del centro de una distribución esférica y uniforme de masa de radio R.

A continuación, calculamos la energía potencial Ep(r) correspondiente a la fuerza conservativa mg para r<R

E p (r)= 3 2 GMm R + GMm R 3 r 2 2

Ecuación de la trayectoria

Una partícula de masa m parte en reposo de un punto A situado en la superficie de la Tierra y llega a B situado a una distancia r del centro de la Tierra, con velocidad v. Aplicando el principio de conservación de la energía

1 2 m v 2 3 2 GMm R + GMm R 3 r 2 2 = GMm R v= GM R ( 1 r 2 R 2 )

El tiempo t que tarda en desplazarse una partícula entre A y B es

t= A B ds v

Expresamos ds= d x 2 +d y 2 , en coordenadas polares

x=rcosθ, y=rsinθ

dx=dr·cosθ-rsinθ·dθ, dy=dr·sinθ+rcosθ·dθ

ds= d r 2 + r 2 d θ 2 = ( dr dθ ) 2 + r 2 dθ= r ˙ 2 + r 2 dθ

El tiempo que tarda en desplazarse el móvil por el interior de la Tierra entre A y B expresado en coordendas polares es

t(r)= A B r ˙ 2 + r 2 GM R ( 1 r 2 R 2 ) dθ= R 3 GM A B r ˙ 2 + r 2 R 2 r 2 dθ

Tenemos que buscar la función r=r(θ) que haga la funcional t(r) extremo. Dado que el integrando, la función

f(θ,r, r ˙ )= r ˙ 2 + r 2 R 2 r 2

no depende de θ, la ecuación de Euler-Lagrange se escribe

f r ˙ f r ˙ = C 1 r 2 R 2 r 2 r ˙ 2 + r 2 = C 1

C1 es una constante que se evalúa para el mínimo r0 de la curva r=r(θ), es decir, cuando dr/dθ=0

r 0 = C 1 1+ C 1 2 R

En términos del nuevo parámetro r0 la ecuación diferencial de la trayectoria se escribe

r 2 R 2 r 2 r ˙ 2 + r 2 = r 0 R 2 r 0 2 dr dθ =r R r 0 r 2 r 0 2 R 2 r 2 R r 0 θ= R 2 r 2 r 2 r 0 2 dr r + C 2

Para calcular la integral hacemos el cambio de variable

u= r 2 r 0 2 R 2 r 2 r= r 0 2 + R 2 u 2 1+ u 2 dr= u r R 2 r 0 2 (1+ u 2 ) 2 du

El resultado es

R 2 r 2 r 2 r 0 2 dr r = 1 r 2 R 2 r 0 2 (1+ u 2 ) 2 du = ( R 2 r 0 2 )du ( r 0 2 + R 2 u 2 )( 1+ u 2 ) = ( R 2 + R 2 u 2 R 2 u 2 r 0 2 )du ( r 0 2 + R 2 u 2 )( 1+ u 2 ) = R 2 du r 0 2 + R 2 u 2 du 1+ u 2 = R r 0 tan 1 ( R r 0 u ) tan 1 u= R r 0 tan 1 ( R r 0 r 2 r 0 2 R 2 r 2 ) tan 1 ( r 2 r 0 2 R 2 r 2 )

La ecuación implícita de la trayectoria, r=r(θ), es

θ= tan 1 ( R r 0 r 2 r 0 2 R 2 r 2 ) r 0 R tan 1 ( r 2 r 0 2 R 2 r 2 )+ C 2

Donde θ se mide desde el eje de simetría. Véase la figura al principio de la página

Para r=r0, cuando r es mínimo, θ=0, por lo que C2=0. Para r=R, cuando retorna a la superficie de la Tierra

θ= π 2 r 0 R π 2 = π 2 ( 1 r 0 R )

El ángulo subtendido por la trayectoria, entre las localidades de partida y destino en la superficie de la Tierra, por simetría, es el doble

Δθ=π( 1 r 0 R )

Tiempo que tarda en recorrer el camino

Teniendo en cuenta que

r ˙ = dr dθ =r R r 0 r 2 r 0 2 R 2 r 2

Calculamos la expresión del tiempo t

t= R 3 GM r ˙ 2 + r 2 R 2 r 2 dθ = R GM R 2 r 0 2 r·dr R 2 r 2 r 2 r 0 2 = R GM R 2 r 0 2 r·dr ( R 2 r 0 2 2 ) 2 ( R 2 + r 0 2 2 r 2 ) 2

Llamando

u= ( R 2 + r 0 2 2 r 2 ) ( R 2 r 0 2 2 ) du= 2r·dr ( R 2 r 0 2 2 )

la integral vale

r·dr ( R 2 r 0 2 2 ) 2 ( R 2 + r 0 2 2 r 2 ) 2 = 1 2 du 1 u 2 = 1 2 cos 1 u 1 2 cos 1 ( R 2 + r 0 2 2 r 2 R 2 r 0 2 )

Tomando tiempo t=0, cuando la trayectoria pasa por el mínimo r=r0

t= 1 2 R GM R 2 r 0 2 cos 1 ( R 2 + r 0 2 2 r 2 R 2 r 0 2 ) | r 0 r = 1 2 1 Rg R 2 r 0 2 cos 1 ( R 2 + r 0 2 2 r 2 R 2 r 0 2 )

Finalmente, por simetría, el tiempo de viaje T es el doble del tiempo que tarda en ir del mínimo r0 a R

T=2 1 2 1 Rg R 2 r 0 2 cos 1 ( R 2 + r 0 2 2 r 2 R 2 r 0 2 ) | r 0 R T= 1 Rg R 2 r 0 2 ( π0 )=π R g 1 ( r 0 R ) 2

Ecuaciones paraméricas de la trayectoria

Llamando Ω=π/T, en la ecuación que nos da el tiempo t, despejamos r2

t= 1 2 1 Rg R 2 r 0 2 cos 1 ( R 2 + r 0 2 2 r 2 R 2 r 0 2 ) R 2 + r 0 2 2 r 2 R 2 r 0 2 =cos( 2Ωt ) r 2 = 1 2 ( R 2 + r 0 2 ) 1 2 ( R 2 r 0 2 )cos( 2Ωt )

Expresamos la posición angular θ en función del tiempo t

θ= tan 1 ( R r 0 r 2 r 0 2 R 2 r 2 ) r 0 R tan 1 ( r 2 r 0 2 R 2 r 2 ) r 2 r 0 2 R 2 r 2 = 1cos( 2Ωt ) 1+cos( 2Ωt ) = 2 sin 2 ( Ωt ) 2 cos 2 ( Ωt ) = tan 2 ( Ωt ) θ= tan 1 ( R r 0 tan( Ωt ) ) r 0 R Ωt

Hacemos que todos los viajes partan de la misma localidad situada en la superficie de la Tierra. Los puntos de destino, son localidades situadas en la superficie de la Tierra distantes, 30, 60, 90, 120°

hold on
delta=0;
for ang=(30:30:120)*pi/180
    r0=1-ang/pi;
    T=pi*sqrt(6371*1000/9.8)*sqrt(1-r0^2);
    r2=@(t) (1+r0^2)/2-(1-r0^2)*cos(2*pi*t/T)/2;
    th=@(t) atan(tan(pi*t/T)/r0)-r0*pi*t/T;
    x=@(t) sqrt(r2(t)).*cos(th(t)+delta);
    y=@(t) sqrt(r2(t)).*sin(th(t)+delta);
    fplot(x,y,[-T/2,T/2], 'displayName',num2str(ang*180/pi))
    delta=ang/2;
end
legend('-DynamicLegend','location','northwest')
fplot(@(t) cos(t),@(t) sin(t),[0,2*pi])
hold off
axis equal
grid on
xlabel('x');
ylabel('y')
title('el túnel más rápido')

>>  T/60
ans =   39.8028

El viaje entre las dos localidades más alejadas, separadas un ángulo de 120° ha durado 39.8 minutos

Curvas cicloidales

Una cicloide es la trayectoria dibujada por un punto del borde del disco que rueda sin deslizar un disco a lo largo de un camino horizontal.

En el programa interactivo de esta página se van a generar curvas denominadas epicicloidales. Se trata de curvas engendradas por un punto ligado a una círculo móvil que rueda sin deslizar sobre círculo fijo. Cuando el círculo móvil es interior al círculo fijo la curva engendrada recibe el nombre de hipocicloide.

Si el punto no está en el borde del círculo móvil las curvas generadas se llaman, epitrocoides e hipotrocoides, respectivamente.

Estas curvas se generan con un juguete denominado spirograph (un juguete para dibujar jugando) en el que ruedas dentadas pueden rodar sobre circunferencias u otras curvas cerradas fijas.

Se fija la curva base al papel (habitualmente, un anillo de plástico) y se elige una rueda dentada que puede rodar por el interior del anillo o por el exterior. Se introduce la punta del bolígrafo a través de un agujero situado a distancias variables del centro de la rueda y se comienza a girar. El bolígrafo dibuja una trayectoria sobre el papel. El atractivo del juego está en la vistosidad y complejidad de las trayectorias generadas mediante movimientos simples. Se distinguen unas trayectorias de otras dibujándolas con bolígrafos de varios colores.

Epitrocoide

En la figura, se muestra la geometría de la epitrocoide en la cual un círculo de radio b rueda por el exterior de un círculo fijo de radio a. La distancia OC entre los centros de ambos círculos es (a+b), y sea h la distancia entre el centro del círculo móvil C y el punto P.

En la figura de la izquierda, se muestra la situación inicial y en la figura de la derecha, la situación al cabo de un cierto tiempo t, cuando la línea que une los centros de ambos círculos OC forma un ángulo α con la horizontal.

El ángulo β girado por el radio CP está en relación inversa al radio del círculo móvil. Como vemos en la figura, los arcos (en azul) tienen la misma longitud, por tanto,

a·α =b·β

Las coordenadas del punto P serán

x=(a+b)·cosα +h·sin(α -90)
y=
(a+b)·sinα -h·cos(α -90)

o bien,

x=(a+b)cosαhcos( a+b a α ) y=(a+b)sinαhsin( a+b a α )

Hipotrocoide

En el caso de que el círculo móvil ruede por el interior del círculo fijo, el punto C está a una distancia (a-b) de O. Al cabo de un cierto tiempo t, cuando la líneas OC que une los centros de los dos círculos forme un ángulo α con la horizontal, las coordenadas del punto P serán

x=(a-b)·cosα +h·cos(β -α )
y=
(a-b)·sinα -h·sin(β -α )

o bien,

x=(ab)cosα+hcos( ab a α ) y=(ab)sinαhsin( ab a α )

En el caso del spirograph cada círculo tiene un número entero de dientes, m el círculo fijo, y n el círculo móvil. Como en número de dientes es proporcional a sus respectivos radios

m/n=a/b

Por ejemplo, si la rueda móvil tiene 48 dientes y la fija 144, la relación es 144/48= 3/1. El círculo móvil al rodar alrededor del círculo fijo completa una vuelta para volver al punto de partida, pero gira tres vueltas completas alrededor de su eje C.

Si la rueda móvil tiene 96 dientes y la fija 144, la relación es 144/96= 3/2. El círculo móvil al rodar a lo largo del círculo fijo completa dos vueltas para volver al punto de partida y gira alrededor de su eje C tres vueltas.

Casos particulares

Elipse

Sea a=2b. Por ejemplo, cuando el círculo fijo tiene 96 dientes y el móvil 48

Otras curvas interesantes

  1. Hypocicloides
  1. Epicicloides

Actividades

Se pulsa el botón titulado Nuevo.


Referencias

Giulio Venezian. Terrestrial Brachistochrone. Am. J. Phys. 34 (8) August 1966, 701

Priyanka Priyadarshini Mishra. Deriving And Deducing The Equation Of The Curve Of Quickest Descent. International Journal of Mathematics and its Applications. Volume 4, Issue 3-A (2016), 99-121